江苏省南京市湖熟中学高三数学理联考试题含解析

江苏省南京市湖熟中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知m，n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m?α，n?β．有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定定理，分别判断，即可得出结论．【解答】解：①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，l与n相交则α⊥β，不正确．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的判定，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．2.“x＝3”是“x2＝9”的()．A．充分而不必要的条件

B．必要而不充分的条件C．充要条件

D．既不充分也不必要的条件参考答案：A3.已知直线l1：（a+1）x+y+4=0与直线l2：2x+ay﹣8=0平行．则a=（）A．1或﹣2 B． C．1 D．﹣2参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用l1∥l2，可得a（a+1）﹣2=0，求出a，再进行验证即可．【解答】解：因为l1∥l2，所以a（a+1）﹣2=0，解得a=1或a=﹣2，当a=﹣2时，l1与l2重合，故选C．4.如图点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+）2=1上，那么|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．﹣1参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】作图题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，画出圆，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线x﹣2y+1=0的距离，则|PQ|的最小值可求．【解答】解：由题意画出图形如图：圆x2+（y+）2=1的圆心（0，）到直线x﹣2y+1=0的距离为d=，∴|PQ|的最小值为．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.二项式的展开式前三项系数成等差数列，则

.参考答案：6.定义域为R的函数满足，当时，则当时，函数恒成立，则实数的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B7.已知集合，，则A. B. C. D.参考答案：C【分析】先求出集合A，然后根据补集的定义求出.【详解】解：，所以，故答案为：C.【点睛】本题考查集合补集的运算，属于基础题.8.已知双曲线的渐近线为，则双曲线的焦距为(

) A． B．2 C． D．4参考答案：C略9.已知是双曲线的左右焦点,点是上一点,若,且的最小内角为,则双曲线的离心率为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D10.如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面，，，二面角的正切值为A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，若，则的最小值为

参考答案：912.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为

.参考答案：A~∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.13.数列{an}中，a1=3，a2=6，an+2是an·an+1的个位数，则a2013= 。参考答案：8略14.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则线段AB的长等于___________参考答案：答案：715.已知loga2=m，loga3=n，其中a＞0且a≠1，则am+2n=，用m，n表示log43为．参考答案：18,【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数式与指数式的互化，化简求解即可．【解答】解：loga2=m，loga3=n，其中a＞0且a≠1，可得：am=2，an=3，则am+2n=2×32=18．log43==．故答案为：．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，函数的简单性质的应用．16.已知中，,，若线段的延长线上存在点，使，则____________．

参考答案：.因为线段的延长线上存在点，使，，所以，即，所以，所以，中，根据正弦定理.17.函数在区间上的值域是

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．参考答案：(1)当对称轴x＝a<0时，如图①所示．当x＝0时，y有最大值，ymax＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，即a＝－1，且满足a<0，∴a＝－1；(1)当对称轴0≤a≤1时，如图②所示．当x＝a时，y有最大值，ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.∴a2－a＋1＝2，解得a＝．∵0≤a≤1，∴a＝(舍去)；(3)对称轴x＝a，当a>1时，如图③所示．当x＝1时，y有最大值，ymax＝f(1)＝2a－a＝2，∴a＝2，且满足a>1，∴a＝2.综上可知，a的值为－1或2.19.（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换如图，矩形OABC和平行四边形的部分顶点坐标为：．（Ⅰ）求将矩形OABC变为平行四边形的线性变换对应的矩阵；（Ⅱ）矩阵是否存在特征值？若存在，求出矩阵的所有特征值及其对应的一个特征向量；若不存在，请说明理由．参考答案：（I）解：设，依题意得依题意得………………2分即，所以所以………………………4分（II）因为矩阵M的特征方程无解，………6分所以矩阵M没有特征值也没有特征向量………………7分20.（12分）已知集合.（1）若的充分条件，求的取值范围；（2）若，求的取值范围；参考答案：【知识点】集合及其运算A1【答案解析】（1）0＜a≤或a≥4（2）a≤或a≥4A={x|x2-6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，B={x|（x-a）（x-3a）＜0}．

（1）当a=0时，B=，不合题意．

当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，要满足题意，则，解得≤a≤2．

当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，要满足题意，则，a∈．综上，≤a≤2；

（2）要满足A∩B=，当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，则a≥4或3a≤2，即0＜a≤或a≥4；

当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，则a≤2或a≥，即a＜0；

当a=0时，B=，A∩B=．综上所述，a≤或a≥4．【思路点拨】求解二次不等式化简集合A．

（1）对a分类求解集合B，然后把x∈A是x∈B的充分条件转化为含有a的不等式组求解a的范围；

（2）由A∩B=，借助于集合A，B的端点值间的关系列不等式求解a的范围．21.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性