陕西省宝鸡市渭滨区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

第16页/共16页高一年级数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项是符合题目要求的）1.某高中共有学生1800人，其中高一、高二、高三的学生人数比为16：15：14，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本，则高一年级应该抽取的人数为（）A.28 B.30 C.32 D.36【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样相关知识直接求解即可.【详解】由题意得，高一年级学生人数所占比例为，所以从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本，则高一年级应该抽取的人数为.故选：C2.的直观图是边长为2的等边，则在原图中，的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据直观图与原图的关系求解即可.【详解】在直观图中，因为边长为的等边，所以上的高，∴，∴在原图中，上的高.所以的面积为，故选：B.3.在正方体中，异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接和，得到，把直线与所成的角即为直线与所成的角，在等边中，即可求解.【详解】如图所示，连接和，在正方体中，可得，所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，在中，可得，所以，即异面直线与所成的角为.故选：C.4.从1，2，3，4，5这5个数中随机选出2个数，则这2个数都是偶数的概率为（）A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.1【答案】D【解析】【分析】先求出从5个数中随机选出2个数，共有种情况，再求出从2个偶数中选2个，有种情况，即可得答案.【详解】这5个数中2，4为偶数，从这5个数中随机选出2个数共有种情况，其中都是偶数的有种情况，则所求的概率.故选：D.5.在矩形中，，，是的中点，是的中点，则（）A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】根据向量基底法进行转化进而求解数量积.【详解】如下图所示，故选：B6.已知空间中两个角，的两边分别对应垂直，且，则角的大小为（）A B. C.或 D.不确定【答案】D【解析】【分析】作出的边平面，得到，再作，证得平面，得到，进而得出答案.【详解】如图所示，设是一个确定的角，且在平面内，其中的边平面，所以，作，因为平面，平面，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，对于给定的，当变化时，的取值范围为，所以如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角的大小关系不确定.故选：D.7.已知直线平面，则“直线”是“”的（）A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据线面平行、垂直关系结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为直线平面，若直线，则，又因为直线平面，若直线，则或，所以“直线”是“”的充分但不必要条件.故选：A.8.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，要使得正四面体能自由转动，则正方体必须能装下正四面体的外接球，即正方体的最短棱长为正四面体的外接球的直径，根据求得正四面体的外接球的半径，即可求解.【详解】如图所示，根据题意可得，设的中点为，底面的重心为，为外接球的球心，则有底面，，，且，其中为外接球的半径，在直角中，可得，直角中，，且，所以，解得，所以正方体的最短棱长为.故选：A.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.下列关于平面向量的命题错误的是（）A.若，，则B.若，则是锐角三角形C.一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据D.若实数，互为相反数，则在复平面内对应的点位于第二或第四象限【答案】ABD【解析】【分析】对于A：根据向量平行、垂直的概念分析判断；对于B：根据向量数量积与夹角之间的关系分析判断；对于C：根据平均数、众数、中位数的概念分析判断；对于D：根据复数的几何意义分析判断.【详解】对于选项A：若，则对任意的，均有，，此时不一定平行，故A错误；对于选项B：若，可得为锐角，但不确定是否为锐角，故无法判断的形状，故B错误；对于选项C：例如1，1，1，这组数据的平均数、众数、中位数均为1，所以一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据，故C正确；对于选项D：例如，满足实数，互为相反数，但在复平面内对应的点位于为坐标原点，故D错误；故选：ABD.10.已知复数范围内关于的方程的两根为，则下列结论正确的是（）A. B.C.与互为共轭复数 D.【答案】CD【解析】【分析】根据题意求解，结合复数的相关概念和运算逐项分析判断.【详解】因为，即，解得，不妨令，对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B错误；对于选项C：与互为共轭复数，故C正确；对于选项D：，故D正确；故选：CD.11.某校在开展的“体育节”活动中，为了解学生对“体育节”的满意程度，组织学生给活动打分（分数为整数，满分100分），发现分数均在内，从中随机抽取一个容量为300的样本，并将这些数据分成6组并作出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形（如图所示），则下列说法中正确的是（）A.样本中分数落在的频数为45人 B.样本的众数为75分C.样本的平均数为75分 D.样本的80百分位数为85分【答案】AB【解析】【分析】根据频率分布直方图得到各组概率，根据概率和为1得到分数落在的频率进而求解其频数，从而判断A；根据频率最高的区间得到众数，从而判断B；根据频率分布直方图的平均数与百分位数求法计算，从而判断C和D.【详解】设分数落在的频率为，由题意得，各组频率依次为，，，，，，所以，解得.对于A，样本中分数落在的频数为人，故A正确；对于B，由题意知，样本中的频率最高，所以众数为75分，故B正确；对于C，样本的平均数为分，故C错误；对于D，分数小于80的频率为，分数小于90的频率为，所以样本的80百分位数位于，设为，则，解得，故D错误.故选：AB12.如图，正方体的棱长为1，且，分别为，的中点，则下列说法正确的是（）A.平面 B.C.直线与平面所成角为 D.点到平面的距离为【答案】ABC【解析】【分析】取棱中点，利用线面平行的判定推理判断A；利用线面垂直的性质推理判断B；求出EF与平面ABCD所成的线面角判断C；使用等积法求点到平面的距离.【详解】在正方体中，取棱中点，连接，因为，分别为，的中点，则，因此四边形为平行四边形，则平面，平面，所以平面，故A正确；因为平面，平面，则，所以，故B正确；显然平面，则是与平面所成的角，又，有，由于，所以直线与平面所成的角为，故C正确；等边三角形的面积为，设到平面的距离为，由得，解得，故D错误.故选：ABC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知点，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为_________.【答案】【解析】【分析】根据题意，求得，结合投影的向量为，即可求解.【详解】由点，可得，又由，可得，可得向量在向量上的投影的数量为，所以向量在向量上的投影的向量为.故答案为：14.球被平面所截得的截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面面积为_________.【答案】【解析】【分析】先求出截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再利用球的表面积公式可得结果.【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，则，∴，∴，即，∴球的表面面积为.故答案为：.15.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为_________.【答案】【解析】【分析】根据扇形的弧长与半径、圆心角的关系求得扇形弧长，即得到圆锥底面圆的周长，结合直角三角形的性质，根据圆锥体积公式即可求解.【详解】如下图所示，因为圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，所以圆锥侧面展开图的弧长为，即圆锥底面圆的周长为，则，得，所以底面圆面积，在中，，即圆锥的高，所以该圆锥的体积为.故答案为：16.已知样本容量为5的样本的平均数为3，方差为，在此基础上新增数据3，得到样本容量为6的新样本，则该新样本的方差为_________.【答案】3【解析】【分析】根据题意得到平均数未改变，根据方差公式计算即可.【详解】样本的平均数为3在此基础上新增数据3，平均数仍为3，原样本方差，所以，所以新样本样本容量为6，方差为.故答案为：3四、解答题（本大题共5小题，每小题14分，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知复数，复数在复平面内对应的向量为.（1）若为纯虚数，求的值；（2）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题可知，求得，根据为纯虚数，列出方程组，即可求解；（2）由，根据题意列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由复数在复平面内对应的向量为，可得，又由复数，则，因为为纯虚数，可得，解得.【小问2详解】解：由，因为在复平面内的对应点在第三象限，则，解得，即实数的取值范围是.18.已知向量，的夹角为，且，.（1）若，求值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，联立方程组求得，结合，即可求得的值；（2）由（1）知，，，结合向量数量积的运算公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，解得，因为，则存在非零实数使得，即，可得，解得.【小问2详解】解：由（1）知，，，且，可得，所以，所以.19.为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答一道有关党的知识问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两名同学都回答错误的概率是，乙、丙两名同学都回答正确的概率是.若各同学回答是否正确互不影响.（1）求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率.【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C，根据相互独立事件的概率乘法公式，列出方程组，即可求解；（2）根据独立事件的概率乘法公式，分别求得0名同学回答正确和1名同学回答正确的概率，结合对立事件的概率公式，即可求解.【小问1详解】记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则，，，即，所以，，所以乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率为和.【小问2详解】有0名同学回答正确的概率，有1名同学回答正确的概率，所以不少于2名同学回答正确这道题的概率.20.已知如图：四点共圆，，，，.（1）求的长度；（2）若，求区域面积的最大值.【答案】（1）6（2）【解析】【分析】（1）根据题意求得，再由正弦定理得到，再在中，利用余弦定理，即可求解.（2）在中，由余弦定理得到，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：因为四点共圆，且，可得，又因为，可得，在中，由正弦定理可得，因为，可得，所以，在中，由余弦定理知，即，解得或（舍去），所以.小问2详解】解：在中，，，在中，由余弦定理得，即（当且仅当时取等号），所以，所以，即区域面积的最大值为.21.阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体.如图，四棱锥就是阳马结构，平面，且，连接，，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意取CD中点为H，连接HE，HF，通过证明面面平行，从而得到线面平行；（2）根据题意证明得为直角三角形，通过作垂直，从而找出二面角的平面角，根据几何关系，求出其正切值即可.【小问1详解】如图，取CD中点为H，连接HE，HF.因为E，F分别是PC，BD的中点，H为CD的中点，所以，.又因为，所以.因平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.同理可得，平面PAD，因为平面EFH，平面EFH，，所以平面平面PAD，因为平面EFH，所以平面P