2022-2023学年天津市河北区高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年天津市河北区高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列事件中，是随机事件的是(

)

①明天本市会下雨；

②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14；

③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；

④13个人中至少有2个人的生日在同一个月．A.①③ B.③④ C.①④2.i是虚数单位，若(2k2−3kA.0或2 B.2 C.−12 D.23.已知向量a=(−1,4)，bA.−1 B.6 C.−6 4.若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为(

)A.4π B.6π C.3π5.如图，已知△ABC中，D为AB的中点，AE=13ACA.−56 B.−16 C.6.设A、B、C、D是某长方体四条棱的中点，则直线AB和直线CD的位置关系是(

)A.相交

B.平行

C.异面

D.无法确定7.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的为(

)A.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α/​/β

B.若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m/​8.从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a，从集合{3,A.112 B.13 C.149.一度跌入低谷的中国电影市场终于在兔年春节迎来了大爆发.2023年春节档(除夕至大年初六)，在《满江红》《流浪地球2》《熊出没⋅伴我“熊芯”》《无名》《深海》《交换人生》等电影的带动下，全国票房累计67.59亿，超越2022年同期票房成绩，仅次于2021年成为史上第二强春节档.以下是历年的观影数据，下列选项正确的是A.2022年春节档平均每场观影人数比2023年春节档平均每场观影人数多

B.这4年中，每年春节档上映新片数量的众数为10

C.这4年中，每年春节档票房的极差为29.38亿元

D.这4年春节档中，平均每部影片的观影人数最多的是2023年10.如图，在三棱锥P−ABC中，PA=AC=BC，PA⊥平面ABCA.62

B.63

C.二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.i是虚数单位，化简−4+3i312.某同学进行投篮训练，在甲、乙两个不同的位置投中的概率分别为14，p，该同学站在这两个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为12，则p的值为______．13.某校举行演讲比赛，10位评委对一名选手的评分数据如下：8.0，7.7，8.1，8.2，7.6，7.8，7.9，8.7，8.8，7.5，根据以上数据，估计该选手得分的样本数据的第75百分位数是______．14.正方体ABCD−A1B1C15.如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小明在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两处岛屿的距离为______海里．

三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题8.0分)

一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”．

(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；

(2)写出事件R与G，M与N之间的关系；

17.(本小题10.0分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a+b=11，c=7，cosA=−17．

(Ⅰ)18.(本小题10.0分)

某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．

(Ⅰ)求证：OM/答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查随机事件的定义，即可求解．

根据已知条件，结合随机事件的定义，即可求解．

【解答】

解：由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件，

②不可能发生，是不可能事件，

④一定发生，是必然事件．

故选：A．2.【答案】C

【解析】解：∵(2k2−3k−2)+(k2−2k3.【答案】B

【解析】解：向量a=(−1,4)，b=(3,−2λ)，

则2a+b=(4.【答案】B

【解析】解：圆锥的底面半径为2，母线长为3，

则该圆锥的侧面积为

S侧面积=πrl=π⋅5.【答案】C

【解析】解：∵DE=DA+AE

=12BA+13AC

=12BA+13(BC−BA)

6.【答案】A

【解析】解：解法一：如图，延长ME使ME=EF，

因为A，B，C，D为棱的中点，

所以延长DC，AB都会交EF中点H处，

所以直线AB和直线CD的位置关系为相交．

解法二：如图所示，连接AD.EF，BC，

则易得AD平行且等于EF，EF平行且等于2倍BC，

所以AD平行且等于2倍BC，

所以四边形ABCD为梯形，

所以直线AB和直线CD的位置关系是相交．

7.【答案】D

【解析】解：选项A，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α/​/β或α与β相交，即A错误；

选项B，若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m/​/n或m与n异面，即B错误；

选项C，若m/​/n，n⊂α，α/​/β8.【答案】D

【解析】解：从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a，从集合{3,4,6}中随机地取一个数b，基本事件总数N=12．

当向量m=(b,a)与向量n9.【答案】D

【解析】解：对于A，2022年春节档平均每场观影人数为11446315≈36，

2023年春节档平均每场观影人数为12921266≈49，故A错误；

对于B，这4年中，每年春节档上映新片的数量从小到大排列为7，8，8，10，所以众数为8，故B错误；

对于C，这4年中，每年春节档票房的极差为78.43−59.05=19.38亿元，故C错误；

对于D，这4年平均每部影片的观影人数依次为132208≈1653万，1604610≈1605万，114468≈1431万，129217≈1846万，故D正确．

故选：D．

10.【答案】B

【解析】解：在三棱锥P−ABC中，PA=AC=BC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，O为PB的中点，

以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

设PA=AC=BC=1，则C(0,0,0)，P(0,1,1)，B(1,0,0)，O(12,12,12)，A(0,11.【答案】i

【解析】解：−4+3i3+4i=(12.【答案】13【解析】解：依题意，投篮两次都不中的概率为(1−14)(1−p)=1−12，解得p=13.【答案】8.2

【解析】解：依题意，评分数据由小到大排列为：7.5，7.6，7.7，7.8，7.9，8.0，8.1，8.2，8.7，8.8，

而10×75%=7.5，所以该选手得分的样本数据的第75百分位数是8.2．

故答案为：8.2．

把给定数据由小到大排列，再根据第14.【答案】60°【解析】解：连接A1C1，BC1，∵AD1//BC1，∴∠A1BC1为异面直线A1B和直线AD1所成的角，

∵在正方体ABCD−A1B115.【答案】20【解析】【分析】本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．

分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB．

【解答】连接AB，由题意可知

CD=40，∠ADC=105°，∠BDC=45°，∠BCD=90°，∠ACD16.【答案】解：(1)用数组(x1,x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，

所以试验的样本空间Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，

事件R={(1,2)【解析】(1)利用列举法列出试验的样本空间，再分别列出各事件的基本事件作答．

(2)利用互斥事件与对立事件的定义逐个判断作答．

(17.【答案】解：(Ⅰ)∵c=7，cosA=−17，

∴由余弦定理得a2=c2+b2−2cbcosA，可得a2【解析】(Ⅰ)由余弦定理和a+b=11，可求得a，b值．

(Ⅱ)由余弦定理可求cos18.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，

(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1，解得a=0.006．

该校学生满意度打分不低于70分的人数为：1000×(0.28+0.22+0.18)=680．

(2)众数：75；

0.04+0.06+0.22=0.32，所以中位数为：【解析】(1)由频率分布直方图的概率和为1求出a的值，再由频数=频率×概率得出打分不低于70分的人数；

(2)由众数、中位数的定义求解；

(19.【答案】证明：(Ⅰ)在△PBD中，因为O，M分别是BD，PD的中点，

所以O