2022-2023学年湖南省长沙市毛公桥中学高三数学文测试题含解析

2022-2023学年湖南省长沙市毛公桥中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=acosx+xsinx，x∈．当1＜a＜2时，则函数f（x）极值点个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合法；导数的概念及应用．分析：先判定该函数为偶函数，再通过运算得出x=0为函数的一个极值点，最后再判断函数在（0，）有一个极值点．解答：解：∵f（﹣x）=acos（﹣x）+（﹣x）sin（﹣x）=acosx+xsinx=f（x），∴f（x）为偶函数，又∵f'（x）=（1﹣a）sinx+xcosx，且f'（0）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①所以，x=0为函数的一个极值点，而f''（x）=（2﹣a）cosx﹣xsinx，a∈（2，3），则f''（0）=2﹣a＞0，故函数f'（x）在x=0附近是单调递增的，且f'（）=1﹣a＜0，结合①，根据函数零点的判定定理，必存在m∈（0，）使得f'（m）=0成立，显然，此时x=m就是函数f（x）的一个极值点，再根据f（x）为偶函数，所以f（x）在（﹣，0）也必有一个极值点，综合以上分析得，f（x）在共有三个极值，故选C．点评：本题主要考查了函数的极值，以及运用导数研究函数的单调性和函数零点的判定，属于中档题2.复数（是虚数单位）的模等于（

）A． B．10 C． D．5参考答案：A由题意：，该复数的模为.本题选择A选项.3.按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数的值是A．5

B．6

C．7

D．8参考答案：A4.设集合,，则等于（）．

．

．

．参考答案：C，，所以，选C.5.对任意实数x，若表示不超过的最大整数，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B6.已知数列中，，则等于（

）A．16

B．32

C．

D．参考答案：答案：C7.已知函数，正实数、、满足，若实数是函数的一个零点，那么下列四个判断：①；②；③；④．其中可能成立的个数为(***).A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B8.在中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且，则一定是

（

）

A．直角三角形

B．等边三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形参考答案：C略9.“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件

必要不充分条件充要条件

既不充分也不必要条件参考答案：10.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于直线x=对称参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，则它们的大小关系为

.（用“”连接参考答案：>>略12.已知向量||=l，||=，且?（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出．【解答】解：∵?（2+）=1，∴，∵，∴，化为．∴==﹣．故答案为：．13.设z＝为实数时，实数a的值是_____▲_______参考答案：3略14.已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则

.参考答案：1+

15.已知向量，，向量，用，表示向量，则=

▲

．参考答案： 16.若曲线的切线的倾斜角为，则的取值范围是

。参考答案：17.已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为.(Ⅰ)求的解析式；

(Ⅱ)若，求的值.

参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）解析：(Ⅰ)因为为偶函数，故，从而.再由图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为，知，从而，故.

所以.(Ⅱ)原式.由条件知，平方得，从而.【思路点拨】（1）函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0≤?≤π）为偶函数，其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离，确定函数的周期，求出ω，确定?的值，求出f（x）的解析式；（2）把上一问求出的结果代入函数的解析式，得到角的正弦与余弦的和，用诱导公式和二倍角公式把所给的式子进行整理，根据同角的三角函数之间的关系得到结果．

略19.（本小题满分12分）给定椭圆：．称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由。参考答案：解析：（Ⅰ），椭圆方程为，

…………4分准圆方程为．

……5分（Ⅱ）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；同理可证方程为时，直线也垂直．

………………7分②当都有斜率时，设点，其中．设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则由消去，得．

………9分由化简整理得：．

因为，所以有．…10分设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直．

…11分综合①②知垂直．

……12分20.已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2=81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S=S1+S2，求S的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R，由已知条件推导出|PF1|+|PF2|=8＞|F1F2|=6，从而圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C的方程．（II）设直线OQ：x=my，则直线MN：x=my+3，由，能求出|OQ|2，由，能求出|MN|，由此能求出|MN|和|OQ|2的比值为常数．（III）由△QF2M的面积=△OF2M的面积，能求出S=S1+S2的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R由于动圆P与圆相切，且与圆相内切，所以动圆P与圆只能内切∴，∴|PF1|+|PF2|=8＞|F1F2|=6…∴圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a=8，2c=6，∴a=4，c=3，b2=a2﹣c2=7故圆心P的轨迹C：．…（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线OQ：x=my，则直线MN：x=my+3由，得：，∴，∴…由，得：（7m2+16）y2+42my﹣49=0，∴，∴===…∴，∴|MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为…（III）∵MN∥OQ，∴△QF2M的面积=△OF2M的面积，∴S=S1+S2=S△OMN∵O到直线MN：x=my+3的距离，∴…令，则m2=t2﹣1（t≥1），∵（当且仅当，即，亦即时取等号）∴当时，S取最大值…21.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，四边形都为矩形.（I）设D是AB的中点，证明：直线平面;（II）在中，若，证明：直线平面.参考答案：证明：（Ⅰ）连接AC1交A1C于点O，连接OD．………………2分四边形为矩形，为A1C的中点，D是AB的中点，OD为△ABC1的中位线，OD//BC1,………………4分因为直线OD平面A1DC，BC1?平面A1DC.所以直线BC1∥平面A1DC.………………6分（Ⅱ）因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.………………7分因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC.………………9分因为直线BC平面ABC，所以AA1⊥BC.………………10分由BC⊥AC，BC⊥AA1,

AA1，AC为平面ACC1A1内的两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.………………12分22.（12分）某车间某两天内，每天都生产件产品，其中第一天生产