山东省青岛市第三十六中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

山东省青岛市第三十六中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设为虚数单位，则复数=(

)

参考答案：选

依题意：2.如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AB＝6，AD＝4，将矩形纸片的右下角折起，使角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点M、N分别位于边AB、BC上，记,线段MN的长度为,则函数的图象大致为（

）参考答案：A3.

为虚数单位，复平面内表示复数z=(1+)(2+)的点在(

)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：A4.已知，，，则实数m，n，p的大小关系为（

）．A. B. C. D.参考答案：A∵，，∴，故选．5.已知f’(x)是f(x)(xR)的导函数，且f’(x)>f(x)，f(1)=e，则不等式f(x)－ex<0的解集为A.(－∞，e)

B.(e，＋∞)

C.(－∞，1)

D.(1，＋∞)参考答案：C6.对任意两个非零的平面向量和，定义；若两个非零的平面向量满足与的夹角，且都在集合中，则(

)

参考答案：略7.若函数f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a等于A

B

C

D2参考答案：D8.集合,,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B9.已知是等比数列的前项和，如果，，且，则A．B．C．D．参考答案：C10.下列结论正确的是

（

）（1）“”是“对任意的正数，均有”的充分非必要条件（2）随机变量服从正态分布N（2,22），则D（）=（3）线性回归直线至少经过样本点中的一个（4）的否定是A．（4）

B.（1）（4）

C.（1）（2）（4）

D.（1）（2）（3）（4）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某运动员投篮投中的概率，那么该运动员重复5次投篮，投中次数的期望是

；方差是

。参考答案：答案：3；1.212.设二次函数的值域为，则的最大值为

.

参考答案：略13.已知双曲线的离心率为，则实数m的值为

．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】判断双曲线的m＞0，求出a，b，c，由离心率公式e=，建立方程，解方程可得m的值．【解答】解：双曲线（m＞0），的a=，b=2，c==，由题意可得e===，解得m=2．故答案为：2．14.设集合，如果满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合A的一个聚点，则在下列集合中：

（1）（2）（3）（4）

以0为聚点的集合有

（写出所有你认为正确结论的序号）参考答案：（2），（3）15.设为不等边△ABC的外接圆，△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面内的一点，且满足(P与A不重合），Q为△ABC所在平面外一点，QA=QB=QC,有下列命题：①若QA=QP，。，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上;②若QA=QP,则；③若QA>QP,，则；④若QA>QP，则P在△ABC内部的概率为分别表示△ABC与的面积)．其中不正确的命题有__________（写出所有不正确命题的序号）．参考答案：①③④16.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值

．参考答案：考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．解答： 解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），=（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．故答案为：．点评：本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．17.右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=．参考答案：81略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）为了了解低保户的生活情况，用分层抽样的方法从三个居民区的低保户中，抽取若干家庭进行调研，有关数据如小表（单位：户）：居民区低保户数抽取低保户数3421768

（1）求；

（2）若从两个居民区抽取的低保户中随机选2户进行帮扶，用列举法求这2户都来自居民区的概率．参考答案：（1）分层抽样的抽样比为……………………2分

∴，……………………4分（2）记从居民区抽取的两个低保户为，从居民区抽取的四个低保户为，则从两个居民区抽取的6个低保户中随机选2户进行帮扶的基本事件有共15种………9分选中的2个低保户都来自居民区的基本事件有共6种………11分∴选中的2户都来自居民区的概率为

……13分19.A．选修4-1：几何证明选讲如图，圆O的直径AB＝4，C为圆周上一点，BC＝2，过C作圆O的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆O交于点D、E，求线段AE的长．参考答案：A．在Rt△ABC中，因为AB＝4，BC＝2，所以∠ABC＝60°，因为l为过C的切线，所以∠DCA＝∠CBA，所以∠DCA＝∠ABC＝60°．………………5分又因为AD⊥DC，所以∠DAC＝30°．在△AOE中，因为∠EAO＝∠DAC＋∠CAB＝60°，且OE＝OA，所以AE＝AO＝AB＝2．…………………10分20.海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名，现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如下：

时间点8点10点12点14点16点18点甲游乐场1031261220乙游乐场13432619

（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率；（2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为，现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间满足的概率.参考答案：（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点，一共有6个时间点，所以所求概率为；（2）依题意，有4个时间点，记为A,B,C,D；有2个时间点，记为a,b；故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b），共15种，其中满足条件的为（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），共8种，故所求概率.21.．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q．（Ⅰ）求证：QC?BC=QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ=6，AC=5．求弦AB的长．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）由已知得∠BAC=∠CBA，从而AC=BC=5，由此利用切割线定理能证明QC?BC=QC2﹣QA2．（2）由已知求出QC=9，由弦切角定理得∠QAB=∠ACQ，从而△QAB∽△QCA，由此能求出AB的长．解答： （本小题满分10分）选修4﹣1：几何证明选讲1证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5，由切割线定理得：QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC，∴QC?BC=QC2﹣QA2．（2）由AC=BC=5，AQ=6及（1），知QC=9，∵直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∴∠QAB=∠ACQ，又∠Q=∠Q，∴△QAB∽△QCA，∴=，∴AB=．点评：本题考查等式的证明，考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理、弦切角定理的合理运用．22.祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵.利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.试用祖暅原理推导球的体积公式.参考答案：我们先推导半球的体积.为了计算半径为R的半球的体积，我们先观察、、这三个量（等底等高）之间的不等关系，可以发