2021年中考数学总复习《圆》解答题18

2021年中考数学总复习《圆》解答题

1.如图，在回ABCD中，AB=l2cm,AD=6cm,ZBAD=60Q,点尸从点A出发，以2cmfs

的速度沿A-8-C运动，点。从点A出发，以acm/s的速度沿A-O-C运动，点尸、Q

从A点同时出发，当其中一点到达点C时，另一点也停止运动，设运动的时间为八s.

(1)求证：BDA.AD.

(2)若。=1,以点尸为圆心，PB为半径画0P,以点。为圆心，。。为半径画。。，当

OP和。。相切时，求，的所有可能值.

(3)若在点尸、。运动的过程中总存在r,使PQ〃B£>,试求a的值或范围.

【分析】(1)取AB的中点E,连接QE,可以证明△ADE是等边三角形，从而可以求出

NADE、NBDE,进而可以求出/A£)B=90°,即AO_LBD

(2)分0<f<6和6WfW9两种情况讨论，根据相切两圆的性质建立等量关系，就可求

出，的值.

(3)①若点。在AO上，点尸在AB上，由两条线平行推出两个三角形相似，进而得到

边成比例，即可求出a=l；②若点。在力C上，点P在BC上，同理可得［=-工-.由

a-4

6<f<9得6(-工-<9,从而解得l<a<2.

&-4

【解答】(1)证明：取A5的中点£连接。E,如图1所示.

\'AB=129A£)=6,

.\AE=AD=6.

VZA=60°,

•••△4OE是等边三角形.

：.DE=AD=AE=6,ZADE=ZAED=60°.

:・DE=BE.

：.ZEDB=ZEBD.

：.ZEDB=30°.

ZADB=90°,CPADLBD.

(2)解：①当0Vf<6时，

点。在A。上，点P在AB上，

此时AQ=f,QD=6-t,AP=2t,-2t.

：.QD<PB.

..AQ_tAP_2tt

'ADAB"12

.AQAP

••----=-----.

ADAB

'：ZQAP=ZDAB,

：.^AQP^^ADB.

；.N42P=408=90°.

'：AQ=t,AP=2t,

:・QP=g

I.若0。与。P相内切，如图2所示，

则IPB-QDI=P。

,:QD<PB,

：.PB-QD=PQ.

：.(12-2r)-(6-f)=瓜.

解得：r=3匾-3.

II.若。。与。P相外切，如图3所示，

则PB+QD=PQ.

：.(12-2r)+(6-/)=6.

解得：t=9-3久

②当6W/W9时，

点。在0c上，点P在BC上，

此时Q£)=L6,CQ=18-f,12.

过点。作QHLBC,垂足为“，连接P。，如图4所示.

•/四边形ABCD是平行四边形，

.,.NC=N4=60°.

：.sinZQCH=^-=-^-=返.

QC18-t2

Q”=乖(]gT),

2

同理：67/=丝匚.

2

VCP=18-2z,

：.PH=CH-CP="_q.

2

VQH±BC,即N尸"Q=90°,

・"。2=。"2+2”2

=[退世21L]2+[骂_g]2

22

=3於-54Z+324.

I,若。。与0P相外切，

则PQ=PB+QD=3t-18.

APe2=3?-54z+324=(3L18)2.

整理得：t2-9t=0.

解得；〃=0(舍去)，(2—9.

II.若。Q与。P相内切，

则PQ=IPB-QDI

-I(2t-12)-(t-6)l

=lt-6|-

.,.3?-54r+324=(t-6)2.

整理得：?-2h+144=0.

V212-4X1X144=-135<0,

...方程无实数根.

.•.不存在.

综上所述：当。。与。P相切时，f的值为3b-3、9-3«、9.

(3)解：①若点。在A。上，点尸在AB上，PQ//BD,如图1所示,

此时0<s<6,0</<6.

,JPQ//BD,

：./\APQ^/\ABD.

•.•,AP=AQ•

ABAD

.2t_at

••——•

126

・•〃=1.

此时0<W<6,符合要求.

②若点Q在。C上，点P在BC上,PQ//BD,如图5所示,

此时6<t<9.

,JPQ//BD,

：./\CPQ^/\CBD.

.CPCQ

•■---=-------.

CBCD

.18_2t18_at

••’一"二一•

612

整理得：（a-4）t=-18.

Q卫

a-4

V6<z<9,

-,.6<