2023届湖北省黄冈市浠水县高三年级下册学期5月五模数学试题【含答案】

一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．C【分析】由交集的定义计算即可.【详解】由题意得.故选：C2．若复数，在复平面内对应的点关于x轴对称，且，则复数（

）A．1 B． C． D．D【分析】根据对称性求出，再利用复数除法求解作答.【详解】复数，在复平面内对应的点关于x轴对称，且，则，所以.故选：D3．如图，底面同心的圆锥高为，，在半径为3的底面圆上，，在半径为4的底面圆上，且，，当四边形面积最大时，点到平面的距离为（

）A． B． C．2 D．A【分析】根据给定条件，确定四边形的形状，再求出四边形面积最大时，圆心O到边的距离，然后在几何体中作出点到平面的垂线段，借助直角三角形计算作答.【详解】如图，直线交大圆于点，连接，由，知四边形为等腰梯形，取的中点，连接，则，由，知四边形是矩形，因此四边形为矩形，过O作于Q，连接，从而四边形的面积，当且仅当，即时取等号，此时，如图，在几何体中，连接，因为平面，平面，则，又，平面，于是平面，而平面，则有平面平面，显然平面平面，在平面内过O作于R，从而平面，即长即为点到平面的距离，在中，，，，所以点到平面的距离是.故选：A方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可.4．已知函数若，则的单调递增区间为（

）A． B．C． D．D【分析】先根据题目条件求出的值，再根据二次函数的性质求出的单调递增区间【详解】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增故选：D5．关于，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲:是第三象限角，乙丙:，丁：不小于2，若这人只有一人判断错误，则此人是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁D【分析】根据题意得到乙和丁的判断只有一个正确，分丁的判断正确和乙的判断正确，结合三角函数的符号和正切的倍角公式，即可求解.【详解】由，所以乙和丁的判断只有一个正确，且，若丁的判断正确，即，则，此时丙的判断错误，不符合题意；若乙的判断正确，即，此时满足，且，此时甲、丙都正确，符合题意.故选：D.6．已知椭圆：，过中心的直线交于，两点，点在轴上，其横坐标是点横坐标的3倍，直线交于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则的离心率为（

）A． B． C． D．D【分析】利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得.【详解】

设，，则，，设、、，分别为直线、、的斜率，则，，，因直线是以为直径的圆的切线所以，，所以，又在直线上，所以，因、在上，所以，，两式相减得，整理得，故，即，，故，故选：D7．设，，，则（

）A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜bD【分析】构造函数，根据导数探究单调性，即可判断和的大小；构造函数，再令，通过二次求导探究单调性，即可判断和的大小.【详解】由，，，得，，，构造函数，则，当时，x＝1，时，，单调递减；时，，单调递增，在x＝1处取最小值，时，，即，取，得，，，即；设，则，令，，因为当时，令，，单调递减，又时，，则，即，所以，因为当时，，所以当时，，函数单调递增，又，所以，即，所以当时，函数单调递增，所以，即，，即，.故选：D关键点睛：本题考查构造函数，利用导函数探究单调性来比较大小，考查求导运算，属于中档题.8．如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列．已知数列的项数为4，其中，，2，3，4，记事件：集合；事件：为“局部等差”数列，则（

）A． B． C． D．C【分析】分别求出事件与事件的基本事件的个数，用=计算结果.【详解】由题意知，事件共有个基本事件，对于事件，其中含1，2，3的“局部等差”数列的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的“局部等差”数列的同理也有3个，共6个；含3，4，5的和含5，4，3的与上述相同，也有6个；含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个；含4，3，2的同理也有2个；含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个；含5，3，1的同理也有4个，所以事件共有24个基本事件，所以．故选：C二、多选题9．下列命题正确的是（

）A．对于事件A，B，若，且，，则B．若随机变量，，则C．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强D．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差ACD【分析】根据统计学和概率论的相关定义逐项分析.【详解】对于A，由于，即A发生必定有B发生，根据条件概率的定义，正确；对于B，根据正态分布密度函数的性质知，，错误；对于C，根据相关系数的性质知：约接近于1，表示线性相关程度越强，正确；对于D，残差点分布的带状区域越宽说明线性回归时的误差越大，即回归效果越差，正确；故选：ACD.10．如图，在中，，，，点分别在，上且满足，，点在线段上，下列结论正确的有（

）．

A．若，则B．若，则C．的最小值为D．取最小值时，BCD【分析】A选项根据平面向量基本定理和向量共线的性质求解；B选项，结合A选项，用，来表示出，然后由数量积的计算进行说明；C选项，取中点，则，问题转化成定点到线段上动点的距离最小值；D选项，通过转化先推出取得最小值时，也取最小值，然后用面积的割补计算.【详解】

A选项，点在线段上，则，使得，则，又，，故，根据题干若，由平面向量基本定理可知：，于是，A选项错误；B选项，根据A的分析，若，此时，故，，于是，由，，，代入数据由向量的数量积可得，即，B选项正确；C选项，取中点，则，由，于是，由，，故为等边三角形，故，根据中位线可知，//，于是，在中根据余弦定理可得，为锐角，又，故过作的高线时，垂足点落在线段上，由题意垂足点为时，最小.最小值为，C选项正确；D选项，，在中，根据余弦定理可求得，即，根据C选项可知，最小时也最小.根据，根据C选项的分析，，故，注意到，故，故，D选项正确.故选：BCD11．点是直线上的一个动点，，是圆上的两点．则（

）A．存在，，，使得B．若，均与圆相切，则弦长的最小值为C．若，均与圆相切，则直线经过一个定点D．若存在，，使得，则点的横坐标的取值范围是BCD【分析】根据几何知识得到当直线，与圆相切且最小时最大，然后求的最大值即可判断A选项；利用等面积的思路得到，然后求的最小值即可得到弦长的最小值，即可判断B选项；根据圆的定义得到，是以为直径的圆上的两点又是圆上的两点，然后让两圆的方程相减得到直线的方程即可得到直线过定点，即可判断C选项；根据存在，，使得得到，然后求时点的横坐标，即可得到点的横坐标的取值范围，即可判断D选项.【详解】

由图可知，当直线，与圆相切且点在轴上时最大，此时，，，，所以最大时是锐角，故A错；，所以，则当最小时，弦长最小，，所以，故B正确；设点，，是以为直径的圆上的两点，圆的方程为，即①，又，是圆②上的两点，所以直线的方程为②-①：，过定点，故C正确；若存在，，使得，则，当直线，与圆相切时，最大，对应的余弦值最小，当直线，与圆相切，且时，，，因为，所以，则，故D正确.故选：BCD.12．在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（

）A．存在点M使得B．四棱锥外接球的表面积为C．直线PC与直线AD所成角为D．当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是BCD【分析】取AD的中点G，证明平面PGC，然后由线面垂直的性质定理判断A，把四棱锥补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断BC，由平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时，从而得为PC的中点，N为QA的中点，再由体积公式计算后判断D．【详解】如图1，取AD的中点G，连接GC，PG，BD，,则，因为平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，平面，则．又因为，所以，又，平面，所以平面PGC．因为平面PGC，平面PGC，所以不成立，A错误．因为△APD为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面APD作为底面一部分，补成棱长为1的正方体．如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径，即四棱锥外接球的表面积为，B正确．如图2，直线PC与直线AD所成角即为直线PC与直线BC所成角，为，C正确．如图1，因为平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时，由上推导知，，，，，，，因此M为PC的中点．如图3，由M为PC的中点，即为中点,平面即平面与的交点也即为与的交点,可知N为QA的中点，故，D正确．故选：BCD．方法点睛：空间几何体的外接球问题，（1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与该面垂直的直线上，（2）对特殊的几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体或正方体，它们的外接球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径，由此易得球的半径或球心位置．三、填空题13．已知函数为偶函数，则______________．1【分析】根据偶函数的性质即可得到对均成立，从而求出参数的值.【详解】由题设，，所以，得，得对均成立．所以，解得．经检验，满足要求.故14．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，设直线AF，BF的斜率分别为，，则______．0【分析】由题可知直线过抛物线的准线与x轴的交点，利用抛物线的定义，正弦定理结合图形及条件可得，进而即得.【详解】由题可知抛物线的准线为，又直线，设直线l过抛物线的准线与x轴的交点为M，如图，过点A作准线的垂线，垂足为Q，由直线l的斜率为，易得，故，由抛物线的性质可得，所以，在中，由正弦定理可得：，所以，同理可得，故，所以．故0.15．已知函数，若存在实数t使得函数有7个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．【分析】利用导数研究函数的性质，得单调性和极值，并作出函数的大致图象，由得或，然后分类讨论，它们一个有3个根，一个有4个根，由此可得参数范围．【详解】当时，，，当时，，递减，当时，，递增，故时，；当时，，，时，，递增，时，，递减，所以当时，有极大值，当时，，作出的大致图象如图，由题意知，即有7个不同的实根，当有三个根，有四个实根，此时或，得或；当有四个根时，有三个实根，此时，得，所以．故．16．格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”（如：，则点到原点的格点距离为）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半径有______条（用数字作答）.252【分析】由题设，易知格点圆上的格点都在上，其中每个象限有5个，且相互关于x、y轴或原点对称，分析可得每个格点半径条数为，进而可求所有格点的半径条数.【详解】设格点为，格点半径为6，则，∴对应格点圆图象如下，每条边上有(不含端点)5个格点，

以第一象限为例，格点有，其中的半径有6条，的半径有15条，的半径有20条，的半径有15条，的半径有6条，∴共有62条，即对于任意格点，其半径条数有条，∴由上，四个象限共有条半径，另外数轴上有四个点，半径共有条，综上，格点半径为6时，格点圆的半径有条.故答案为关键点点睛：画出格点圆的图象，确定各象限中格点坐标，分析格点半径条数与坐标值之间的关系，应用对称性求格点圆半径总条数即可.四、解答题17．已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前40项和.(1)(2)784【分析】（1）将两边取倒数后，构造等差数列即可；（2）将奇偶分开，分组求和即可.【详解】（1）由题意易得，由可得，所以数列是公差为2的等差数列.故，即.（2）由（1）知，.所以的前40项和.18．5G技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．某科技集团生产A，B两种5G通信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：研发投入x（亿元）12345收益y（亿元）3791011(1)利用样本相关系数r说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）；(2)求出y关于x的经验回归方程，并利用该方程回答下列问题：①若要使生产A部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入多少研发资金？（精确到0.001亿元）②该科技集团计划用10亿元对A，B两种部件进行投资，对B部件投资元所获得的收益y近似满足，则该科技集团针对A，B两种部件各应投入多少研发资金，能使所获得的总收益P最大．附：样本相关系数，回归直线方程的斜率，截距．(1)答案见解析(2)回归方程为，①6.684亿元；②在A，B两种部件上分别投入8亿元，2亿元.【分析】（1）先计算出，再根据公式计算出，再由即可判断；（2）根据公式先求出回归直线方程，①令，解不等式即可求解；②根据题意，写出总收益的函数表达式，对函数求导，得出函数的单调性，然后利用函数的单调性求出最值即可.【详解】（1），，，，，∴．可以用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）∵，∴，∴y关于的经验回归方程为，①令，得，解得，∴若要使生产A部件的收益不低于15亿元，估计至少需要投入6.684亿元研发资金．②设B部件的研发投入为亿元，则A部件的研发投入为亿元，总收益，，令得，当时，，P单调递增；当，，P单调递减，所以当时，P取得最大值22亿元．所以该科技集团在A，B两种部件上分别投入8亿元，2亿元的研发资金，可使所获得的总收益P最大．19．记的内角的对边分别为.已知.(1)证明：；(2)若，求边长.(1)证明见解析(2)【分析】（1）由二倍角公式和正弦定理可得答案；（2）由正弦定理可得，由平面向量数量积的定义可得，再由余弦定理可得答案.【详解】（1）因为，则，即，由正弦定理可得，因此，；（2）因为，由正弦定理可得，由平面向量数量积的定义可得，所以，，可得，即，所以，，则.20．如图，在三棱台中，，，，，．

(1)证明：平面平面；(2)设是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直证面面垂直，根据题中条件，在平面中，垂直于两平面的交线，只需再证其与平面内的另外一条与相交的直线垂直即可.（2）建立空间直角坐标系，两平面法向量的夹角余弦值的绝对值即为平面与平面夹角的余弦值.【详解】（1）证明：

由三棱台知：，在梯形中，取的中点，连接，因，故，四边形是平行四边形，∴，，所以，，即，因，所以，又因，所以，又因，所以平面，因平面，所以平面平面；（2）解：取的中点，的中点，连接，，则，因，所以，由条件知：四边形是等腰梯形，所以，平面平面平面,平面平面∴平面，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，

则在等腰梯形中，由平面几何知识可得：，∴，，，，设平面的法向量，则由

得，令，得，，所以，又平面的法向量，设平面与平面的夹角为，则．21．已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列.(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN