2022-2023学年山东省青岛市九校联盟高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年山东省青岛市九校联盟高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.空间直角坐标系中，已知A(−1,1,3)A.(1,1,−3) B.2.若4名教师报名参加乡村志愿支教活动，可以从A，B，C这3个学校中选报1个，则不同的报名方式有(

)A.16种 B.24种 C.64种 D.81种3.质点M按规律s(t)=(2t−1)2做直线运动(位移单位：A.16m/s B.36m/s4.抛物线x2=2y上一点A的纵坐标为2，则点AA.32 B.2 C.52 5.圆x2+y2−4A.22 B.42 C.6.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为(

)A.224 B.112 C.56 D.287.已知4a=ln4，b=e−1，5cA.a>b>c B.c>a8.若函数f(x)=axA.(−∞,−14) B.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知双曲线的方程为：x29−yA.焦点为(±2,0) B.渐近线方程为7x±310.已知(1−2xA.a0=1 B.a3=−11.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是(

)A.1+C61+C72+C83=C93

B.第2023行的第1012个和第1013个数最大

C.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第12.已知函数f(x)=A.函数f(x)存在两个不同的零点

B.函数f(x)只有极大值没有极小值

C.当−e<k<0时，方程f三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若f(x)=x22−914.正项等比数列{an}中，a2，a4044是方程x2−15.盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是______．16.已知函数f(x)=(x+1)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

设数列{an}是公差为d(d>0)的等差数列，已知a1=1，a2⋅a3=15．

(118.(本小题12.0分)

设函数f(x)=xsinx+cosx+19.(本小题12.0分)

2022年4月16日3名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求：

(1)2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法；

(2)3名宇航员互不相邻的概率；

20.(本小题12.0分)

设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且短轴长为23．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若在21.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC/​/AD，AB⊥22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=2(x−3)ex−x+2ln答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】直接根据对称点的求解规律，直接求解即可．

本题主要考查对称点的求解问题，属于基础题．【解答】解：因为A(−1,1,3)，

故点A关于平面

2.【答案】D

【解析】解：根据题意，每一位教师可以从A，B，C这3个学校中选报1个，即每位教师报名都有3种选择，

则4名教师报名方式有34=81种．

故选：D．

根据题意，分析可得每位教师报名都有3种选择，由分步计数原理计算可得答案．3.【答案】B

【解析】解：s(t)=(2t−1)2，

则s′(t)=4(4.【答案】C

【解析】解：对于抛物线x2=2y，2p=2,p2=12，

∴准线方程为y=−15.【答案】C

【解析】解：圆x2+y2−4x−4y−10=0，即(x−2)²+(y6.【答案】B

【解析】【分析】

根据分层抽样的总体个数和样本容量，做出女生和男生各应抽取的人数，得到女生要抽取2人，男生要抽取1人，根据分步计数原理得到需要抽取的方法数．

本题考查分步计数问题，及考查分层抽样，解题的关键是根据分层抽样计算出男生和女生要抽取得人数，再由计数原理得到结果，本题是一个基础题．

【解答】

解：∵8名女生，4名男生中选出3名学生组成课外小组，

∴每个个体被抽到的概率是14，

根据分层抽样要求，

应选出8×14=2名女生，4×14=7.【答案】D

【解析】解：由题意得a=ln44，b=lnee=1e，c=ln55，

令f(x)=lnxx(x>0)，

则f′(x)=1−lnxx28.【答案】C

【解析】解：对函数求导数，得f′(x)=2ax+1−1x=2ax2+x−1x，(x>0)，

依题意，得f′(x)>0在(0,+∞)上有解．

即2ax2+x−1>0在(0,9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

利用双曲线方程求出渐近线方程，离心率，焦点坐标，结合点到直线的距离判断选项的正误即可．【解答】解：双曲线的方程为：x29−y27=1，

可知a=3，b=7，c=4，所以双曲线的焦点坐标(±4,0)，所以A不正确；

渐近线方程：7x±3

10.【答案】AC【解析】解：A.令x=0，可得a0=(1−0)7=1，故A正确；

B.含x3的项为C33⋅(−2x)3=−280x3，故a3=−280，故B错误；

C.令x=11.【答案】AB【解析】解：对于A，1+C61+C72+C83=1+6+21+56=84，C93=9×8×73×2×1=84，故1+C61+C72+C83=C93，故A正确；

对于B，由图可知：第n行有n+1个数字，

如果n是奇数，则第n+12和第n+12+1个数字最大，且这两个数字一样大；

如果n是偶数，则第n2+1个数字最大，

故第2023行的第1012个和第1013个数最大，故B12.【答案】BD【解析】解：A项，f(x)=0，则x2+x−1=0，Δ>0，则方程有两个实根，所以A正确；

B项，f′(x)=−x2−x−2ex=−(x+1)(x−2)ex，当f′(x)>0时，−1<x<2，

当f′(x)<0时，x<−1或x>2，

则函数f(x13.【答案】x+【解析】解：由f(x)=x22−92x，得

f′(x)=x−92，则f′(4)=−12．

又14.【答案】12【解析】解：正项等比数列{an}中，a2，a4044是方程x2−6x+8=0的两个根，

依题意a2a4044=815.【答案】ba【解析】解：记事件A：第一次抽取的是黑球，事件B：第二次抽取的是黑球，

则B=AB+A−B，

∵P(A)=ba+b，P(B|16.【答案】2

【解析】解：已知函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1，

可得f′(x)=(2+co17.【答案】解：(1)因为数列{an}是公差为d(d>0)的等差数列，且a2⋅a3=15，

所以a2⋅a3=(1+d【解析】(1)根据等差数列的通项公式求出公差，进而求解；

(2)结合(1)18.【答案】解：(1)因为f(x)=xsinx+cosx+x2+1定义域为R，

所以f′(x)=sinx+xcosx−sinx+2x=x(2+cosx)，

因为−1≤【解析】(1)求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；

(2)由(1)19.【答案】解：(1)根据题意，分2步进行分析：

①先排2名航天科学家A22，

②再排3名宇航员A33，

所以总共有A22A33=12种排法；

(2)根据题意，3名宇航员互不相邻，先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，所以总共有A22A33=12种排法，

而5人排成一排一共A55=120种排法，所以所求的概率为P=12120【解析】(1)根据题意，分2步依次分析航天科学家和航天员的排法，由分步计数原理计算可得答案；

(2)根据题意，分别计算“3名宇航员互不相邻”和“5人排成一排”的排法，由古典概型公式计算可得答案；

(3)根据题意，分“当2名航天科学家之间有3名宇航员”和“当220.【答案】解：(1)：(1)由题可得b=3，由e=ca=12有a=2c，b2=a2−c2=3c2=3，

解得c=1，a2=1+3=4．

故所求椭圆方程为：x24+y2【解析】(1)根据已知条件，结合离心率公式，以及椭圆的性质，即可求解．

(2)设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线OA，OB的斜率之和，由题意可得直线l21.【答案】(1)证明：连接BD交AC于M，∵BC/​/AD，

∴BMMD=BCAD=12，∵PF=12FD，∴PFFD=12，

∴BMMD=PFFD，∴PB//FM，

又FM⊂平面ACF，PB⊄平面ACF，

∴PB/​/平面ACF；

(2)设线段PB上存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的正弦值为66，设PH=λPB(0≤λ≤1)，

取AD中点O，连接OC，OP，∵PA=PD，∴PO⊥AD，∵侧面PAD⊥底面ABCD，

∴PO⊥底面ABCD，∵BC/​/【解析】本题考查空间中线与面的平行关系、线面角的求法，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，属于中档题．

(1)由BMMD=BCAD=12，可证BMMD=PF