气体分子热运动的统计规律

第十四章气体分子热运动的统计规律(statisticallawofthermalmotionofgasmolecular)§14-1平衡态概率统计平均值(equilibriumstate，probability，statisticalmeanquantity)、平衡态(equilibriumstate)1、 概念(concept)宏观性质长时间不改变的状态2、 描述(describe)(1)状态参量①体积V：气体分子所能到达的空间(m3)压强P：单位面积上受到的压力)()((K))((K)单位面积的动量变化率温度T：气体的冷热程度VPT间关系一一物态方程pV=MRT(但只有两个是独立变量)几何图形(P—V图)①平衡态：点a②准静态过程过程：物态随时间的变化,多点集合——曲线准静态过程：过程变化缓慢，每一步均可视为平衡态它在P—V图上为一曲线，如abo、概率(probability)1、 概念(concept)事件出现的相对机会，即可能性2、 表示(expression)N(N很大)次试验中，x事件出现了N.次则X事件出现的概率

N离散事件)P(X)=卞离散事件)如果事件连续分布，且f(x)表示单位间隔中出现的概率，(亦称概率密度或分布函数)则出现在dx间隔中的概率p(x)=f(x)dx3、特性(specificproperty)小于1,p(x)Wl归1, Ep(x)=1J®f(x)dx二104、等概率假设(postulateofequalprobability)处于平衡态时，分子向各个方向运动概率相等三、平均值(meanquantity)1、概念(concept)物理量的平均大小，表示量上加“一”如x2、计算(computer)(1)离散情况+Xpnn+XpnnX= i_i=Xp+Xp+N 11 22(2)连续情况x=Jxf(x)dx某变量的平均值=该量与分布函数的乘积对变量积分§14—2 气体压强与温度的统计意义(statisticalmeaningofgaspressureandtemperature)、气体的微观模型(microscopicmodelofgas)1、微观模型(microscopicmodel)分子可视为质点，同类分子的质量相同分子除碰撞外无其它相作用，而分子的碰撞为弹性碰撞2、验证(verification)不能直接用实验而是根据其推论与宏观实际(气体宏观实验)一致性来检验、压强(pressure)1、实质(substance)大量分子对器壁的碰撞，单位面积的动量变化率ApApAtAs2、公式（formula）（1）如图，一个分子质量为m,速率为v的分子i与器壁As碰后动量大小的变化（在x方向上）A2、公式（formula）（1）如图，一个分子质量为m,速率为v的分子i与器壁As碰后动量大小的变化（在x方向上）Ap=-2mvcos0=-2mv （力学）iiix（2）一群处于斜高为vAt，底面为iAs的柱体中速率基本为v的分子与As碰后的动量变化i①柱体中速率基本为v的分子数（设分子数密度为n，iiN'=niAsAtvcos0i②它们与As碰后动量的变化AP'=N'Ap=-2nimv2AsAti i ix但据等概率假设，有一半的分子可能反向运动而不能与As同时相碰，故动量变化应修正减半，即AP=-nimv2AsAti ix斜柱体中各种速率分子与As相碰后引起总动量变化AP=EAPi=-mEnv2AsAt—i_ix =-nmv2AsAt统计）x

统计）据等概率假设v2V2二V2+Vy2+V22二3Vxv2统计)故气体动量的变化V2Ap二一nmAsAt3气体受到器壁的作用：F'F'=APAt(4)根据牛顿第三定律，气体对器壁的作用力F二-F'压强公式据定义121-121-22=_nmv=n—mv3 32=—ns式中s式中sk=2mV2为单个分子的平均动能k2统计力学处理问题方法小结对单个粒子：用牛顿力学规律对大量粒子：用统计规律(求平均值)3、统计意义(statisticalmeaning)•・•公式的推导应用了统计的概念及方法・•・压强是个统计量，是大量分子的集体表现，对少数几个分子说它们有多大压强无意义。三、温度(temperature)1、公式(formula)由物态方程pv=RT,加工整理，得MRTNmRTnR 2-p= = = T=nkT=—nsVp VNmvN 3kA4式中,n=为分子数密度Vk=—为玻耳兹曼常量NA故得3kT=r〜v22x2、微观意义(microscopicmeaning)从温度公式可以看出，温度随分子运动速度增减面增减温度是分子热运动剧烈程度的量度3、统计意义(statisticalmeaning)从温度公式可以看出t-rK(统计平均量)・••温度是个统计量，是大量分子热运动的集体表现，离开了大量分子，仅说单个分子或少数几个分子，有多高温度是没有意义的。4、说明(explain)1)在很多物理公式中，k，T均以乘积形式同时出现，互不分离，故我们亦无必要将其拆开，由于kT的量纲与能量相同，故也有人用能量单位来表示温度(2)P=nkT由物态方程PV=—RT导出，因此也有人将其符为物态方程①随堂小议(discussontheclass)关于温度的概念：下列说法中不正确的是(3)温度的高低反映了物体内部分子运动剧烈程度的不同；气体的温度是分子平均平动动能的是度；从微观上看，气体的温度表示气体每个分子的冷热程度;气体的温度是大量气体分子的集体形为，具有统计性§14—3玻耳兹曼分布律(Boltzmanndistribution)、气体分子在重力场中的分布(distributionofgasmolecularingravityfield)1、等温气压公式(isothermal-pressureformula)(1)公式(formula)p0利用空气柱模型可得压力差dp=-mg=-pgdzAs利用p=nkt可得密度

m mpp= =nm=—Asdz kTpTZ=0处压强0故pTZ=0处压强0p0 0积分得In耳=mgZkTmgz故pmgz故p=pe_kt0对应高度kT]pz=lnomgp=pe"rt0(1)(2)式(1)：等温气压公式式(2)：等温高度公式(2)物理意义在温度不变情况下，大气压强随高温增加而接指数规律减少(Zf,P；)2、气体分子在重力场中的分布(distributionofgasmolecularingravityfield)利用P=nkT可得n=n=ne-mgZKT分子数密度n随高z的增加而接指数规律减少、玻耳兹曼他分布(Boltzmanndistribution)1、公式(formula)可以得出(推导过程不要求)n=A-1kten――分子数密度A――常量E――粒(分)子的能量iEi——玻耳兹曼因子kT2、 物理意义(meaningofphysics)具有E能量的分子数密度n随E的增加而按指数规律减少一一微观粒子优先占领ii低能级。3、 应用(application)很广，如分离同位素，激光理论等§14-4麦克斯韦速率分布律(Maxwellspeeddistribution)、麦克斯韦速率分布律(Maxwellspeeddistribution)

1、内容(content)dN

下处于平衡态的气体，其分子处于某一速率附近(v〜v+dv)的数目dN与总分子数NdN

下2m . mv厶=4n( )32e一2ktv2dv-f(v)dv2nKT(其推导不作要求)2、 实质(substance)是一概率分布反映分子以速率v出在dv速率间隔内的分子占总分子数的比率，亦即出现概率。3、 特点(characteristic)具有归一性，即JdN=1=ff(v)dvN、分布函数与分布曲线(distributionfunctionanddistributioncurve)4、 分布函数(distributionfunction)(1)概念f(v)=4n(—m)32e-mv22ktv2=仝2nKT Ndv(2)实质概率密度5、 分布曲线(distributioncurve)概念反映分布函数f(v)随v而变化的曲线得来①定量法制表—计算一连点成图f(v)f1②定性法

v=0,f(v)=0,过O点，初时vT,v2竹ne-加2J陡小而后vTuv-kv2 缓慢大拐点v二v（3）几何意义曲线下方面积一概率曲线下方总面积=1 （归一化）（A）最概然速率概念：对应拐点的速率物理意义：分子以该速率出现概率最大由df=0可得dv"RT

I——大小： "RT

I——v=1.41.■——=1.41p m（4）影响分布曲线形状的因素：m=cTf,vf,右移，线矮平pT=c,mf,v（，左移，线陡峭p（参见附图）三、应用（application）——两种速率的计算

1、平均速率(meanspeed)V=Jvf(v)dr=......=.；8KT=1.60kT=1.60:必m m 卩g 1利用积分公式JX3e-x2dx=。202、平均根速率(root-mean-squarespeed)v2=Jv2f(v)dr・•・•・£V2二巫=1.73「巫=1.73匹m \i卩3、三种速率比较(1)大小=1.73:1.60:1.41W2:V:=1.73:1.60:1.41P(它们有公共因子:鴛)(2)用途xv2 分子(动能)能量V——分子运动(平均自由程)v——分子按速率分布p三、随堂练习(practiceontheclass)1、注意(takenote)理解f(v)的物理意义，会用它来分析简单情况下的分子分布。理解分布线与v的关系，会用m、T的变化分析判断分布曲线的形状。p2、例题(example)例14—5 设N(很大)个气体分子的速率分布函数f(x)_{一C(v-v0)v (0-v-v0)0 (v>v)0其中c、v为常量，且已知，求0常量c；速率在0〜0.3v间分子数。0解(1)分布函数中的常量常由归一化条件求解

000v3v3v0 v3-c(--v)J=—^c=13~20 30由ff(x)dv=ff(v)dv=f-c(-c(v-v)vdv0AN

~NAN

~N=Jf(v)drv300(v300(v-v)vdv

0v3vv片-寸肿0=0.216AN=0.216N①随堂小议(discussontheclass)设某温度下氢与氧的分布函数曲线如图所示则代表氧的分布函数曲线为曲线①曲线②(②)§14-5气体分子的平均动能理想气体的内能(meankineticenergyofgasmolecularinternalenergyofidealgas)、自由度(freedegree)1、概念(concept)确空物体空向位置所需独立坐标数2、数目(number)刚性分子)content))content))单原子分子—1一3s=mv2=KTk2 2而v2=v2+v2+v2X y 2=v2=v22(等概率)y2_kT2、证明分子总动能(proof)不作要求单原子分子一质点二i二t二3(三平动)双原子分子一两点一线ni二t+r二3+2(三平二转)(3)三原子分子一两点一线一点ni=t+r=3+2+1(三平三转)(多原子分子同三原子分子)、能量均分定理(equipartitiontheorem)1、内容(1=v2x1-mv22xkT・•・一个自由度上的动能为亍)推广到一般情况——均分定理•・•各向运动机会相等。kT・•・当气体处于平衡态时，每个自由度上都平均分配有亍的平动动能s=ikT2=—(t+r)kT三、理想气体的内能(internalenergyofidealgas)1、 概念(concept)理想气体无相互作用・理想气体的内能等于组成理想气体的各分子动能之和2、 1个分子的平均动能(meankineticenergyofamolecular)

?=1(t+r)kT=-kT223、 1mol分子的内能(molarinternalenergy)i”iE=Ns=NkTRTmalA2A24、M物质的内能(internalenergyofMmatter)E=E=NE=MLRTmol卩2可见，E仅为T的函数(对于一定量的理想气体)，T变则E也变，即AE=M-RAT

卩2四、随堂练习(practiceontheclass)1、 注意(takenote)分清公式的物理意义分清气体(均作理想气体看待)的性质2、 例题(example)例14-6计算500克氧气在00c时的分子平均动能摩尔内能及内能。解氧气为双原子分子所以i=5故氧分子的平均动能一i5s=kT=—x1.38x10-23x273=9.42x10-21(J)22氧气的摩尔内能• <E=-RT=-x8.31x273=4.78x102(J)m2 2氧气的内能E=M-RT= 05 x-x8.31x273=7.47x103(J)R2 3.2x10-22§14-6气体分子的平均自由程

(meanfreepathofgasmolecular)、气体分子的热运动图象(thermalmotionpictureofgasmolecular)频繁碰撞曲折复杂、平均碰撞频率(meancollisionfrequ