2021-2022学年湖北省黄冈市宝塔中学高二数学理期末试卷含解析

2021-2022学年湖北省黄冈市宝塔中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，是PC的中点，设．（1）试用表示出向量；（2）求的长．参考答案：

略2.（5分）如果复数z满足（2+i）z=5i（i是虚数单位），则z（） A．1+2i B． ﹣1+2i C． 2+i D． 1﹣2i参考答案：A3.圆和圆的位置关系为（

）A.相交

B.

内切

C.外切

D.外离参考答案：D略4.过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条参考答案：C【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【分析】根据直线截距的意义即可得到结论．【解答】解：若直线过原点，则满足条件，此时设直线方程为y=kx，则4=﹣2k，解得k=﹣2，此时直线为y=﹣2x，若直线不经过原点，则设直线的截距式方程为，∵直线过点（﹣2，4，），∴，∵|a|=|b|，∴a=b或a=﹣b，若a=b，则方程等价为，解得a=b=2，此时直线方程为x+y=2，若a=﹣b，则方程等价为，解得b=6，a=﹣6，此时直线方程为x﹣y=﹣6，故满足条件的直线有3条，故选：C5.函数f（x）=log2（x2﹣3x+2）的定义域为（）A．（0，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C．（0，+∞） D．（1，2）参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质解关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由x2﹣3x+2＞0，解得：x＞2或x＜1，故函数的定义域是（﹣∞，1）∪（2，+∞），故选：B．6.执行如图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出S的值为（

）A.105B.16

C.15

D.1参考答案：C7.为了在运行下面的程序之后得到输出y＝16，键盘输入x应该是（

）A．或

B．

C．或

D．或参考答案：C8.若复数的实部与虚部互为相反数，则

（

）A、

B、

C、

D、2

参考答案：C9.已知点（m,n）在直线上，则的最小值为（

）

A．1

B.2

C.

D.4参考答案：D略10.点是所在平面上一点，若，则的面积与的面积之比为(

)

(A)

(B).

(C).

(D).

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知命题p：实数m满足m﹣1≤0，命题q：函数y=（9﹣4m）x是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为．参考答案：（1，2）【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】由题设知命题p：m≤1，命题q：m＜2，由p∨q为真命题，p∧q为假命题，知p真q假，或p假q真．由此能求出m的取值．【解答】解：∵命题p：实数m满足m﹣1≤0，命题q：函数y=（9﹣4m）x是增函数，∴命题p：m≤1，命题q：9﹣4m＞1，m＜2，∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p真q假，或p假q真．当p真q假时，，无解；当p假q真时，，故1＜m＜2．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12.已知双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为 。参考答案：略13.幂函数的图像经过点，则的解析式为

。参考答案：略14.的展开式中的常数项为

．

参考答案：1215.设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为______________．参考答案：略16.已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值S=1=rd（d是切线长）∴d最小值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故答案为：2【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．17.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球的条件下，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正确结论的序号是________．参考答案：①②④.【分析】①根据古典概型概率公式结合组合知识可得结论；②根据二项分布的方差公式可得结果；③根据条件概率进行计算可得到第二次再次取到红球的概率；④根据对立事件的概率公式可得结果.【详解】①从中任取3个球，恰有一个白球的概率是，故①正确；②从中有放回的取球次，每次任取一球，取到红球次数，其方差为，故②正确；③从中不放回的取球2次，每次任取一球，则在第一次取到红球后，此时袋中还有3个红球2个白球，则第二次再次取到红球的概率为，故③错误；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次取到红球的概率为，至少有一次取到红球的概率为，故④正确，故答案为①②④.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式、对立事件及独立事件的概率及分二项分布与条件概率，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.求函数y=+的最大值．参考答案：解：由柯西不等式可得y2=（+）2≤[12+（）2]（1+x+1﹣x）=6，当且仅当=，即x=﹣时取等号，∵y≥0，∴x=﹣时，y的最大值为．略19.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）

经常网购偶尔或不用网购合计男性50

100女性70

100合计

（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：0.150.100.050.0250.01000050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：（1）详见解析；（2）①；②数学期望为6，方差为2.4.【分析】（1）完成列联表，由列联表，得，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．②由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意，由此能求出随机变量的数学期望和方差．【详解】解：（1）完成列联表（单位：人）：

经常网购偶尔或不用网购合计男性5050100女性7030100合计12080200

由列联表，得：，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：．②由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意，∴随机变量的数学期望，方差D（X）=．【点睛】本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.为了调查大学生对吸烟是否影响学习的看法，询问了大学一、二年级的200个大学生，询问的结果记录如下：其中大学一年级110名学生中有45人认为不会影响学习，有65人认为会影响学习，大学二年级90名学生中有55人认为不会影响学习，有35人认为会影响学习；（1）根据以上数据绘制一个2×2的列联表；（2）据此回答，能否有99%的把握断定大学生因年级不同对吸烟问题所持态度也不同？附表：p（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.78910.828参考答案：【考点】独立性检验的应用．【专题】综合题；概率与统计．【分析】（1）根据其中大学一年级110名学生中有45人认为不会影响学习，有65人认为会影响学习，大学二年级90名学生中有55人认为不会影响学习，有35人认为会影响学习，可得2×2的列联表；（2）由K2统计量的数学公式计算，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（1）2×2的列联表为：

有影响无影响合计大一4565110大二553590合计100100200（2）由K2统计量的数学公式得：＞6.635∴有99%的把握说：大学生因年级不同对吸烟问题所持态度也不同．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，计算K2统计量，与临界值比较是关键．21.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点F重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，．（1）求椭圆C1的方程；（2）若过点A（﹣1，0）的直线与椭圆C1相交于M、N两点，求使成立的动点R的轨迹方程；（3）若点R满足条件（2），点T是圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，求|RT|的最大值．参考答案：【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程；圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（1）抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0），准线为x=﹣1，设点P的坐标为（x0，y0），依据抛物线的定义，由，可求x0．由点P在抛物线C2上，且在第一象限可求点P的坐标，再由点P在椭圆上及c=1，a2=b2+c2=b2+1，可求a，b，从而可求椭圆的方程（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2）、R（x，y），则由，可得x1+x2﹣2=x﹣1，y1+y2=y．利用设而不求的方法可得设FR的中点为Q，由M、N、Q、A四点共线可得=，从而可得动点R的轨迹方程；（3）确定椭圆的左顶点，圆与x轴的交点坐标，即可求|RT|的最大值．【解答】解：（1）抛物线C2：y2=4x的焦点F的坐标为（1，0），准线为x=﹣1，设点P的坐标为（x0，y0），依据抛物线的定义，由，得1+x0=，解得x0=．∵点P在抛物线C2上，且在第一象限，∴=4x0=4×，解得y0=．∴点P的坐标为（，）．∵点P在椭圆上，∴．又c=1，且a2=b2+c2=b2+1，解得a2=4，b2=3．∴椭圆C1的方程为．（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2）、R（x，y），则=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），=（x﹣1，y）．∴+=（x1+x2﹣2，y1+y2）．∵+=，∴x1+x2﹣2=x﹣1，y1+y2=y．①∵M、N在椭圆C1上，∴，．上面两式相减，把①式代入得．当x1≠x2时，得．②设FR的中点为Q，则Q的坐标为（，）．∵M、N、Q、A四点共线，∴kMN=kAQ，即=．③把③式代入②式，得，化简得4y2+3（x2+4x+3）=0．当x1=x2时，可得点R的坐标为（﹣3，0），经检验，点R（﹣3，0）在曲线4y2+3（x2+4x+3）=0上．∴动点R的轨迹方程为4y2+3（x2+4x+3）=0．（3）4y2+3（x2+4x+3）=0可化为，中心为（﹣2，0），焦点在x轴上，左顶点坐标为（﹣3，0）∵圆（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标为（1，0），与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0）∴|RT|的最大值为2﹣（﹣3）=5．22.如图，