广东省湛江市桂头中学2022年高三数学理模拟试题含解析

广东省湛江市桂头中学2022年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（2016?天津校级模拟）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；不等式．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．2.已知锐角α、β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝()A．

B．－

C．

D．－参考答案：A略3.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数(表示不大于的最大整数）可以表示为

(

)A．B．

C．

D．参考答案：【知识点】函数的解析式。B1【答案解析】B

解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数(表示不大于的最大整数）可以表示为．故选B.【思路点拨】结合给出的新定义“取整函数(表示不大于的最大整数）”直接可得结果。4.“a〉0”是“”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略5.设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若，，则

②若，，，则

③若，，则

④若，，则其中正确命题的个数是

（A）1

（B）2 （C）3

（D）4参考答案：B6.如图，半径为的扇形的圆心角为，点在上，且，若，则(

).（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A7.已知实数,则“”是“”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略8.函数的图象大致为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：Bf（x）=的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），当自变量从左侧趋向于1时，函数值趋向于﹣∞，排除CD，当自变量从右侧趋向于1时，函数值仍然趋向于﹣∞，排除A，或者取特殊值，当x=时，f（x）=-2ln2＜0，也可以排除A项，故选：B.

9.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序配图，求得该垛果子的总数为（

）A.120 B.84 C.56 D.28参考答案：B运行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故选C.10.若，则a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A∵，∴．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图象在处的切线斜率为_____．参考答案：1【分析】根据导数几何意义，求导后代入即可得到结果.【详解】由得：，即所求切线斜率为本题正确结果：【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.12.P为抛物线上任意一点，P在轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为

．参考答案：略13.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．参考答案：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有，∴n=10，∴最小正方形的边长为，故答案为.

14.已知等差数列前项和为，且满足，则数列的公差为______．参考答案：2略15.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，且3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法种数为

种（用数字作答）；参考答案：48略16.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是，这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱的三个顶点A，C，E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的三棱锥，，，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于点P，就形成了蜂巢的结构．如图，设平面PBOD与正六边形底面所成的二面角的大小为，则有：（

）A. B.C. D.以上都不对参考答案：C【分析】利用第二个图：取BF的中点O，连接OA，OM，可得．不妨取，在等腰三角形ABF中，，可得OB，OA，在中，，进而解得二面角．【详解】解：利用第二个图：取BF的中点O，连接OA，OM，，，，所以即为平面PBOD与正六边形底面所成的二面角的平面角，即．不妨取，在等腰三角形ABF中，，则，．在中，，解得：，在中，．故选：C【点睛】本题考查了二面角的求解问题，同时还考查了学生的阅读理解能力，数学建模的能力，准确理解题意是解题的关键.17.不等式的解集是

参考答案：原不等式等价为，即，所以不等式的解集为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。

(I)证明平面；

(II)证明平面EFD；

(III)求二面角的大小。

参考答案：解析：方法一：(I)

证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。

底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在中，EO是中位线，。而平面EDB且平面EDB，所以，平面EDB。

。。。。。。。。。。。。。。3分(II)证明：底在ABCD且底面ABCD，

①同样由底面ABCD，得

底面ABCD是正方形，有平面PDC而平面PDC，

②

。。。。。。。。。。。。。。6分由①和②推得平面PBC而平面PBC，又且，所以平面EFD

。。。。。。。。。。。。。。。。8分(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角由(II)知，设正方形ABCD的边长为，则在中，

。。。。。。。。。。。。10分在中，所以，二面角的大小为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设

(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得

底面ABCD是正方形，是此正方形的中心，故点G的坐标为且

。这表明。而平面EDB且平面EDB，平面EDB。(II)证明：依题意得。又故由已知，且所以平面EFD。(III)解：设点F的坐标为则从而

所以由条件知，即

解得。

点F的坐标为

且即，故是二面角的平面角。且

所以，二面角的大小为19.（本小题满分12分）2014年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：后得到如图的频率分布直方图．（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.(2)若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆恰有一辆的概率.参考答案：(1)77.5(2)【知识点】随机抽样；古典概型.I1K2解析：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于

……2分设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：，解得即中位数的估计值为

………5分（2）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），………6分车速在的车辆数为：（辆）

………7分

设车速在的车辆设为，车速在的车辆设为，则所有基本事件有：共15种

………………

10分其中车速在的车辆恰有一辆的事件有：共8种

………11分所以，车速在的车辆恰有一辆的概率为.

………………12分。【思路点拨】（1）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数和车速在[65，70）的车辆数．从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，设车速在[60，65）的车辆设为a，b，车速在[65，70）的车辆设为c，d，e，f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可．20.如图所示在直角梯形OABC中点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON：NC=1：3。(1)求异面直线MM与BC所成的角；(2)求MN与面SAB所成的角．参考答案：（1）（2）21.（本小题满分14分）已知函数．（1）求在上的最大值；[来源:gkstk.Com]（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值．参考答案：（1），…………2分令，解得（负值舍去），由，解得．（ⅰ）当时，由，得，在上的最大值为．…………………3分（ⅱ）当时，由，得，在上的最大值为．……4分（ⅲ）当时，在时，，在时，，在上的最大值为．…………………5分（2）设切点为，则

……………6分由，有，化简得，即或，……………①

由，有，……………②由①、②解得或．

……………9分（3）当时，，由（2）的结论直线为曲线的切线，，点在直线上，根据图像分析，曲线在直线下方．…………10分下面给出证明：当时，．