2021年福建省福州市第四中学高二数学文期末试题含解析

2021年福建省福州市第四中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于函数，下列结论正确的一个是A.有极小值，且极小值点

B.有极大值，且极大值点

C.有极小值，且极小值点

D.有极大值，且极大值点参考答案：C略2.以下命题的说法错误的是（

）A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B.“”是“”的充分不必要条件C.若为假命题，则均为假命题D.对于命题使得，则，均有参考答案：C3.复数等于()A．1＋iB．1－I

C．－1＋iD．－1－i参考答案：A略4.定义新运算a*b为：a*b=，例如1*2=1，3*2=2，则函数f（x）=sinx*cosx的值域为（）A．[] B．[] C．[] D．[]参考答案：A【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】本题可以采用排除法解答，分析已知中，易得f（x）=sinx*cosx的功能为计算x正弦函数sinx与余弦函数cosx最小值，结合正弦函数和余弦函数的值域，分析即可得到答案．【解答】解：由已知中可知新运算的功能是计算a，b中的最小值则f（x）=sinx*cosx的功能为计算x正弦函数sinx与余弦函数cosx最小值由正余弦函数的值域均为[﹣1，1]可得f（x）的最小值为﹣1由此可以排除B、D答案最大值不大于1，可以排除C答案故选A5.用反证法证明命题:“设大于0，则、、中至少有一个不小于2.”时,假设的内容是(

)

A.都不小于2

B.至少有一个不大于2

C.都小于2

D.至少有一个小于2参考答案：C略6.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，点P为椭圆和双曲线的一个交点，则的值为（

）A、16

B、25

C、9

D、不为定值参考答案：B略7.已知垂直，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．1参考答案：B8.若且，则实数m=（

）A.1或-3 B.1或3 C.-3 D.1参考答案：A【分析】令代入，结合题中条件，即可求出结果.【详解】令，由可得，所以或，解得或.故选A【点睛】本题主要考查由二项展开式的系数和求参数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.

9.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（

）A

0个

B

1个

C

2个

D

3个参考答案：B10.已知向量，，若，则m=(

)A.－1 B.1 C.2 D.－2参考答案：B【分析】由，，表示出，再由，即可得出结果.【详解】因为，，所以，又，所以，即，解得.故选B【点睛】本题主要向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，算出A、B两点的距离为

m．参考答案：50【考点】余弦定理．【分析】根据题意画出图形，如图所示，由∠ACB与∠CAB的度数求出∠ABC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长．【解答】解：在△ABC中，AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，∴∠ABC=30°，由正弦定理=得：AB===50（m），故答案为：50【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．12.设是等比数列的前n项和，若，则

参考答案：413.在ΔABC中，A、B、C是三个内角，C=30°，那么的值是_____________。.参考答案：14.正方体中，点为的中点，为的中点，

则与所成角的余弦值为

参考答案：2/5略15.如果复数z=a2﹣a﹣2+（a+1）i为纯虚数，那么实数a的值为

．参考答案：2【考点】A2：复数的基本概念．【分析】由实部为0且虚部不为0列式求得a值．【解答】解：∵复数z=a2﹣a﹣2+（a+1）i为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．16.若曲线上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,则实数的取值范围是

.参考答案：17.复数（2+i）·i的模为___________.参考答案：.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥中，⊥底面,∥,⊥,,,为棱上的一点，平面⊥平面.

(1)证明：（2）求二面角的大小。参考答案：略19.已知双曲线的离心率为，且。（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.

参考答案：（1）；（2）m=120.已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的方程；（2）设轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明：直线与x轴相交于定点；（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围.参考答案：解：（1）由题意知故椭圆C的方程为

………………3分

（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为由

…………①将代入整理得，得

………………②由①得代入②整得，得所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）

…………7分

（3）当过点Q的直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为在椭圆C上。所以

………………13分

21.已知函数f（x）=ex﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）． （Ⅰ）当a=e时，求函数f（x）的极值； （Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）当a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣e，f'（x）=ex﹣e，由导数确定函数的单调性及极值； （Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f'（x）=ex﹣a，从而化恒成立问题为最值问题，讨论求实数a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣e，f'（x）=ex﹣e， 当x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0． 所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣e，函数f（x）无极大值． （Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f'（x）=ex﹣a， 若a＜0，则f'（x）＞0，函数f（x）单调递增， 当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大； 当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大， 故a＜0不满足条件． 若a=0，f（x）=ex≥0恒成立，满足条件． 若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna， 当x＜lna时，f'（x）＜0；当x＞lna时，f'（x）＞0， 所以函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 所以函数f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=elna﹣alna﹣a=﹣alna， 由f（lna）≥0得﹣alna≥0， 解得0＜a≤1． 综上，满足f（x）≥0恒成立时实数a的取值范围是[0，1]． 【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题． 22.（12分）已知四棱锥的