江苏省南通市通州区、海安县2022年高考数学二模试卷含解析

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的先进的数图3是某冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或阳光线）的交角.由历法理论知，黄赤交角其正切值及对应的年代如下表：近1万年持续减小，黄赤交角23412357241324282444正切值年代0.4390.4440.4500.4550.461公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年B．公元前4000年到公元前2000年D．早于公元前6000年C．公元前6000年到公元前4000年aS差数列的前项和为，且S50aa（），则11152．已知等nnn25A．4B．8C．16D．2a2b2ab”是“3．已知非零向量，满足|ab|，则“ab”的（）|=|abA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解:1i1i4．已知复数z，则的虚部是（）zC．1iA．iB．D．1满足aab2，N，则（，数列，n1）a5．设、bRana2ann1任意a，都存在实数M，使得aM恒成立nA．对于

aM恒成立b，都存在实数M，使得nB．对于任意C．对于任意，都存在实数M，使得恒成立b0,24a，都存在实数aMM，使得恒成立nD．对于任意1111)（）lim(a)，则aana32n1242n1A．324D．3B．C．13(1x)(1x)(1x)(1x)的展开式中，含的项的系数是（）7．在5678x3C．74A．74B．121D．121xy2xy2C1，双曲线的方程为2ab3ab0，椭圆的方程22C1CC1，和的离心率之积为，则8．已知ab2122222C的渐近线方程为（）2C．x2y02xy0D．A．x2y02xy0B．9．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A．96B．120C．48D．72f(x)Asin(x)的部分图象如图中实线y图中圆与f(x)的图象交于两点，且在轴10．函数所示，CM,NM上，则下列说法中正确的是A．函数的最小正周期是f(x)23,0成中心对称B．函数的图象关于点f(x)2C．函数在(,)单调递增f(x)365D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称f(x)12

Ax|x2x30，集合B{x|x10}，则(AB)（）.11．已知集合2RA．(,1)[3,)(,1][3,)B．C．(,1)(3,)D．(1,3)12．已知向量AB3,2，AC5,1，则向量与的夹角为（）ABBCA．4560B．90C．120D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在直线2xy10上，若使、、构成等比数列，则m______an,aaaam13．已知数列满足：点nn14，若方程fx35xx_______；），则1214．已知函数fxsin2xxx0xx的解为，（61212sin(xx)_______．12xy22x4N交于，M1上的一个动点，，，设直线AP和BP分别与直线A2,1B2,115．已知为椭圆P82两点，若ABP与MNP的面积相等，则线段OP的长为______.O为矩形ABCD的对角线的交点，现从A,B,C,D,O5这个点中任选个点，则这个点不共线的概率为3316．已知________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）第十四届全国冬季运动会召开期间，某校举行了“冰上运动知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为数整，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：a、b、c的值及随机抽取一考生其成绩不低于分的概率；（1）求（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.70“普及冰雪知识”志愿活动，并指定2名负责人，求组号分组频数频率第1组50,601535b0.150.35第2组60,7070,80第3组0.20第4组80,90c20

90,100第5组100.1合计a1.00xy212分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，以椭圆左顶xOyab23218．（C22T:(x2)yr(r0)，设圆与椭圆交于点与点.点为圆心作圆T222TCMN（1）求椭圆的方程；C（2）求的最小值，并求此时圆的方程；TMTNTOROS（3）设点是椭圆上异于，的任意一点，且直线，分别与轴交于点，，为坐标原点，求证：PCMNMPNPxRSO为定值.axx11.2fx12分）已知函数19．（ex（1）证明：当x0时，ex；5x2（2）若函数只有一个零点，求正实数的值fxa.S3n8nb12分）已知数列的前项和，是等差数列，且2nabb.an20．（nnn1nnb（Ⅰ）求数列的通项公式；n(a1)ncn1cn（Ⅱ）令求数列的前项和.n.Tn(b2)nnn21．（12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：x处罚金额（单位：元）5101520

10若用表中数据所得频率代替概率.（1）当罚金定为（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：4人依次进行深度问卷，则前两位均为类市民的概率是多少？10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；类是其他市民.B现对A类与类市民按分层抽样的方法抽取BBxcosx2xC（为参数）通过伸缩变换，得到曲线，yy222．（10分）在平面直角坐标系xOy中，将曲线C:1ysinx2tcosl:设直线t)与曲线相交于不同两点，.CAB2（为参数y3tsin（1）若，求线段AB的中点M的坐标；3（2）设点，若PAPBOPP2,3，求直线的斜率l.2参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】先解理题意，然后根据题意建立平面即可得到正确选项．【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为，几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，春秋分日光与垂直线夹角为，则即为冬至日光与春秋分日光的夹角，将图3近似画出如下平面几何图形：即黄赤交角，

tan169.40.66，1016则10，1.6tan1tantantantan1.60.66tan()11.60.660.457．0.4550.4570.461，估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D．【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．2．A【解析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.【详解】25aaS2550aa4aa4.12521251115故选:A.【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.3．C【解析】|a2b||2ab|ab0ab，可得选项根据向量的数量积运算，由向量的关系【详解】.|a2b||2ab|a2b2aba4ab4b4a4abb，===222222|a||b|0，∴等价于ab0ab，故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.4．C【解析】1i，进而求得化简复数，分子分母同时乘以复数，再求出，由此得到虚部.zz

1iz1ii，，所以的虚部为1.ziz故选：C【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.5．D【解析】114abaM，只需22a取ab1，可排除AB；由蛛网图可得数a列的单调情况，进而得到要使，由此nn可得到答案.【详解】取ab1，aa1，数a恒单调递增，且不存在最大值，故排除选项；ABn2列n1n114ab114ab，axbx存在两个不动点，且xx由蛛网图可知，2，2a2a120axaax；1因为当时，数列单调递增，则11nnxaxaxaa单调递减，则；当时，数列112n1n1114abaM0ax，化简得b24ab0.且所以要使，只需要2，故n122a故选：D．【点睛】本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．6．A【解析】aa依据无穷等比数列求和公式，先求出首项，再求出，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。12

【详解】11因为无穷等比数列的公比为，则无穷等比数列的公比为。{}{a}n2a2n111123a23lim(n)a21a4，，所以2由有，1，解得11aa1a32n141111)411lim(n，故选A。14aa2a342n【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。7．D【解析】3，进而得到根据(1x)(1x)(1x)(1x)，利用通项公式得到含的项为：CCCCx()336335678x3578其系数，【详解】在(1x)(1x)(1x)(1x)，因为567833，()CCCCx所以含的项为：x33363578CCCC(系数5)所以含的项的x3系数是的是33633，8710203556121，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，8．A【解析】3CC1a,b的关系，进而得双曲线的离心率根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合和的离心率之积为，即可得22方程.【详解】

xy2椭圆的方程xy221，2C1C1，双曲线的方程为2abab2222ab2ab2，22则椭圆离心率e，双曲线的离心率2e1aa3由和的离心率之积为，CC122a2b2a2b23即ee12，aa2b2解得，a22x，2所以渐近线方程为yx2y0，化简可得故选：A.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.9．B【解析】间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另AA，扣除郁金香在两边有2AA，即可求出结论3盆隔开有.33233423【详解】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有A种，33然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有A种，34根据分步乘法计数原理有AA，扣除郁金香在两边，3334排2盆虞美人、1盆郁金香有2A种，22再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有，A33根据分步计数原理有2AA，2323AA2AA120种.所以共有33233423故选:B.

【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.10．B【解析】fxAsin2x，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．根据函数的图象，求得函数【详解】3C的横坐标为，所以T()，解得T1，根据给定函数的图象，可得点32362的最小正周期Tfx，不妨令，所以2，A0，，由周期T0所以f0，所以fxAsin2x又，所以，633kx,kZ，当k3时，xk,kZ，解得26443fx,0令2x，即函数的一个对称中心为，33fx4的图象关于点成中心对称．故选．,0即函数B3【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．11．A【解析】算出集合、及AB，再求补集即可.AB【详解】A{x|1x3}，又B{x|x1}，由x2x30，得1x3，所以2AB{x|1x3}，故(AB){x|x1x3}.所以或R故选：A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.12．C【解析】

30,即能求出向量夹角求出BCACAB2,3，进而可求ABBC322.【详解】30BCACAB2,3.则ABBC322解：由题意知，ABBC所以，则向量与的夹角为90.ABBC故选:C.【点睛】cosa,bab进行计算.ab本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．13【解析】a根据点在直线上可求得，由等比中项的定义可构造方程求得结果.n【详解】n,a在2xy10a2n1，上，nnaaa1m8132m1m13.，解得：a,a,a1成等比数列，，即24m4故答案为：13.【点睛】本题考查根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于基础题.2414．35【解析】fxsin(2x)在上的对称轴，求出20,xx;依据对称性可得的值由可得x2x161233sin(xx)cos(2x)，依据sin2x可求出cos(2x)的值.616561211【详解】kk,kZ，解得解：令2x62x,kZ3220xx因为x.xx2，所以关于x,x对称则2.333121122)sin(2x)cos(2x)2由，则sin(xx)sin(2xx2x31213162161

11131，0xx2x,612由可知，，又因为625121所以2x，则cos(2x)1sin(2x)4541，即sin(xx)266266511124.52故答案为;:3【点睛】本题考查了三角函数的对称轴，考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断的对称轴时，常用整体代入法，即令fxAsinx42x的取值范围，导致求出cos(2x).在求66511xk,kZ进行求解.210715．4【解析】先设点坐标，由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系，这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出POP来，从而可求得点的横坐标，代入椭圆方程得纵坐标，然后可得．P【详解】22x22，，P(x,y)0x2如图，设，0001，得1SSMPNPsinMPN，由PAPBsinAPBABPMNP22PAPNPBx24x52由sinAPBsinMPN0得，∴00，解得x，PM4xx20002又在椭圆上，7216xy2∴1，y，．P0820057()2161074∴OPx2y2020107．故答案为：4

【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系，解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示．416．5【解析】nC10，这3个点共线的情况有两种AOC和BOD，由此能求出这3个点不共线的概率．35基本事件总数【详解】解：O为矩形ABCD的对角线的交点，现从A，，C，D，O这5个点中任选3个点，BnC10，基本事件总数35这3个点共线的情况有两种AOC和BOD，24这3个点不共线的概率为p1．1054故答案为：．5【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7c0.2017．（1）a100，b20，，；（）p0.5210【解析】（1）根据第1组的频数和70a，根据频数、频率、a的关系b,c频率求出分别求出，进而求出不低于分的概率；（2）由（1）得c0.20，根据分层抽样原则，3,4,52215分别从抽出人，人，人，并按照所在组对抽出的人编号，列出有所2名负责人的抽取方法，得出第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的抽法数，由古典概型概率公式，即

可求解.【详解】1520.20，100，b1000.2020，c（1）a0.15100由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为：p0.200.200.100.5（2）因为第3、4、5组共有50名学生，所以利用分层抽样在50名学生中抽取5名学生，每组分别为：20202052人，第51人，5组：50第3组：52人，第4组：5050所以第3、4、5组分别抽取2人，2人，1人3组的3位同学为4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从五位同学中抽两位同学有10种可设第A1、A2，第能抽法如下：A1,A2A1,B1A1,B2A1,C1A2,B1，，，，，，A2,B2A2,C1B1,B2，，，，B1,C1B2,C1其中第4组的2位同学B1、B2至少有一位同学是负责人有7种抽法，7故所求的概率为.10【点睛】本题考查补全频率分布表、古典概型的概率，属于基础题.x132OROS418．（1）y1；（2）x22y；（3）22425【解析】c3（1）依题意，得a2，eC，由此能求出椭圆的方程.a2x14Mx,yNx,yy0，由于点M在椭圆上，故y1x（2）点M与点N关于轴对称，设，，设，C2111111581T2,0由，知TMTNx2,yx2,yx，由此能求出圆的方程.T55411111yy0xxxyxy，同理：yy0xxxR（3）设Px,y，则直线MP的方程为：0y0，令，得11001yy000101xyxyxROROSxxxx4为定值.1001，由此能证明yyRSRS01

【详解】c3，（1）依题意，得a2，ea2c3,b431，x2y1.故椭圆的方程为C24Mx,yNx,yy0，x（2）点M与点N关于轴对称，设，，设11111x214由于点M在椭圆上，所以y1，C21由T2,0，则TMx2,y,TNx2,y，1111TMTNx2,yx2,y1111x214x2yx21222111x4x3558215x.24114152x2，由于1故当x815y3583,55时，TMTN的最小值为M，所以，故，51113.25又点M在圆上，代入圆的方程得到r2T故圆的方程为：x2y132225Tyy0xxyyxx（3）设Px,y，则直线MP的方程为：，1000001xyxyxyxy.y0，得xxS令故1001，同理：1001yyyyR0101xyxy2222xx1001yy2RS201又点M与点在椭圆上，Px41y,x41y，代入上式得：2故2220011

41yy41yy4yy24，22222xx100101yy22yy2RS20101OROSxxxx4所以RSRS【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.119．（1）证明见解析；（2）.2【解析】gx5转化成50恒成立，通过导数求证即可xlnx，令gxxlnx，由题意得，即证明（1）把ex5x222min2a1axx11或，故根据与的大小关a，得x2x02（2）直接求导可得，f'x0，令0f'(x)aaex系来进行分类讨论即可【详解】552x5g'x1.2x2x证明：（1）令gxxlnx，则25gx,.5分析知，函数的增区间为，减区间为0,2255555ln555x0,gx时，min222221ln1ln0g.所以当2225xlnx，即所以5，xlnx225.所以exx2所以当x0时，ex5.x22a1axx1exaxx.2解：（2）因为f(x)1，所以ax2a1xa2f'(x)exex讨论：fx，此时函数在区间上单调递减1①当xx,22f'(x)时，2ex2ex0.a2f00，又

fx故此时函数仅有一个零点为；02a12a12a11时，令fx0，得'x0fx，故函数的增区间为,0,，减区间为②当，0aaa2a0,.2a1f00，所以极小值f0.又极大值a0e1.时，有x当x1afx0，又axx1axx0，此时22fx时，函数还有一个零点，不符合题意；10a故当22a1a2a10x2a1a③当a12时，令f'x0得,0，减区间为，fx0,，故函数的增区间为,.a2a1f00，所以极大值f0.又极小值aa1xaxx1，2a1xaxx1xx1，得x2，则若2222axx12所以f(x)1ex(a1)x21exa1xex2ex5a1xx22ex，x2a1xexfx0，故此时函数还有一个零点2x2fx所以当且xa1时，，不符合题意.1综上，所求实数a的值为.2【点睛】本题考查不等式的恒成立问题和函数的零点问题，本题的难点在于把导数化成因式分解的形式，如

2a1axx，进而分类讨论，本题属于难题af'(x)ex20．（Ⅰ）【解析】;（Ⅱ）求出数列a的通项公式；进而b的首项与公差，得数列aSSb试题分析：（1）先由公式列方程组求数列nnn1nnncc3n12nn的通项公式；（2）由（1）可得n1，再利用“错位相减法”求数列的前项和T.nnaSS6n5，试题解析：（1）由题意知当n2时，nnn1当n1时，aS11a6n5．，所以n11b设数列的公差为d，nabb112bd172b3d，可解得1b4,d3，1由{{，即112abb2231所以b3n1．n1）知n6n6n13n12（2）由（cTcccc，得，又n123nn13n3n2T3223242n12nTn32232424n12n1n2，两式作，23345421n2n1nn12差，得T32222n12n234n23n2n2所以23421T3n2nn2．n考点1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.n【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题.“错n位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；