复变函数第三章

复变函数第三章1第1页，课件共41页，创作于2023年2月既然沿围绕的任何简单闭曲线积分值都相同。那么就取以为中心，半径为(

>0)的很小圆周(取其正向)作为积分曲线C。从而使我们猜想积分

的值也将随着的减小而接近于其实两者是相等的，即即有下面的定理。

由于的连续性2第2页，课件共41页，创作于2023年2月定理(柯西积分公式)

设f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在上连续，z0是D内一点，则（3.10）

公式(3.10)称为柯西积分公式。

柯西积分公式说明：如果一个函数在简单闭曲线C内部解析，在C上连续，

则函数在C内部的值完全可由C上的值而定。

它不仅提供了计算某复变函数沿简单闭曲线积分的一种方法，而且可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质。3第3页，课件共41页，创作于2023年2月[证]

在D内除点外均解析。现以点为中心，以充分小

的为半径作圆L:，使L及其内部均含于D内。在C与L所围的区域上应用闭路变形定理得因在处连续，则对任意给定的，存在

，使当时，就有。

4第4页，课件共41页，创作于2023年2月由此

其中这表明不等式左端积分的模可以任意小，只要足够

小就行了。根据闭路变形原理，该积分的值与无关，所所以只有在对所有的积分值为零时才有可能。

因此，可得[证毕]5第5页，课件共41页，创作于2023年2月如果C是圆周，由(3.10)可得下面推论.推论1（平均值公式）设在内解析，

在上连续，则即：一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.推论2设在简单闭曲线C1,C2所围成的二连域D内解析,并在C1,C2上连续,C2在C1的内部,z0为D内一点，则

此式为多连域柯西积分公式。

6第6页，课件共41页，创作于2023年2月若将看作变数，则（3.10）式写成如下形式：其中z在C的内部。柯西积分公式的应用:常根据柯西积分公式，通过求函数

f(z)在某一点的值来求积分的值

7第7页，课件共41页，创作于2023年2月【例3.14】求下列积分的值：(1)；(2);(3).解:

(1)

8第8页，课件共41页，创作于2023年2月(2)

由平均值公式还可推出解析函数的一个重要性质,即解析函数的最大模原理。(3)

9第9页，课件共41页，创作于2023年2月定理3.8(最大模原理)

设函数在区域D内解析，又不是常数，

则在D内没有最大值。

解析函数的最大模原理说明：一个解析函数的模,在区域内

的任何一点都达不到最大值,除非这个函数恒等于常数。

[证]

记。若，则定理结论成立.

现设，用反证法，若D内有一点使，

则由推论1(平均值公式)，只要圆盘含于D，就成立着于是10第10页，课件共41页，创作于2023年2月由此推出可以证明，在内。因为，若不然，

就有一点使，故存在

使。由于在内为连

续，故在圆周上连续。于是存在着，

使当时，

从而有

11第11页，课件共41页，创作于2023年2月因此有下面的估计但这与相矛盾！所以在

内成立。再由在D内解析，就可知在内恒为一常

数，此常数的模为。

以上证明了，若D内有一点使，则只要圆盘含于D，在内便恒等于一个模

为的常数。记。现在利用这一结果来证明，

在整个D内恒等于常数。

（设M为函数模的最大值）12第12页，课件共41页，创作于2023年2月图3.12设是D内任意一点。由D的连通性,在D内有一条折线l连接

和

(图3.12).记l与D的边界的距离为d.在l上从到依次插入分点，使

则每个圆盘一定含于D内，且包含着点。

根据上述证明的结果，在

内，，而在此圆盘内，故。再

从出发，用上述证明的结果知在内，

，而在此圆盘内，故。经过

步，就可证明。由于的任意性，知在D内。但这与原来给定不为常数的条

件相矛盾，故在D内没有最大值。13第13页，课件共41页，创作于2023年2月证明二:姑且假设在D的内部达到最大值M；并把D内所有的使的点的集合记为B。如果B=D，那么我们在D内处处有，即是一常数，由此可知在D内也是一常数。这是与定理得假设相矛盾的。如果B与D不相同，那么必有这集合的一个边界点z0存在，它同时也是D的一个内点。由于是连续的，有因为在z0的邻域内都必有B的点，作一个在区域D内的圆周C：使得在圆周上至少有一个集合D的点z1。这时，又由于是连续的，对于足够小的ε>0，总可以指定圆周C的这样一个包含点z1在内的部分C1，使得在C1上有14第14页，课件共41页，创作于2023年2月把圆周的其余部分记为C2，显然在C2上有根据中值定理，有其中是圆周的弧长单元12315第15页，课件共41页，创作于2023年2月则可以得到由于所以上式不可能成立，因此前面所做的假设不能成立。因此最大值定理得证。16第16页，课件共41页，创作于2023年2月推论1

在区域D内解析的函数，若其模在D的内点达到

最大值，则此函数恒为常数。

推论2

若在有界区域D内解析，在上连续，则必在D的边界上达到最大模。

[证]

若在D内为常数，推论显然正确。若在D内

不恒为常数，由连续函数的性质及本定理立即得证。

17第17页，课件共41页，创作于2023年2月【例3.15】设函数在全平面为解析，又对任意,

令。

求证：是的单调上升函数。[证]

因为对于任意的，在上为解析,所以由最大模原理及其推论2知在上的最大值必在

上取得。因此，当时，有即：是的单调上升函数。就是说，

18第18页，课件共41页，创作于2023年2月§3.4解析函数的高阶导数解析函数的导数仍然是解析的。关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理：定理

设函数在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，

而在上连续，则的各阶导函数均在D内解析，

对D内任一点z，有(3.11)

即：解析函数的任意阶导数都存在。19第19页，课件共41页，创作于2023年2月[证]

先证的情形。根据定义

从柯西积分公式得从而有20第20页，课件共41页，创作于2023年2月图3.12

对上式右端的积分值，作如下的估计。

因f()在C上连续，可设M是f()在C上的最大值，又设

为点z到曲线C上各点的最短距离，于是当

在C上时，有

,先取(图3.12)，

则有

因此21第21页，课件共41页，创作于2023年2月因为其中L表示C的长度，于是有由此可知

即时(3.11)式成立。22第22页，课件共41页，创作于2023年2月现在假定当时(3.11)式成立，再来推证当

时(3.11)式也成立。为此将看作，

用类似于情形的推证方法可证得时(3.11)

式也成立。故由数学归纳法可证明

[证毕]

——解析函数的高阶导数公式可从两方面应用这个公式：

用求积分来代替求导数；用求导的方法来计算积分，即23第23页，课件共41页，创作于2023年2月【例3.16】求下列积分的值，其中C为正向圆周：.

1)；2)解:1)函数在C内的处不解析，但

在C内却是处处解析的。由高阶导数公式有24第24页，课件共41页，创作于2023年2月图3.13

2)函数在C内的处不解析。

在C内以为i中心作一个正向圆周C1，以-i为中心作一个正向圆周C2(图3.13)，那么函数

在由C,C1和C2所围成的区域内是解析的.根据复合闭路定理，有

25第25页，课件共41页，创作于2023年2月由高阶导数公式有26第26页，课件共41页，创作于2023年2月【例3.17】计算积分，其中C为不经过点

0与1的正向简单闭曲线。

此题没有明确给出积分路径C，我们必须就点0，1与C的各种不同位置关系，利用柯西积分定理与柯西积分公式来计算。

分析：解:(1)点0，1均不在C内部时此时被积函数在以C为边界的闭区域

上解析，由柯西积分定理得27第27页，课件共41页，创作于2023年2月(2)点0在C内，而点1在C外时在C内挖去点0的邻域，由闭路变形原理与柯西积分公式得

其中C0是以点0为中心而包含在C内部的圆周。(3)点1在C内，而点0在C外时，同上可得其中C1是以点1为中心而包含在C内部的圆周。28第28页，课件共41页，创作于2023年2月(4)点0，1均在C内部时

C内两个互不相交且互不包含的圆周C0与C1,C0以点0为圆心,C1以点1为圆心,则由多连通域的积分基本定理和柯西积分公式得

故其中D为C所围成的区域。29第29页，课件共41页，创作于2023年2月定理

设函数在内解析。又,则有下列不等式

——柯西不等式[证]

对于任意的：，在

上解析，故由高阶导数公式有

估计右端的模得到令便得30第30页，课件共41页，创作于2023年2月从柯西不等式可以推出另一重要定理。刘维尔(Liuville)定理

设函数在全平面上为解析且

有界，则为一常数。

[证]

设是平面上任意一点，对任意正数R，在

内为解析，又在全平面有界，设，

由柯西不等式得

令，即得=0。由的任意性，知在全平面上

有。故为一常数。

31第31页，课件共41页，创作于2023年2月作业：3.2，3.3，3.5，3.