高中数学-向量数量积的物理背景与定义教学设计学情分析教材分析课后反思

2.3.1平面向量数量积的物理背景与定义（第1课时）一、教学目标重点：平面向量数量积的概念，性质．难点：平面向量数量积的定义，平面向量数量积的应用．知识点：平面向量数量积的概念，性质．能力点：通过对平面向量数量积性质探究，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．教育点：通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐，体会各学科之间是密不可分的．培养学生思考问题认真严谨的学习态度．自主探究点：有关向量数量积的性质．考试点：=1\*GB3①考查向量数量积运算；=2\*GB3②有关向量夹角的计算；=3\*GB3③应用向量解决垂直问题．易错易混点：向量的数量积与实数的乘法的区别．拓展点：向量在几何中证明垂直的应用．二、引入新课任意两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量，我们自然地会想到：两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？思考：1．如右图，一个物体在力的作用下产生位移，且力与位移的夹角为，那么力所做的功是多少？结论：2．功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量与的“数量积”．一般地，对于非零向量与的数量积是指什么？【设计意图】由旧知识引出新内容，同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系．三、探究新知1．平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(innerproduct)（或内积），记作，即，其中是与的夹角．特别强调：两个向量，的数量积与代数中两个数的乘积是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量与的数量积是记作，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×”代替，写成．思考1：对于两个非零向量与，其数量积是一个数量，那么它何时为正数？何时为负数？何时为零？结论：，当，即时，；当，即时，；当，即时，．思考2：零向量与任一向量的数量积是多少？结论：我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．2．正射影的定义对于两个非零向量与，设其夹角为，叫做向量在方向上的正射影．如上图所示，，即有向线段的数量为．特别强调：向量的投影是一个数量．思考1：向量在方向上的投影一定是正数吗？向量在方向上的正射影是什么？结论：不一定是正数，其正负取决于，即的取值．向量在方向上的投影是．思考2：根据投影的概念，数量积的几何意义是什么？结论：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积，或等于的长度与在方向上的投影的乘积．【设计意图】使学生从感性到理性去认知数量积的定义．通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，掌握相关的几何意义并加深对投影的认识．3．平面向量数量积的运算性质思考1：设与都是非零向量，若，则等于多少？反之成立吗？结论：思考2：当与同向时，等于什么？当与反向时，等于什么？特别地，等于什么？结论：当与同向时，；当与反向时，；，所以．通常记作．思考3：设与都是非零向量，如何计算它们的夹角？结论：由可得，再结合可求出．思考4：与的大小关系如何？为什么？结论：，因为，所以【设计意图】通过上述4个思考，在学生讨论交流的基础上，由教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动．这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情．四、理解新知1．对数量积的理解平面向量的数量积是两个向量之间的运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是：数量积的运算结果是数量而不是向量．这个数量的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关，数量积运算结果的符号取决于向量与的夹角．2．灵活掌握平面向量数量积的性质(1)，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算；(2)与可用来求向量的模，以实现实数运算向向量运算的相互转化．(3)不仅可以用来直接计算两向量、的夹角，也可用来求直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围．五、运用新知例1．已知，，且与的夹角，求．【设计意图】本例及拓展变式1，2均由学生自主完成，然后教师进行答案的校对．其目的是通过计算巩固对数量积定义的理解．解：六、课堂小结1．知识方面：（1）平面向量的数量积的定义；（2）平面向量数量积的几何意义；（3）平面向量数量积的重要性质.2．思想方法方面：体会类比的数学思想和方法，进一步提高抽象概括、推理论证的能力．【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节的内容有一个完整、系统的认识，在培养概括能力的同时，也对本节课的教学效果进行反馈．七、布置作业必做题：P115习题2-3A1,23选做题：已知与都是非零向量，且与垂直，与垂直求与的夹角．【设计意图】通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的．八、教后反思1．教学设计亮点：通过创设情境引入引入新课，激发了学生的学习兴趣；以提问、猜想、讨论、变式练习等方式让更多的学生主动参与进来，突出了学生在学习活动中的主体地位．2．课堂教学不足之处：本节的知识容量有些大，为了完成教学任务，反而使得部分知识点落实不到位，以致于学生在课下的压力颇大．九、板书设计2.4.1平面向量数量积的物理背与定义一、创设情境引入新课二、探究新知1．2．3．4．三、运用新知例1．例2四、归纳小结五、布置作业平面向量数量积的物理背景与定义学情分析1、学习任务分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。从以上的背景分析可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。2、学情分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，学习过任意角的三角函数和物理学中的力做功知识，应该能解决简单的物理问题。所以我主要采用从物理知识出发引导学生，激发学生学习的兴趣与热情，让学生自主探究逐步得出数学上的重要结论。平面向量数量积的物理背景与定义效果分析问题设计效果：问题1的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。问题2的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向。问题3的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫过程。设计效果1、通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，学生很容易接受。引出向量的夹角也显得顺理成章。在这里设计找夹角的练习，使学生感觉很形象直观。对数量积的定义加深理解，这个量的大小范围定位2、让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。无论是数量积的引入，还是性质的发现，我都是引导学生在与实数运算类比的基础上，进行猜想归纳得出结论。始终把学生作为学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生的求知欲，发展了学生思维能力，培养了学生的创新精神。3、整节课设计思路清晰，教学目标的明确，难点把握基本到位，细节上注意板书和多媒体的有机结合，课堂语言的科学性与艺术性的结合，4、通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。通过检测，反馈信息，再次对本节课学生做出评价，以便查漏补缺。教学方法效果：本课教学应用多媒体教学和学案教学,有效地增大堂课的课容量，减轻板书的工作量，有更多精力讲深讲透所举例子，提高讲解效率；直观性强，容易激发起学生的学习兴趣，有利于提高学生的学习主动性；有利于对整堂课所学内容进行回顾和小结。在课堂教学结束时，教师引导学生总结本堂课的内容学习的重点和难点。同时通过投影仪，同步地将内容在瞬间跃然“幕”上使学生进一步理解和掌握本堂课的内容。本课教学中以讲练结合为主，同时配合使用问题探究式，讨论交流展示、导思点拨等教学方法。极大的提高了学习的主动性和有效性。课堂上还将采用多媒体展示、学生独立回答和集体回答、学生板演等多种手段，激发学生的学习兴趣，提高课堂复习效率。当然，在学生回答之后，老师要及时给学生一个鼓励性的评价，以增强学生回答的信心，使课堂始终保持一种热烈、积极、主动的学习气氛。平面向量数量积的物理背景与定义教材分析（一）地位与作用向量是联系几何、代数与三角函数的一个桥梁，不仅其本身有着丰富的内容，更由于它在数学、物理等学科及其他生产、生活领域中的广泛应用，从而在高中数学中占据着举足轻重的地位。平面向量数量积是继向量的加、减法，实数与向量的乘积等线性运算之后又一新的运算。平面向量数量积的物理背景及其含义，包括数量积的定义、几何意义、性质及运算律。是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用。在数学、物理等学科中应用十分广泛。（二）内容分析本节课的主要学习内容是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。教材在给出向量数量积的概念后，介绍了向量正射影的定义，我们探究它的几何意义，为研究性质和运算律提供形的支持。本节教材共安排了2道例题，求正射影的量和求数量积的例题，教学时，我重点从对定义的分析和定义式、性质的规范书写两个方面加强示范，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。平面向量数量积的物理背景与定义平面向量数量积的物理背景与定义1.已知向量a、b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．变式训练1已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？2已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|(a＋b)·(a－2b)|.变式训练2：设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量，且a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2，试求|a＋b|的值．题型三：与向量夹角有关的问题3.已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求b与a＋b的夹角．变式训练3：已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c·a＝0，则向量a与b的夹角为________．平面向量数量积的物理背景与定义课后反思一、反思教学理念：新课程理念关注学生的发展。知识可以通过传授获得，技能可以通过训练掌握。态度和情感价值观需要学生参与获得。这样，课堂教学中，应该本着以学生为主体的原则,让学生充分发挥自己的学习智能,由学生唱好本节的主角.在设计习题上,也是先让学生审题、独立思考、合作探究解法,然后展示，教师在其中只进行必要的点评.重在理清思路,纠正错误,点拨解法,拓展思路,通过训练再进行方法提升,开拓题型.总之,本设计的主旨思想是把本节的学习过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体.二、反思教学过程1.引课：因为前面学生已经学习了向量的线性运算，所以今天学习向量的数量积学生不会感到突然，因而开门见山的引课方式是比较好的。2.平面向量的数量积的概念的探究过程，通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，学生很容易接受。引出向量的夹角也显得顺理成章。在这里设计找夹角的练习，使学生感觉很形象直观。3.通过数量积的几何意义的探究，对定义加深形象直观的理解，画抽象为形象。这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量正射影的关系，同时也更符合知识的连贯性，为后面的性质运算律的证明理解提供形象的支撑。4.数量积的重要性质，通过学生合作探究自己推导得出结论，印象非常深刻，有利于更好的理解定义，把握其实质。我还补充了合作探究、课堂练习、及课后作业，针对性较强。5.设计检测题从定义与性质方面进行检查，及时查漏补缺，巩固知识，达成目标。平面向量数量积的物理背景与定义课标分析对本节