(完整版)解三角形完整讲义

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正余弦定理是解决三角形问题的基础知识。其中，正弦定理可以表示三角形的边与角度之间的关系，即a:b:c=sinA:sinB:sinC或abc=2RsinA*sinB*sinC。余弦定理则可以表示三角形的边与角度之间的余弦值的关系，即b^2=a^2+c^2-2accosB或cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)。解决斜三角形问题的常规思维方法可以根据已知条件应用正余弦定理求解，但要注意解可能有多种情况。判定三角形形状时，可以利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式。在解三角形问题时，可能出现一解、两解或无解的情况，可以结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。此外，还有三角学中的射影定理和两内角与其正弦值的关系。最后，通过例题可以检验对公式的掌握程度。4、已知三角形ABC中，A=30°，C=105°，b=8，则a等于（B）。A.4B.42C.43D.455、在三角形ABC中，a=10，B=60°，C=45°，则c等于（B）。A.10+3√3B.10C.3+√3D.1036、已知三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=1/3，b=3sinB，则a等于（3）。7、在三角形ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于（A）。A.1B.6/√3C.2√3/3D.2/√38、在三角形ABC中，则cosA=（C）。A.1/3B.1/2C.3/5D.2/39、在三角形ABC中，证明：2ab(sin2A*sin2B-cos2A*cos2B)=1-2sin2A-2sin2B。证明：由正弦定理得：a/2sinA=b/2sinB，化简得ab=4R^2sinAsinB。由余弦定理得：c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入ab的表达式，化简得cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。代入cos2A和cos2B的表达式，化简得cos2Acos2B=(a^2+b^2-c^2)^2/(4a^2b^2)-1/4。代入sin2A和sin2B的表达式，化简得sin2Asin2B=4R^2sin^2Asin^2B/(4a^2b^2)。将cos2Acos2B和sin2Asin2B代入原式，经过计算化简可得左边等于右边，证毕。专题：两边之和1、在三角形ABC中，A=60°，B=45°，a+b=12，则a=6-√3，b=6+√3。2、已知三角形ABC的周长为2+√3，且sinA+sinB=2sinC，求边AB的长和角C的度数。解：由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入周长公式得a+b+c=2+√3。又由sinA+sinB=2sinC，化简得2cos((A-B)/2)sin((A+B)/2)=2sinC，即cos((A-B)/2)=cos(90°-C/2)。因为A+B+C=180°，所以A-B=135°-C/2，代入上式得cos(135°-C/2)=cos(90°-C/2)，解得C=45°。代入周长公式和边长比例式，解得a=1+√3，b=1-√3，c=√6-√2。3、在三角形ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（D）。A.b=10，A=45°，B=70°B.a=60，c=48，B=100°C.a=7，b=5，A=80°D.a=14，b=16，A=45°4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（D）。A.a=1，b=2，c=3B.a=1，b=2，∠A=30°C.a=1，b=2，∠A=100°D.b=c=1，∠B=45°。5、在△ABC中，已知a=12，b=13，C=60°，根据余弦定理可得c=√(a^2+b^2-2abcosC)=5，因此此三角形有一解。6、满足A=45°，c=6，a=2的△ABC的个数记为m，则am的值为4，因为在这种情况下，根据正弦定理可得b=2√3，且只有4种不同的排列组合方式。7、已知△ABC中，a=181，b=209，A=121°，根据余弦定理可得c^2=a^2+b^2-2abcosA<0，因此此三角形无解。8、在△ABC中，已知b=503，c=150，B=30°，根据余弦定理可得a=503，因此边长a=503。1、在△ABC中，若A=60°，a=3，则a+b-c=sinA+sinB-sinC=3/2。2、已知△ABC中，a:b:c=1:3:2，则A:B:C=1:2:3。3、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA:sinB:sinC=4:5:6，成立的结论有2个，即①a:b:c=4:5:6，②A:B:C=4:5:6。4、在△ABC中，已知边c=10，cosA=4/5，cosB=3/5，解得a=6，b=8。5、在△ABC中，若角A、B所对的边分别为a、b，且cosA=(3b-c)/c，cosC=a/c，则b=2a。6、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据正弦定理可得b=2asinB，因此B=sin^(-1)(b/2a)。根据余弦定理和正弦定理可得cosA+sinC的取值范围为[0,√2]。1、在△ABC中，已知b=2，B=60°，根据正弦定理可得a/sinA=c/sinC=2/sinB，因此a=2sinA，c=2sinC。由于A+B+C=180°，因此sinA=sin(120°-B)=sin60°=√3/2，sinC=sin(180°-A-B)=sin60°=√3/2。因此a=c=2√3，取值范围为2<x≤4。2、在△ABC中，已知a:b:c=1:3:2，根据正弦定理可得sinA:a=3sinB:b=2sinC:c，因此sinA:3sinB:2sinC=1:3:2。设sinA=x，因此3sinB=3x/4，2sinC=x/2，又因为sinA+sinB+sinC=4/3，代入可得x=2/3。因此sinA=2/3，sinB=8/9，sinC=4/9，A=41.81°，B=75.52°，C=62.67°。3、在△ABC中，已知周长为7.5cm，且sinA:sinB:sinC=4:5:6，根据正弦定理可得a:b:c=4:5:6。因此a=1.5，b=1.875，c=2.25。由于a+b>c，b+c>a，a+c>b，因此满足条件的三角形存在，且成立的结论有2个，即a:b:c=4:5:6，A:B:C=4:5:6。4、在△ABC中，已知边c=10，cosA=4/5，cosB=3/5，根据余弦定理可得a=6，b=8。5、在△ABC中，已知角A、B所对的边分别为a、b，且cosA=(3b-c)/c，cosC=a/c，代入可得b=2a。6、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据正弦定理可得b=2asinB，因此B=sin^(-1)(b/2a)。根据余弦定理和正弦定理可得cosA+sinC的取值范围为[0,√2]。2、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（B）5＜x＜13。3、在锐角三角形ABC中，BC=1，B=2A，则AC的值等于2cosA，AC的取值范围为5＜x＜13。1、在△ABC中，a=3，b=7，c=2，则cosB=（-11/42），B≈120°。2、在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则cosA=（-11/21），∠BAC≈123.7°。3、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为120°。4、在△ABC中，a=33，c=2，B=150°，则b=7。5、在△ABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，则cosA=0，∠A=90°。6、在△ABC中，三边长分别为a=3，b=5，c=6，则bccosA+cacosB+abcosC的值为35。7、在△ABC中，已知a²=b²+c²+bc，则cosA=（-1/2），∠A≈120°。8、在钝角△ABC中，已知a=1，b=2，则最大边c的取值范围是5＜c＜3。9、设a、b、c是△ABC的三边长，对任意实数x，f(x)=bx+(b+c-a)x+c，则f(x)>0。10、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=7/2，则BC=9。设三角形ABC的三个内角分别为A、B、C。问题11：已知方程(sinB－sinA)x²+(sinA－sinC)x+(sinC－sinB)=0有等根，求角B的取值范围。解：根据二次方程求根公式，当判别式（sinA-sinC）²-4（sinB-sinA)(sinC-sinB)等于0时，方程有等根。化简可得（sinA+sinC-2sinB)²=4sinB(sinA+sinC)，即（sinB-sinA+sinC)²=0，因此sinB=sinA-sinC。由于-1≤sinA、sinB、sinC≤1，所以-1≤sinA-sinC≤1，即-1≤sinB≤1。又因为sinB=sin(180°-B)，所以sinB的取值范围为-1≤sinB≤1，即角B的取值范围为0°≤B≤180°。问题1：已知tanA×tanB＜1，求△ABC的形状。解：tanA×tanB＜1可化为tanA＋tanB＞1，由于A、B为锐角，所以tanA、tanB均大于0，因此tanA＋tanB＞tanA×tanB＞1，即tan(A＋B)＞1。又因为A、B为锐角，所以A＋B＜90°，即tan(A＋B)＜∞，因此1＜tan(A＋B)＜∞，即A＋B＞45°。因为A、B为锐角，所以C为钝角，即△ABC为钝角三角形。问题2：在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA＞sinB，求△ABC的形状。解：由于A、B为锐角，所以cosA、sinB均大于0，因此cosA＞sinB可化为cosA/sinA＞sinB/sinA，即cotA＞tanB。又因为A、B为锐角，所以C为钝角，即△ABC为钝角三角形。问题3：已知△ABC中，角B＝60°，b²＝ac，求△ABC的形状。解：由于B＝60°，所以C＝180°-A-B＝120°，因此A＋C＝180°-B＝120°。又因为b²＝ac，所以b/a＝c/b，即b³＝ac²。根据余弦定理可得b²＝a²＋c²-2accosB，代入B＝60°可得b²＝a²＋ac/2，即a²＋c²＝2b²。将a²＋c²代入b³＝ac²可得b³＝2b²c/2，即b＝2c/√3。因此a²＋b²＝4c²/3，c²＝3a²/4，即a²＝4c²/3，b²＝3c²/4。由于a²＋b²＞c²，所以△ABC为锐角三角形。问题4：如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为什么？解：设直角三角形的三边分别为a、b、c，其中c为斜边。将三边都增加同样的长度x，则新的三边分别为a＋x、b＋x、c＋x。由勾股定理可得(a＋x)²＋(b＋x)²＝(c＋x)²，展开可得a²＋b²＋2ax＋2bx＋2ab＝c²＋2cx＋x²，即2ab＝2cx＋x²-2ax-2bx，即ab＝cx-x(a＋b)+x²。因为a、b、c为正数，所以x²-ax-bx＜ab，即x²＜ab＋ax＋bx＝a(b＋x)+b(a＋x)。因此c＋x＜√(a(b＋x)+b(a＋x))，即新的三角形的斜边小于原来的斜边。由于直角三角形的两条直角边相等，所以新的三角形也是直角三角形。问题5：已知△ABC中abc/(cosAcosBcosC)=1，求△ABC的形状。解：根据三角形面积公式可得abc/(2R)=△ABC，其中R为△ABC的外接圆半径，根据正弦定理可得a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R，因此abc/(cosAcosBcosC)=8△²ABC/(sinAcosA·sinBcosB·sinCcosC)=8△²ABC/(1/4(sin2A+sin2B+sin2C+1))=32△²ABC/(2-sin2A-sin2B-sin2C)。根据余弦定理可得cosA＝(b²＋c²-a²)/(2bc)，代入cosAcosBcosC可得cosBcosC=(a²-b²-c²)²/(4b²c²)。根据三角形面积公式可得△ABC=1/2bcsinA，代入cosAcosBcosC可得cosBcosC=1/4(sinBsinC/sinA)²。因此32△²ABC/(2-sin2A-sin2B-sin2C)=16b²c²/sin2A(2-sin2A-sin2B-sin2C)。由于a²＝b²＋c²-2bccosA，所以2bccosA＝b²＋c²-a²，代入sin2A＝1-cos2A可得sin2A＝4b²c²/(b+c)²(2-a²/(b²+c²))。因此16b²c²/sin2A(2-sin2A-sin2B-sin2C)=16(b+c)²(2-a²/(b²+c²))/(2-b²/(a²+c²)-c²/(a²+b²))。因为a、b、c为三角形的三边，所以a、b、c均大于0，因此2-b²/(a²+c²)-c²/(a²+b²)＞0，即16(b+c)²(2-a²/(b²+c²))＞0，因此b＝c，即△ABC为等边三角形。问题6：已知△ABC中cosAcosBsinC/abc=1，求△ABC的形状。解：根据正弦定理可得a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R，因此abc=8R³△ABC。根据余弦定理可得cosA＝(b²＋c²-a²)/(2bc)，代入cosAcosBsinC/abc可得sinBsinC=(a²-b²-c²)sinA/2bc。因此8R³△ABC=cosAcosBsinC/abc=1，即R³=△ABC/(2sinAsinBsinC)。因为a、b、c为三角形的三边，所以a、b、c均大于0，因此2sinAsinBsinC＜sin²A+sin²B+sin²C，即R³＞△²ABC/(sin²A+sin²B+sin²C)。根据海龙公式可得△ABC=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2为半周长，代入R³＞△²ABC/(sin²A+sin²B+sin²C)可得(a+b+c)²＞4abc，即(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)＞0。因此a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，即△ABC为非退化三角形。由于cosAcosBsinC/abc＝1，所以cosAcosB＝sinC/b，即cosAcosB＝cos(90°-C)/b，因此a＝b，即△ABC为等腰直角三角形。问题7：已知△ABC中acosA=bcosB，求△ABC的形状。解：根据余弦定理可得a²＝b²+c²-2bccosA，代入acosA=bcosB可得a²＝b²+c²-2b²cosB，即cosB＝(b²+c²-a²)/(2bc)。根据正弦定理可得a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R，因此sinA＝a/2R，sinB＝b/2R，cosB＝(b²+c²-a²)/(2bc)＝b/2R，代入acosA=bcosB可得cosA＝a/2R，即sinA＝cosA，因此A＝45°，B＝45°，C＝90°，即△ABC为等腰直角三角形。问题8：根据下列条件判断△ABC的形状：(1).(a＋b＋c)(b＋c-a)=3bc，且sinA＝2sinBcosC；(2).(a＋b)sin(A-B)=(a-b)sin(A+B)。解：(1)将(b＋c-a)移项可得a＝2bc/(b＋c)，代入sinA＝2sinBcosC可得sinB＝(b²-c²)/(2bc)。因此b²＝c²，即△ABC为等腰三角形。(2)将(a＋b)sin(A-B)=(a-b)sin(A+B)化简可得bcosA-acosB＝0，即b/a＝cosB/cosA。由于A、B为锐角，所以cosA、cosB均大于0，因此b/a＞1，即b＞a。又因为a＋b＞c，所以b＞(a＋c)/2，即b/a＞(a＋c)/(2a)＝1/2＋c/(2a)＞1/2，因此B＞45°，即△ABC为钝角三角形。问题9：已知(a＋b＋c)(b＋c-a)=3abc，且sinA＝2sinBcosC，求△ABC的形状。解：将(b＋c-a)移项可得a＝2bc/(b＋c)，代入(a＋b＋c)(b＋c-a)=3abc可得b²＋c²＝3a²，即a²＝(b²＋c²)/3。代入sinA＝2sinBcosC可得2(b²-c²)/(b²+c²-2bc)＝4bc/(b²+c²)，即b²+c²-2bc＝2b²-2c²，即b²-c²＝2bc-2a²，代入a²＝(b²＋c²)/3可得b²-c²＝4bc/3，即9b²-9c²＝16bc，即(3b-4c)(3b+4c)=0。因此b/c＝4/3或b/c＝-4/3。由于b、c为三角形的两条边，所以b、c均大于0，因此b/c＝4/3，即3b=4c。代入a＝2bc/(b＋c)可得a＝8c/5，因此△ABC为等边三角形。10、在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，则可以推断△ABC是等腰三角形。11、在△ABC中，如果acosA=bcosB，则△ABC的形状是等腰或直角三角形。12、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对边，如果a=2bcosC，则这个三角形一定是等腰直角三角形。13、在△ABC中，如果tanA/a=2/tanB/b，则可以确定△ABC的形状是等腰或直角三角形。14、已知锐角三角形的边长分别为1、3、a，则可以推断a的范围是(8,10)。15、如果A为ΔABC的一个内角，且sinA+cosA=7/12，则可以推断ΔABC是钝角三角形。16、在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，根据正弦定理可以推断△ABC是等边三角形。17、已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m=(4,-1)，n=(cos2A/7,cos2A)，且m·n=3，求当b·c取得最大值时△ABC的形状。(1)求角A的大小：由m=(4,-1)，n=(cos2A/7,cos2A)，m·n=4cos(π/9)-2cos2A+2cosA+3=3，解得cosA=cos(π/9)。(2)若a=(A,cos2A)/2(1+cosA)，则cos2A-cosA=4·(2cos2A-1)/(A·cos2A)·(4/7-cos2A/7)。根据余弦定理，有a²=b²+c²-2bc·cosA，代入a=(A,cos2A)/2(1+cosA)和cosA=cos(π/9)，可得A=10，b·c取得最大值时，根据余弦定理可得cosA=-1/2，所以△ABC是等腰直角三角形。1、根据公式推导，得到b+c≥2bc，进一步得到bc≤3，当且仅当b=c=3时，bc取得最大值。由题目中的条件可知△ABC为正三角形。2、①根据余弦定理，得到a=c，由B=60°可知△ABC为等边三角形。②根据正弦定理和条件变形，得到sin2A=sin2B，进一步得到A=B或A+B=90°，因此△ABC为等腰△或Rt△。③根据正弦定理和余弦定理，得到c2=a2+b2，因此△ABC为Rt△。④根据条件变形和正弦定理，得到sin2A=sin2B，进一步得到A=B或A+B=90°，因此△ABC为等腰△或Rt△。3、根据正弦定理，得到sinA:sinB:sinC=(a:b:c)，由题目中的条件可得a:b:c=4:5:6，因此sinA:sinB:sinC=4:5:6。根据三角函数的基本关系式，得到cosC=-sin(A+B)=-sin(180°-C)=sinC，因此cosC=sinC/sinA=sinC/(4sinC/15)=15/4。12、根据三角函数的基本关系式，得到cosA=sinBsinC/sinA=(5/6)(4/7)=20/42=10/21。14、根据题目中的条件，得到a:b:c=4:5:6，因此设a=4x，b=5x，c=6x。根据余弦定理，得到cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(11x2-c2)/(40x2)，由题目中的条件可得b+c=11x，进一步得到c=11x-5x=6x。代入cosC的式子中，得到cosC=(25x2-36x2)/(40x2)=-11/40。由cosC是方程2x2-3x-2=0的一个根可知cosC=2/5。因此，由cosC的式子可得25x2-36x2=16x2，解得x=4/3，因此a=16/3，b=20/3，c=8。△ABC的最大内角为120°，周长为a+b+c=48/3=16。1.已知cosC是方程2x^2-3x-2=0的一个根，求cosC的值。解：根据题意，得到2cosC^2-3cosC-2=0，解得cosC=1或cosC=-1/2，因为cosC<1，所以cosC=-1/2。2.在三角形ABC中，已知a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且满足cosC=1/2，b+c=6，求a的值。解：根据余弦定理，有a^2=b^2+c^2-2bc*cosC=25，因为b+c=6，所以b=5,c=1或b=1,c=5，代入a^2=25得到a=5。3.已知三角形ABC中AB=a,AC=b，且ab<2S，求三角形ABC的面积。解：根据海伦公式，三角形ABC的面积S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。因为ab<2S，所以s(s-a)(s-b)(s-c)>ab，代入s=(a+b+c)/2得到(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)>4ab，即[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]>4ab，化简得到c^4-(a^2-b^2)^2>4ab，因为c^2<(a+b)^2，所以c^2-(a-b)^2>0，所以c^4-(a^2-b^2)^2>c^2-(a-b)^2>0，所以S>ab/(2sqrt[c^4-(a^2-b^2)^2])。4.已知三角形ABC的周长等于20，面积是103，角A=60°，求BC的长度。解：根据正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入周长和面积的公式得到a+b+c=20和103=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]=sqrt[15(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]，化简得到a+b-c=20/3。又因为角A=60°，所以sinA=sqrt(3)/2，代入正弦定理得到b=20sin60°/sinB=20sqrt(3)/3sinB，代入面积公式得到103=sqrt[15a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=20sqrt(3)/3sqrt[15a^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4]，化简得到a^2+b^2-c^2=25/3。联立a+b-c=20/3和a^2+b^2-c^2=25/3，解得a=5,b=5sqrt(3)，c=10/3，所以BC的长度为10/3。5.在三角形ABC中，若SΔABC=(a^2+b^2-c^2)/4π，那么角C=90°。解：根据海伦公式，三角形ABC的面积S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。代入题意得到(a^2+b^2-c^2)/4π=s^2π/sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，化简得到(a^2+b^2-c^2)^2=16π^2s(s-a)(s-b)(s-c)，即(a^2+b^2-c^2)^2=16a^2b^2c^2，所以a^2+b^2=c^2，即角C=90°。6.在三角形ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x^2-23x+2=0的两个根，且2cos(A+B)=1。求：(1)角C的度数；(2)AB的长度。解：(1)根据余弦定理，有a^2=b^2+c^2-2bc*cosA，a^2=c^2+b^2-2cb*cosB，两式相加得到2(a^2+b^2-c^2)=2bc(1+cos(A+B))，代入2cos(A+B)=1得到a^2+b^2-c^2=bc，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2，所以角C=60°或300°，因为a，b都是正数，所以角C=60°。(2)根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2ab*cosC，代入cosC=1/2得到c^2=a^2+b^2-ab，所以AB^2=a^2+b^2-c^2=ab，即AB=sqrt(ab)。在三角形ABC中，已知内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且a²-c²=2b，又已知sinAcosC=3cosAsinC，求b。解法一：根据正弦定理和余弦定理，可以得到以下式子：a²+b²-c²=2bccosAa=3ccosA将a代入a²-c²=2b中，可以得到2b=4c²cos²A-c²，化简得2(a²-c²)=b²，即4b=b²。解得b=4或b=0（舍去）。解法二：根据余弦定理，可以得到a²-c²=b²-2bccosA。又已知a²-c²=2b，代入可得b=2ccosA+2。又根据sinAcosC=3cosAsinC，可以得到sin(A+C)=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC。根据正弦定理，可以得到b=4ccosA/sinC。将b的两个式子相等，可以解得b=4。专题：求三角形面积1、在△ABC中，已知AB=3，AC=1，∠A=30°，则△ABC的面积为3/2。2、已知△ABC的三边长a=3，b=5，c=6，则△ABC的面积为2。3、三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为403。4、在△ABC中，a=sin10°，b=sin50°，∠C=70°，那么△ABC的面积为1/16。5、在△ABC中，b=8，c=8√3，S(ABC)=16√3，则∠A等于30°或150°。6、在△ABC中，sin(C-A)=1，sinB=√3/2，求△ABC的面积。7、在△ABC中，已知内角B、C的对边分别为b、c，若cosBcosC-sinBsinC=1，求A和△ABC的面积。已知a=2/3，b+c=4，代入余弦定理可得c²-2bccosA+b²=4/9。根据cosBcosC-sinBsinC=1，可得cos(B+C)=1，即B+C=0°或360°。因为B、C都是锐角，所以B+C=180°，即A=180°-B-C=180°。代入c²-2bccosA+b²=4/9，可得c²-2bccos(180°-B-C)+b²=4/9，即c²+2bccosBcosC+b²=4/9。代入cosBcosC-sinBsinC=1，可得c²+b²=13/9。解得c=√7/3，b=√22/3。代入海伦公式可得△ABC的面积为√21/9。12=16-2bc-2bc(-)，所以bc=4，因此S△ABC=1/2×13×4×sinA=26。改写：根据等式12=16-2bc-2bc(-)，可以得到bc=4，因此△ABC的面积为1/2×13×4×sinA=26。在锐角三角形中，边a、b是方程x²－23x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－3=0。求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。解：由2sin(A+B)－3=0，可得sin(A+B)=3/2，因为△ABC是锐角三角形，所以A+B=120°，C=60°。又因为a、b是方程x²－23x+2=0的两根，所以a+b=23。根据余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=(a+b)²-3ab=12-6=6，所以c=√6。根据正弦定理，S△ABC=1/2×ab×sinC=2。已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其中c=2，又向量m=(1,cosC)，n=(cosC,1)，m·n=1。（1）若A=45°，求a的值；（2）若a+b=4，求△ABC的面积。解：（1）因为m·n=1，所以1+cosC²=1，解得cosC=±1，但C∈(0°,180°)，所以cosC=1。根据正弦定理，a/√2=sin45°/sin60°，所以a=3。（2）由a+b=4，得b=4-a。根据余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=8-4acosC。根据正弦定理，S△ABC=1/2×ab×sinC=1/2×a(4-a)×sinC。将c²代入其中，得S△ABC=1/2×a(4-a)×√(8-4acosC)。在△ABC中，cosA=-54/25，sinB=1/√135，absinC=3/2。（1）求cosC的值；（2）设BC=15，求△ABC的面积。解：（1）由cosA=-54/25和sin²A+cos²A=1，可得sinA=7/25。由sinB=1