河南省南阳市体育中学2021-2022学年高二数学文期末试卷含解析

河南省南阳市体育中学2021-2022学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.焦点在x轴上的椭圆+=1的焦距等于2，则m=（）A．8 B．6 C．5 D．3参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】求出椭圆的焦距，列出方程求解即可．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆+=1的焦距等于2，可得，解得m=5．故选：C．2.若在区间上递减，则范围为（

）A．

B．C．

D．参考答案：A

解析：令是的递减区间，得而须恒成立，∴，即，∴；3.已知直二面角，点A∈α，AC⊥，C为垂足，B∈β，BD⊥，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(

)A．

B．

C．

D．1参考答案：C4.抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是（）A．7，11，18 B．6、12、18 C．6、13、17 D．7、14、21参考答案：D【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】由题意，要计算各层中所抽取的人数，根据分层抽样的规则，求出各层应抽取的人数即可选出正确选项．【解答】解：由题意，老年人、中年人、青年人比例为1：2：3．由分层抽样的规则知，老年人应抽取的人数为×42=7人，中年人应抽取的人数为×42=14人，青年人应抽取的人数为×42=21人．故选：D．【点评】本题考查分层抽样，解题的关键是理解分层抽样，根据其总体中各层人数所占的比例与样本中各层人数所占比例一致建立方程求出各层应抽取的人数，本题是基本概念考查题．6.已知平面向量，，若与共线，则（）A.3 B.4 C. D.5参考答案：C试题分析：∵与共线，∴，∴，．考点：1．平面向量共线的坐标表示；2．向量模的计算．7.下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件 ②若、为两个事件，则③若事件两两互斥，则④若事件满足则是对立事件.其中错误命题的个数是（

）A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：D8.已知等比数列中，,，则

（

）

A．49

B．35

C．91

D．112参考答案：C9.一次实验中，四组值分别为(1,2)、(2,3)、(3,5)、(4,6)，则回归方程为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】本题首先可以根据题目给出的四组值求出四组值的样本中心，然后根据回归方程的性质可知样本中心一定在回归方程上，最后将样本中心坐标代入选项中验算即可得出结果。【详解】因为四组值分别为、、、，所以，，回归方程必过定点，将点代入四个选项中可得点在直线上，故选C。【点睛】本题考查回归方程的相关性质，主要考查回归方程的求法，能否掌握数据的样本中心一定在回归直线方程上是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题。10.等差数列{an}中，a2+a3=9，a4+a5=21，那么它的公差是（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．【分析】根据a2+a3=9，a4+a5=21我们构造关于基本量（首项及公差）的方程，解方程求出基本量（首项及公差），即可求解．【解答】解：∵（a4+a5）﹣（a2+a3）=4d=12，∴d=3故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，则实数m=．参考答案：12【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用已知条件求出椭圆的几何量a，b，c，利用离心率公式计算求解即可．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆+=1，可知a=，b=3，c=，∵离心率是e=，∴==，解得m=12．故答案为：12．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用椭圆的基本量和离心率公式，考查运算能力，属于基础题．12.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若，则异面直线BA1与AC1所成的角等于

.参考答案：

13.双曲线的离心率为，则m等于

．参考答案：9【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线可得a2=16，b2=m，又离心率为，则，解得m=9．故答案为9．【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式是解题的关键．14.给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是

．（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：①④【考点】平面的法向量．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用．【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），∴?=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），∴?=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，∴⊥，∴l∥α或l?α，②错误；对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t=1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目．15.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M是面对角线A1B上的动点，则AM+MD1的最小值为．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】把对角面A1C绕A1B旋转，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1并求出，根据平面内两点之间线段最短，可知就是最小值．【解答】解：把对角面A1C绕A1B旋转，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1，则在△AA1D中，AD1==为所求的最小值．故答案为：【点评】本题的考点是点、线、面间的距离计算，主要考查考查棱柱的结构特征，考查平面内两点之间线段，最短考查计算能力，空间想象能力，基本知识的考查．16.已知复数z满足：(1－i)z=4+2i(i为虚数单位)，则z的虚部为

.参考答案：3∵，∴，∴复数z的虚部为3．

17.已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若p或q为真，p且q为假，求实数的取值范围．

参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本小题满分12分）

现有一批货物用轮船从甲地运往乙地距离为500海里，已知该船最大速度为45海里/小时，每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成．轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时960元．已知轮船速度为20海里/小时，全程运输成本为30000元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度x(海里/小时)的函数；（2）为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？参考答案：解：（1）由题意得，每小时燃料费用为,全程所用时间为小时.则全程运输成本y=，

―――――――3分当x=20时,y=30000得：k=0.6

―――――――4分故所求的函数为y=,

―――――――6分(2)y=

―――――――9分当且仅当，即x=40时取等号

―――――――11分故当轮船速度为40海里/小时时，所需成本最小

―――――――12分略19.设函数，已知和为的极值点.（1）求和的值；（2）讨论的单调性；（3）设，试比较与的大小.参考答案：20.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率直方图中a的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率．参考答案：(1)0.005,(2)2,3,(3)0.3[解析](1)由频率分布直方图知组距为10，频率总和为1，可列如下等式：(2a＋2a＋3a＋6a＋7a)×10＝1解得a＝0.005．(2)由图可知落在[50,60)的频率为2a×10＝0.1由频数＝总数×频率，从而得到该范围内的人数为20×0.1＝2．同理落在[60,70)内的人数为20×0.15＝3．(3)记[50,60)范围内的2人分别记为A1、A2，[60,70)范围内的3人记为B1、B2、B3，从5人选2人共有情况：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3,10种情况，其中2人成绩都在[60,70)范围内的有3种情况，因此P＝．试题分析：（1）由频率分布直方图的意义可知，图中五个小长方形的面积之和为1，由此列方程即可求得.（2）根据（1）的结果，分别求出成绩落在与的频率值，分别乘以学生总数即得相应的频数；（3）由（2）知，成绩落在中有2人，用表示，成绩落在中的有3人，分别用、、表示，从五人中任取两人，写出所有10种可能的结果，可用古典概型求此2人的成绩都在中的概率.解：（1）据直方图知组距=10，由，解得（2）成绩落在中的学生人数为成绩落在中的学生人数为（3）记成绩落在中的2人为，成绩落在中的3人为、、，则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：其中2人成绩都在中的基本事伯有3个：故所求概率为21.(本小题满分12分)已知四棱锥的底面是直角梯形,,,,是的中点（1）证明：；（2）求二面角的大小.参考答案：证明：取的中点为连接------------2分又---------4分………………6分（2）建系：以DA，DB，DP分别为x轴、y轴、z轴，则

-------------------7分

-----------------------------10分令x=1,则又因为所以二面角为

------------------12分22.已知曲线

（I）若直线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围；

（II）若直线与曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为坐标原点），求实数的取值范围。参考答案：解（I）曲线为双曲线的上半部分（含与x轴交点）和椭圆的下半部分构成，图象如图所示，………