“都市摩天楼”地最佳规划问题研究

PAGEPAGE1摘要中国有13亿的人口，在这样的社会背景下，有效利用空间就显得意义非常。因此提高建筑面积，容纳众多人口，是当务之急。在诺基亚手机中的都市摩天楼游戏中就抛出了这一问题。在游戏中，许多人都是随意发挥玩游戏，可是游戏有大楼种类和制造条件的限制，所以一定要有规划，才能把人数发挥到最大。胡乱的布局想要达到理想的人数是很困难的。想要全造xx的房子也是不可能的。因此我们将把此题转化为数学模型经行规划。我们首先将该案问题简化成简单的优化问题，利用枚举排劣法寻找出当三种或四种楼房共建时，结果可能满足要求，但是结果不是很理想，因此深入理解，确定另一思路，即只要求建设过程中满足限制条件即可，建立模型二。我们将该问题转化为数独游戏模型。具体转化为如下：5*5的方格阵用数字1-4填满其中1随便填填入2的时候旁边（相邻的4格中，斜角不算）必须有1填入3的时候旁边必须有12填入4的时候旁边必须有123问这个方格阵最大可能达到的数字和是多少，如何填。如果填入后可以替换掉旁边的低阶数字比如一个4旁边有123，其中2的旁边又有12那么当4被填入后，2可以用3替换掉求问这个方格阵最大可能达到的数字和是多少关键词：优化问题枚举排劣法数独游戏模型一、问题重述“都市摩天楼”的规则。都市摩天楼是诺基亚的一款经典游戏，其简单规则可以这样描述：一个拥有5*5方阵土地的城市，如下：蓝色：100人红色：400人绿色：700人黄色：1000人本游戏中，共四种房子，蓝色容纳100人，红色容纳400人，绿色容纳700人，黄色容纳1000人，规则为：若某位置盖红房子，则在其周围（上，下，左，右；斜邻不算），有蓝色房子；同样，若要在某位置有绿房子，其周围有蓝房子和红房子；若某位置该黄房子，则其周围有蓝房子，红房子和绿房子。其中应该注意的一点是，游戏过程中一次只能盖一栋房子，已建成的楼房可以被新楼房所取代，只要新楼房满足“相邻”条件，即可。在满足上述条件下，如何设计建造方案，使得该城市所容纳的人口最多即为所求。二．问题分析本题涉及问题实质上是一个优化问题，如何将所能容纳的人口达到最大，在此题中就是寻找能使A最少，将C、D的数目达到最大。目标函数设为Y=100a+400b+700c+1000d，只要找到a的最小值，c、d的最大值即可。在模型一中将直接运用枚举法，试找出a、b、c、d的范围。之后直接运用排劣法将不适合研究的模型去掉。在模型二中，将不考虑最终结果符合约束条件，只考虑建楼过程中满足约束，这样解题更贴近要求。在模型三中，将本题转化为数学问题数独游戏。将运用到模型二中的结果，作为数独游戏的约束条件，利用编程的方法求解。然后在此之上，将二中的结果提升作为第二次约束，求解。如此反复，直到找出无解的约束即为我们所要的解。也就是所能容纳人口的上限。三、模型假设1、假设第一次全用一种颜色的楼房。2、假设第二次用两种颜色的楼房，红色和蓝色。3、假设第三次用三种颜色的楼房，红色和蓝色和绿色。4、假设第四次用四种颜色的楼房，红色和蓝色和绿色和黄色。5、四、符号说明1、A蓝色楼房a所用蓝色楼房的数量2、B红色楼房b所用红色楼房的数量3、C绿色楼房c所用黄色楼房的数量4、D黄色楼房d所用黄色楼房的数量五、模型的建立和求解模型一利用枚举法：eq\o\ac(○,1)楼房全为蓝色楼房。AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAY=100a+400b+700c+1000d，共容纳人数为2500人eq\o\ac(○,2)楼房为红蓝两种颜色BABABAABABABBABABAABABABBABABA图1在此模块中B:A=13：12，及此模块为最一般的解，Y=6400人。在两种色的方案上，经比较较优方案如下：BBABBABBBABBABBABBBABBABB图2在此模块中B:A=18：7，所能容纳的人数较多,总容纳人数为Y=7900人。eq\o\ac(○,3)楼房为蓝红黄三种颜色随意填的结果可以是：CBABCACBCABCACBACBCACBABC图3在此模块中，所能容纳的人数为Y=10900人。另一模块：CBCACACBCBBCBCACACBA图4在此模块中所容纳的总人数为Y=11700人。eq\o\ac(○,4)所用楼房用四种颜色的楼房：CBABCADBDABCACBADBDACBABC图5此模块中，所能容纳的人数为Y=12100人。CBDACAACDBDCBCDBDCAACADBC图6此模块中，总共容纳人数为Y=13800人。总结：对于上述几个模型，我们运用分析比较地方法，经过排劣法得出只有三种或四种颜色楼房一起建，并且对称方式是以斜对角线对称，使得所容纳的人数最多。（如图3，图4所示）但是，我们的思路目前只局限于，将最终结果满足题中限制条件，如果是这样我们的模型将组多只能容纳13800人，即使有好的模块也只能达到上限值15000人左右。因此创建模型二。2.模型二在解的过程中，考虑题中的注意事项，即“游戏过程中一次只能盖一栋房子，已建成的楼房可以被新楼房所取代，只要新楼房满足“相邻”条件，即可。”也就是说，本次建模中，我们重点考虑的是过程中满足限制条件，而非结果的排列形式满足限制条件。最终结果：CDBDCDCDCDBDADBDCDCDCDBDC图7首先全造蓝色楼房，可以有意识的把人数多的覆盖在最中间的那撞，因为那撞最后要保留，其他都得拆。然后找图中东南西北4方向的红楼，同样最后也是要保留的。接下来在4个角上造绿楼（需要在旁边先造幢红楼作条件）CBBBCAAAAABAAABAAAAACBBBCCDBDCDAAADBBABBAAAAACDBDC然后在绿楼的2边就能造2幢黄楼了，接着按下图在中间造2幢红的，之后在红的上下造2幢绿楼。CDBDCDCACDBBABBDCACDCDBDC最后把中间绿楼上下左右的房子改成黄楼就可以了,得出如下：CDBDCDCDCDBDADBDCDCDCDBDC最终该模型能容纳19300人。是所设计方案中容纳人数最多的方案。3模型三将该问题转化为优化问题和数独游戏模型。具体转化为如下：5*5的方格阵用数字1-4填满其中1随便填填入2的时候旁边（相邻的4格中，斜角不算）必须有1填入3的时候旁边必须有12填入4的时候旁边必须有123问这个方格阵最大