拓扑线性空间

拓扑线性空间泛函分析概念01定义性质不变性例子目录03020405发展史拓展相关概念目录0706基本信息拓扑线性空间理论是泛函分析的一个重要分支，又称之为拓扑向量空间，它是具有拓扑结构的线性空间，是赋范线性空间概念的推广。定义定义设𝒳为域𝔽上的线性空间，𝓕是𝒳上的拓扑，如果

（1）加法是𝒳×𝒳→𝒳的连续映射；（2）标量乘法是𝔽×𝒳→𝒳的连续映射；则称𝓕是𝒳上的向量拓扑或线性拓扑，称(𝒳,𝓕)为拓扑线性空间。

不变性不变性设𝒳为𝔽上拓扑线性空间。与每个a∈𝒳以及非零λ∈𝔽相的平移算子Ta与乘性算子Mλ定义为对x∈𝒳Ta(x)=a+x，Mλ(x)=λx则Ta与Mλ为𝒳到𝒳上的同胚。故𝒳的开集是原点的邻域基𝔅经过平移的并。

性质性质设X,Y为拓扑线性空间，𝔅为X的原点的邻域基。𝔅的任意元均为𝔅的某元的闭包。X的原点的邻域为吸收集。𝔅由均衡集组成。

X为局部凸空间，当且仅当𝔅由凸集组成。X为局部紧空间，当且仅当𝔅中存在预紧开集。X为局部有界空间，当且仅当𝔅中存在有界集。

同时为T1空间的X是完全正则空间。

同时为T1空间的X是豪斯多夫空间。

若Z是X的子空间，则Z的闭包亦然。若Z是X的凸集，则Z的闭包亦然。例子例子1.赋范空间是拓扑线性空间。

例1

设En为n维Euclid空间，对x，y∈En，x={xi}，y={yi}，规定En中的子集族即是En中按通常意义的开集全体，则是En上的一个拓扑。并且，En按线性运算为拓扑线性空间。例2

对p≥1，对规定可知按线性运算为拓扑线性空间。发展史发展史拓扑线性空间理论是泛函分析的一个重要分支，又称之为拓扑向量空间，它是具有拓扑结构的线性空间，是赋范线性空间概念的推广。

其基本概念建立于20世纪30年代，而今已经发展成为一门完整的学科，在纯粹数学和应用数学、理论物理、现代力学和现代工程理论中都有广泛应用。

20世纪初，法国数学家弗雷歇在引入距离空间，并用距离概念来统一过去分析学中的许多重要收敛时，就知道[a，b]上一列函数的“点点收敛”概念是不能用距离收敛来描述的。20世纪30年代以来，泛函分析中大量应用弱收敛、弱拓扑，它们都不能用距离来描述。这就很自然地把赋范线性空间理论发展成更一般的拓扑线性空间理论，其中最主要的成就是局部凸拓扑线性空间理论。这一分支的发展是与一般拓扑学的发展紧密在一起的。拓扑学方法在这里发挥了极其重要的作用，法国数学家勒雷和波兰数学家绍德尔所推广的不动点定理就是有力的例证之一。1935年以后，经过十多年的努力，这一分支终于形成，它的许多结果不仅在泛函分析中有着广泛的应用，而且为其他分析学科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。

相关概念相关概念拓扑空间分析数学中常常出现各种不同的收敛性，它们都可以统一地用拓扑空间的语言来刻画。定义1

设X是非空集合，是由X的某些子集所组成的集类，如果（1）（2）中任意个集合的和集属于；（3）中任意两个集合的交集属于；则称为拓扑空间，称为X上的拓扑，称中的集合为中的开集，称开集的余集为闭集。注：在拓扑明确的情况下，常简称X为拓扑空间。现代数学常见的空间中不仅具有拓扑结构，而且元素之间可以自然地进行线性运算，其中线性运算关于相应的拓扑还是连续的。拓展拓展距离线性空间如果拓扑线性空间中的拓扑由度量导出，则得到度量线性空间的概念。由于任何度量线性空间均可改赋一个等价的平移不变的度量，即满足的度量，因而只需考察具有平移不变度量的线性空间。下面给出一个重要概念。定义4设X