2021高考数学全真模拟卷（北京版）15【解析版】

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（北京版）

第十四模拟

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合4=｛丁｝=》2+2%,*€尺｝,3=｛*k2+丁2=2,xeR,ye/?｝,则（）

A.[-1,2]B.（-1,2]

C.D.|^-1,V2J

【答案】D

【解析】集合A=卜,=/+2x,xe7?｝,则4=｛引丁2—1｝,

集合B=｛x,2+y2=2,xeR,yeR｝,则8=｛x卜及4x4血｝,

所以由交集运算可得AcB=｛y|yN_1｝门「卜04%<正｝=卜卜14x40｝,

即408=[-1,可

故选：D.

2.设等差数列｛斯｝的公差为4,若a=2册，则“d<0”是“｛5｝为递减数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析1充分性:若d<0,则«„+i-aH=d<0,即%<an，,2a向<2%，即晨<瓦,,

所以，数列｛2｝为递减数列，充分性成立；

a

必要性：若｛〃,｝为递减数列，则"+i<bn,即2"""<T">n+\<。“，则可+i-=d<0，

必要性成立.

因此，"d<0”是“也｝为递减数列”的充要条件.

故选：C.

3.若函数/（X+1）为偶函数，对任意X],Ww[l，+°°）且M工*2，都有（工2一%）[/（%）一/（9）]〉°，

则有（)

【答案】A

【解析】解：因为函数/（X+1）为偶函数，所以/（X）的对称轴为x=l;

又对任意苍，we［l,+8）且%。工2有（入2—%）［〃%）一/（%2）］＞。，则

/（X）在［1,+8）上为单调递减函数.因为

4M”》唱一亭河.所以唱＞/图”（沙

即右卜加创

故选:A.

J—1是等差数列，则等于（）

4.已知数列｛”“｝中，4=2，%=1，又数列，-

备+lJ

1c21

A.-1B.—C.—D.—

233

【答案】D

【解析】设么=〃+1，且数列｛2｝的公差为4

,11,11

仇=----=一,a=--------=—

%+13%+12

b.+2d=-

1311

，，解得八五，4」

b.+6d=—

'2

11”…13

.・=+（13l）x=

q+14244

1

故选：D

兀]

5.函数/(x)=sin—x—+1在区间(0,4)内的零点个数为()

2x

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】解：因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数.

故选：c.

6.已知平面直角坐标系内的两个向量1=(3,-2m),b=(l,m-2)，且平面内的任一向量£都可以唯一表示成

"=之£+〃石(九〃为实数),则实数机的取值范围是()

A.你+8)B.

C.(—00⑵D.(—co,-2)(-2,+oo)

【答案】B

(解析]由题意可知，平面内的任一向量c都可以唯一表示成c=2a+//k

a,b是平面内表示所有向量的一个基底,.

A

£,坂不共线,3（加-2）+2/MH0：.m手M

故，”的取值范围是（7,飙（*+8].

故选8

7.某三棱锥的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1）,则该三棱锥的体积为（）

A.—B.—C.1D.2

33

【答案】A

【解析】由题意，该几何体的直观图为三棱锥A—BCD，如下图，

其中ABL底面BCD，AB=2,在△88中，8D=1，BO边上的高为2,

所以三棱锥A—BCQ的体积为丫=g5ABe.A8=gxgxlx2x2=g.

8.刘徽是魏晋期间伟大的数学家，他是中国古典数学理论的奠基者之一.他全面证明了《九章算术》中的方

法和公式，指出并纠正了其中的错误，更是擅长用代数方法解决几何问题.如下图在圆的直径CD上任取一

点、E,过点E的弦AB和8垂直，则AB的长不超过半径的概率是（）

Al811

B.-C.一D

234¥

【答案】A

【解析】

设圆的半径为1,则有|AB|=2jl2To吁£,解得：J。目之今,

2八⑻

又E在直径C。上，所以所求的概率为2|CE|[2J

阿2*

故选：A

22

尢y

9.已知P为双曲线C：1(a>0,/?>0)左支上一点，A,尸2分别为C的左、右焦点，M为

a2b2

虚轴的一个端点，若|MP|+|P闾的最小值为由瑞则C的离心率为()

C4+V6

B.2+V6D.4+V6

2

【答案】C

【解析】解：|皿尸|+|尸国引〃。|+|尸制+2aN|M胤+2a=V^1/+2a=2c,

即d2c°-a2+2a-2c'

化筒得2c2—8ac+5a2=0，即Ze?—8e+5=0，

解得e=4域或e=t逅，所以eJ+木.

222

故选：C

—x+a,x>0

10.函数/(x)=|x|Tn(k|+l),g(x)=「］,若存在与使得〃Xo)<g(Xo)成立，则整数

a—x,x<0

I2

的最小值为()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】B

【解析】由题意得f(T)=|—(_ln(|_x|+l)=W_ln(W+l)=〃x),

BP/(-x)=/(x),所以函数〃x)为偶函数，

+0

且函数g(x)=<满足g(—x)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,

<0

要使得存在与使得/(/)<g(%)成立，

只需当时，/(x)-g(x)<0有解，即X—ln(x+l)—；x—4<0在［0,+8)有解,

即a>gx-ln(x+l)在［0,+oo)有解，

令g(x)=；x-ln(x+l),则g'(x)=g一±=^^,

当X€［O,1)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;

当xe(l,+8)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增；

所以当x=l时，函数取得最小值g(l)=；—ln(l+l)=g—ln2,

要使的使得存在/使得了(/)<g(%)成立，可得a>g-In2,

所以整数a的最小值为0.

故选：B.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.满足l4|z—l+的复数z在复平面上对应的点构成的图形的面积为.

【答案】2兀

【解析】由题意，设z=x+yi(x,yeR),

因为lW|z-l+4〈G，可得lw|(x-l)+(y+l)i|w百，即1W(X—iy+(y+l)2W3,

所以"上一1+心百表示外径为JL内径为1的圆环，

其中圆环的面积为S=%x(6)2一万xl2=2乃.

故答案为：2万.

12.在(2x-y)(x+y)6的展开式中x4/的系数为.

【答案】25

【解析】(2x-y)(x+y[=2x(x+j)6-y(x+y)6.

因为(x+y)6的展开式的通项公式为=C；x6-，y,「=0,1,2,3,4,5,6,

所以在(x+yp的展开式中Vy3的系数为cl=20,x4y2的系数为C；=15,

所以在(2x—y)(x+y『的展开式中x"的系数为2x20-15=25.

故答案：25.

1二设/⑺=cos法工厂则/(1)+/(2)+…+/(59)=---------•

【答案】竺8

2

£(、C/ZC。、cosxcos(60-X)

【解析】由题得小)+八6。7)=嬴g+嬴(30=+H

cosxcos(60°-x)cosxcos(600-x)

cos(30°-x)cos(x-30)cos(x-30°)cos(x-30°)

占.3.

_cosx+cos(60-x)_cosx+cos(60c-x)_2sinx+2C°S'

cos(x-30)cos(x-30)cos(x—30°)

_Gsin(x+60)_氐in(x-3(T+90。)_&cos(x-30。)_6

cos(x-30)cos(x-30°)cos(x-30°)

所以/(l°)+/(2')+…+/(59')=([(/(1。)+/(59。))+(/(2。)+/(58。))+--+(/(59。)+/(「))]

=-x59V3=—73.

22

故答案：竺叵.

2

14.某果园种植丑橘每年固定成本10万元，每年最大产量13万斤，每种一斤橘子，成本增加1元，已知销

售额函数/(x)=-x3+3or2+x,(x是橘子产量，单位：万斤，销售额单位：万元，。为常数)若产2万

斤，利润18万元，贝ija=；要使利润最大，每年需产橘子万斤.

【答案】3：6

【解析】解：因为产2万斤，利润18万元，

所以—23+12a+2—10—2=18,解得。=3

所以/(元)=-x3+9x2+x,

若设产量与利润的函数为g(x)，

则g(x)——x，+9%2+x—10—x——%3+—10,x€(0,13],

g'(x)=-3%2+18x,令g'(x)=0,则x=0(舍去)或x=6,

因为当0<x<6时，g(%)>0,当13之1>6时，g(%)<0,

所以当x=6,g(x)取最大值，

故答案为：3,6

15.已知函数/0)=/+1,直线/:>=*+2与x轴和>轴分别交于点。，B,直线/与函数的图象

交于A,C两点(点C在点B,。之间)，给出下列四个结论：

①若点E为y轴上一点，则存在符合条件的点E和实数“，使得△钻石为等边三角形；

\AC\

②记&)=西,则le{y|y=r(a)};

\AB\

③记〃(a)=上U，则/z(a)的值域为(0,+8)；

\BC\

④记g3）=*：d，15cll则对任意的非零实数都有黄V1成立（"G，々｝表示再’々中

最大的数，加〃｛%,X2｝表示X],%2中最小的数）•

其中正确结论的序号是

【答案】①②④

【解析】解：•••直线y=ac+2与X轴，y轴均相交，,•《/（）.

对于①，当NA5y=60°时，则当BE=84时，A4BE为等边三角形，故①正确;

y=ax+2

对于②，联立方程组｛…3，消兀可得：炉3-1=。,

a-yJa2+4Q++4

解得X.=---------，X,=---------，

1222

2

若r(a)=1，则|AC=|DC|,即C为AD的中点，又。(一屋。)，

._2+交®［亘=巴正亘<2,即42+4，+13〉0),

a2233a

/+4=幺+16,+乌,即2a4+7。2—4=0，解得a-=q,a-<

99/922

故当a=¥时，|Aq=|Z)q,，lG{y|y=r(a)},故②正确;

....\AB\

对于③，•.,〃。0,，故。(a)=I,故③错误;

16cl

对于④，;直线y=QX+2和直线y=一ax4-2关于y轴对称，目.抛物线/（x）=x2+1都关于y轴对称,

故g（a）=g（一〃），即芈&=1成立，故④正确.

g（一。）

故答案为：①②④.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.(本小题满分14分)

已知△ABC中，-<cosA.

b

(I)求证：B是钝角；

(II)若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：

①sinA=；②a=2；③c=拒；④sinC=-

22

请指出这三个条件，说明理由，并求出b的值.

「sinC'

【解析】(I)因为一<cosA,由正弦定理可得——<cosA,在三角形中,

bsinB

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,且sin3>0，

所以不等式整理为sinAcosB+cosAsinB<sinBcosA，

即sinAcos3<0,在三角形中可得sinA>0,

所以cosBvO,所以得证3为钝角;

ac

(II)⑴若满足①②③，则止法定理可得——=——，

sinAsinC

2=41

即五一sinC,所以sinC=],

又a>c,所以A>C,在三角形中，sinA=变，

TT371

所以A=一或A==万，而由（I）可得A=一

444

TT7T7T1

所以可得。=一，B=7C-A-C=7l-------=一*

64612

所以6=yla2+c2-2accosB=^4+2-2x2x72x（_"：&）=6+1

5）若满足①②④，由（I）B为钝角，A，C为锐角，

及sinA=sinC=^^可得A=M,C,

2243

所以8=2%不符合8为钝角，故这种情况不成立；

12

（m）若满足②③④，由8为钝角，sin。=走，

2

TC71

所以C=—，而4>c,所以4>c,这时8<一，

33

不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立；

综上所述：只有满足①②③时〃=6+1.

17.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥尸-A2C。中，48//。。,48,4。平面43。。，平面24。，E是总的中点，F是DC

上一点，且PD=AD,A8=2OF=6.

（1）求证:EF7/平面Q4O；

（2）若P4=4,PO=3,求直线P8与平面ABCD所成角的正弦值.

【解析】（1）如图，取P4的中点M，连接

则腔//AB,ME^-AB.

2

又。F//AB,DF=\AB,所以ME//DF，ME=DF，

2

所以四边形MDEE是平行四边形，所以EF〃MD,

因为MDu面BA。,跖2面Q4O，所以跖//面PAO

（2）过点P作P〃_LAD于点”，则P〃_L平面ABC。，以H为坐标原点，H4所在直线为>轴，过点H

且平行于A8的直线为z轴，PH所在直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系”一qz,

在等腰三角形24。中，P£>=AD=3，PA=4,

因为PH.A£）=MD-Q4，所以3P”=4x疗V，

解得「月=生叵

3

则AH=g,所以P华，。，08（0,|,6）,所以丽=（一竽,*6）.

易知平面A8C0的•个法向量为n=(1,0,0)，

PBn_2765

所以cos（PB,〃网网=―方

所以直线0B与平面A8C0所成角的正弦值为2叵.

39

18.(本小题满分14分)

在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各

位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手歌迷，他必选1号，不选2号，另在3

至5号中随机选2名.观众乙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.

(1)求观众甲选中3号歌手的概率；

(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙的票数之和，求尸(X=l).

【解析】((1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”

观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，则观众甲选3名歌手有种选法.

观众甲选中3号歌手有C；种选法.

所以观众甲选中3号歌手的概率P=

(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙的票数之和,

X=1表示观众甲、乙只有一人投票给3号歌手.

观众甲投票给3号歌手，而乙没有投票给3号歌手有C；C：种

观众乙投票给3号歌手，而甲没有投票给3号歌手有种

7

P（x=l）=c；c：+c；c：

15

19.(本小题满分14分)

已知函数=*-ln(x+a)+l.

(1)设x=l是兀v)的极值点，求m并求兀v)的单调区间;

(2)当aV3时，证明

1

【解析】⑴f'(x)=ex-'-

x+a

由x=l是/(X)的极值点知，/(1)=0，即1一占=0,所以0=0.

于是〃x)=e'T-lnx+l,定义域为(0,+8),且/'(x)=e'T-_L,

函数/'(X)=--在(0,+8)上单调递增,且/'⑴=0,

X

因此当x«0,1)时，r(%)<0；当xe(l,+8)时,/,(x)>0,

所以/(X)的单调递减区间为(0』)，增区间为(1，«°)•

(2)当a43,x>-a时，0<x+a«x+3,从而ln(x+a)Wln(x+3),则

〃x)+l=e*T-ln(x+a)+22e*T-ln(x+3)+2,

令g(x)=ei-ln(x+3)+2,XG(-3,+CO),则

且'(1)=，7-右在(—3,48)单调递增，

且g'(-1)=与-\<0，(g"(0)=--->0,

e2ee

故存在唯一的实数ye(-l,0),使得8'(%)=0.

当xe(—3,天)时，g'(x)<0,g(x)递减；当尤€(不,+oo)时，g'(x)>0,g(x)递增.

从而当X=/时，g(x)取最小值.

由g'(/)=0得e""_7^=0,则e'°T=7^i，/一l=-ln(%+3),

砧/\/XX,1/\1(%+2)2

故g(x)min=g(Xo)=e。-ln(x0+3)+2=——^+x0-l+2=——

由飞«-1,0)知,(*。+2)>o,故/1(x)+10g(x)Ng&)>0,

%+3

即当时,〃尤)>-1成立.

20.已知圆A(x-G『+y2=16的圆心为4,点8(-6,0)是圆A内一个定点，点C是圆A上任意一点,

线段BC的垂直平分线与半径AC相交于点。.

(1)求动点D的轨迹E的方程；

（2）给定点P（O,1）,设直线/不经过点P且与轨迹E相交于例，N两点，以线段MN为直径的圆过点P.

证明：直线/过定点.

【解析】

（1）如图，由己知，圆心A（、6,0）,半径「=4.

•••点D在线段BC的垂直平分线上，贝ij|£>C|=|。理

X|A（^=|ZM|+|ZX7|（：.\AC\=\D^[+\DB\

又•.[AC|=r=4,=4>|AB|

则动点。的轨迹E是以A（月,0），8卜月,0）为焦点，长轴长2a=4的椭圆

从而a=2,c=V3，〃=/—c2=1，

故所求轨迹E方程为三+丁=1.

4.

（2）由已知，ZMPN=90°,则丽・丽=0，

若/的斜率不存在，设/:x=f，由题设知且“<2

若/的斜率存在，设/:>="+〃

2

将y=依+〃2代入土+J_1得（4炉+l）d+8%如+4〃，-4=0

由题设可知△=16（4公-m2+l）>0

设”(％，x),N(x,y),则5+W=-内/=:':丁

22一：

"K十i4k+1

丽,=a，y—1),PN=(x2,y2-1),从而

PM-PN―x[x2+(x—1)(%—1)=内/+(Ax,+m—1)-(AX2+m—1)

2

=(k+1)玉工2+女(，〃-1)(%+x2)+(m—1)'=0

即仅2+i).把二i+M机-i).望生+(加一1J=o

\>4A:2+1')4二+1')

3

化筒得(加一1)(5加+3)=0,解得机=1(舍去)或相=一《

此时A=16(4左2+^|)>0成立，于是/：>=履一|

故直线/过定点

21.(本小题满分14分)

对于数列4：%,4,…M(4eN,i=l,2,…,〃)，定义“T变换”：T将数列A“变换成数

列纥：伉也，…也，其中々=|q.-a,*]|(i=l,2,…，〃-1),且々=|a“-q|,这种"T变换”记作

纥=T(4).继续对数列纥进行“T变换”，得到数列C“，…，依此类推，当得到的数列各项均

为0时变换结束.

(I)试问4:4,2,8和4：1，4,2,9经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T

变换”得到的各数列；若不能，说明理由；

(II)求&：4，。2，。3经过有限次“丁变换”后能够结束的充要条件；

(III)证明：Ajq,4,4,4一定能经过有限次“丁变换”后结束.

【解析】(I)解：数列A?：4,2,8不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0：0,2,2；

2,0,2；从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形.

数列4:1,4,2,9能结束，各数列依次为3,2,7,8：1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0.

(n)解：4经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是q=%=。3.

若％=4=%，则经过一次“T变换”就得到数列0,0,0,从而结束.

当数列43经过有限次“T变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(4)为常数列，则为常数列”•

当qNa22a3时，数列T(4)：q-%，%一。3，％一生.

由数列7(4)为常数列得4一%=%—%=4一%，解得《=%=%，从而数列4也

为常数列.

其它情形同理，得证.

在数列4经过有限次“丁变换”后结束时，得到数列0,0