初三数学圆地经典讲义

圆'目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理（选学）圆与圆的位置关系圆的有关计算一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点：确定圆的条件：圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到

直角三角形。如下图:1 dL—h二锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 钝角三角形的外心在 0考点点和圆的位置关系 设圆的半径为，点到圆心的距离为，则点与圆的位置关系有三种。①点在圆外€>,②点在圆上€=③点在圆内€V,【典型例题】例在么中，z 9 ，是边上的中线，以点为圆心，以J5为半径作圆，试确定 三点分别与0有怎样的位置关系，并说明你的理由。例.已知，如图， 是直径，ZEOD，84°， 交。于，且例O平面内一点和0上一点的距离最小为最大为，则这圆的半径是例在半径为 的圆中，弦〃，则和的距离是多少？例O平面内一点和0上一点的距离最小为最大为，则这圆的半径是例在半径为 的圆中，弦〃，则和的距离是多少？例如图0的直径和弦相交于点，已知求的长.例已知：0的半径，弦的长分别为「2,\；3，求ZBAC的度数.二.垂径定理及其推论【考点速览】考点垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤.推论：平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤.平分弦所对的一条孤的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤.推论2圆的两条平行弦所夹的孤相等.垂径定理及推论中的三条可概括为：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦不是直径）④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】

例如图求证：分别是、 的中点，且€AMN例如图求证：分别是、 的中点，且€AMN=€CNM.例已知，不过圆心的直线l交0于F求证： .两点,【考点速练】已知0的半径为,弦长2\3已知0的半径为为（ ）-22cm订3cm.如图10的半径为C、 为两弦，且丄,垂足为点，若则的长为（ ）4c2cm8<2cm有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条其中正确的判断有（)个•个 个个5如图，同心圆中，大圆的弦交于、若 ，，圆心到 的距离等于，那么两个同心圆的半径之比为（)• 弱v'5V2如图O的直径为 弦是弦上的一个动点那么长的取值范围是

如图已知有一圆弧形拱桥拱的跨度拱高 那么拱形的半径是 如图，直径为水的最大深度的圆柱形水管有积水（阴影部分）,如图已知有一圆弧形拱桥拱的跨度拱高 那么拱形的半径是 如图，直径为水的最大深度的圆柱形水管有积水（阴影部分）,三.圆周角与圆心角【考点速览】考点圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可.判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由

ABCDE考点定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如下三图，请证明。考点推论:同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.例：如图，圆心角Z °,则Z例4：例4：如图1,AB是0的直径，点C,ZA+ZB€ °.D,E都在0上，若ZC€ZD=ZE，则图，0的直径CD过弦EF的中点G，,EOD=40，则,DCF=例：已知：如图， 是0的直径，Z例：已知0中，，C=30，AB€2cm，则0的半径为 cm

四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角弧弦弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中如果①两个圆心角②两条弧③两条弦④两条弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例.如图所示，点是Z的平分线上一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于、和、，求证:例、已知：如图，为0的直径，过上一点作弦、，且zFPF求证： 。例4如图，©的弦例4如图，©的弦例5如图所示，已知在©中，弦求证：€ODE是等边三角形.，z 120。，例.如图所示，在€ABC中，z72。,©截€ABC的三条边长所得的三条弦等长,五•圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。【典型例题】例（）已知圆内接四边形 中，zz:例（）已知圆内接四边形 中，zz:，求z的度数.已知圆内接四边形中，如图所示,的度数之比为乙的度数.四边形内接于0已知圆内接四边形中，如图所示,的度数之比为乙的度数.四边形内接于0，点在的延长线上，且如图所示,，ABC是等边三角形，是上任一点.求证:会用切线，能证切线考点速览：考点直线与圆的位置关系

图形公共点个数与的关系直线与圆的位置关系相离o相切相交考点切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言•・•丄于，为半径/.为0的切线考点判断直线是圆的切线的方法：与圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（请务必记住切线重要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）经典例题：例如图，△内接于0O是0的直径，Z=ZB判断直线与0的位置关系，并说明理由。例如图 ，与0相切吗？为什么,0的半径为A B例如图、是0的切线，切点为0上一点，若z= °,求z的度数。例.如图所示，Rt€ABC中，ZC，90°,以求证：是0的切线.中考链接如图，在以为圆心的两个同心圆中，经过圆心，且与小圆相交于点，与大圆相交于点，小圆的切线与大圆相交于点，且平分z试判断所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。切线长定理考点速览：考点切线长概念:经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量.考点切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.要注意:此定理包含两个结论，如图,两点,②平分€APB.考点两个结论:圆的外切四边形对边和相等;圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.经典例题:例已知分别切0于、、三点，若APED的周长为 cm，求：①0的半径；②若€APB，40。，€EOD的度数.例 如图，0分别切AABC的三边、、于点、、，若BC，a,AC，b,AB，c.()求、、的长；()当€C=90，,例3如图，一圆内切四边形，且cm，cm，考点速练：.如图，0是AABC的内切圆，、€A:€B:€C二4:3:2，则€DEF€FEC二 ..直角三角形的两条直角边为cm、 cm,则此直角三角形的外接圆半径为内切圆半径为 cm..如图，直线〃，若=m，=m，则€BOC= 的半径 cm， cm.实用标准文扌当・三角形内切圆考点速览考点概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.考点三角形外接圆与内切圆比较:名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点();()外心不一定在三角形的内部.内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交占八、、A1()到三边的距离相等；()、B 分别平分Z Az 、Z ；()内心在三角形内部.考点求三角形的内切圆的半径a+b—ci直角三角形△内切圆0的半径为r， 、一般三角形①已知三边，求△内切圆0的半径2SAr，—a+b+c(海伦公式△=Js(s-a)(s-b)(s-c),其中经典例题:例.阅读材料：如图（）,△的周长为，内切圆的半径为，连结，，△被划分为三个小三角形，用表示△△的面积•••△△△△111又T——B •—△2'△2，△2111 • • •…△2221—•（可作为三角形内切圆半径公式）2（）理解与应用：利用公式计算边长分为，， 的三角形内切圆半径；（）类比与推理：若四边形 存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（）且面积为，各边长分别为，，，，试推导四边形的内切圆半径公式；（）拓展与延伸：若一个边形（为不小于的整数）存在内切圆，且面积为，各边长分别为，，，…，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）.(1)(1)中，Z°如图），如图），如图），是厶的内心时，求z的度数;是厶的外心时，求z的度数;是高线与的交点时，求z当当的度数.当例3如图,考点速练.如图.如图.如图(1)D(2)（3）△中,分别切的内心与外心之间的距离.内切于△，那么z，切点为，.已知z连结等于的内切圆,是切点,中，z°是内心，则z.下列命题正确的是（）.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等.三角形的内心不一定在三角形的内部.等边三角形的内心，外心重合.一个圆一定有唯一-一个外切三角形.在△中，Z°, , ,则它的内切圆与外接圆半径分别为（）分别切于，.如图，在△ 中， ，内切圆与边分别切于，（）求证： ；（）若z°， =2求的长.是弧上的动点的大小；若不一定，请是弧上的动点的大小；若不一定，请.如图，©切厶的边分别为（与,不重合），z的大小一定吗？若一定，求出z说明理由.了解弦切角与圆幕定理（选学）【考点速览】考点弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。注意：弦切角必须具备三个条件：（）顶点在圆上

（切点），（）一边和圆相切，（）一边和圆相交（弦），三者缺一不可。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。考点圆幂定理：圆幕定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。i相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。2相交弦定理的推论：如果弦与直径相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。4切割线定理的推论（或称割线定理）：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。■EPA•上衣■EPA•上衣PB=PC•PDF三定锂星其特殊形式切割线：FA”"养FC害！I线：FA*FE=FC统一的圆幕运理：典型例题：例如图，经过0上的点的切线和弦的延长线相交于点。求证：Z=Z

A""已知：如图,的半径。的弦，是上的一点,是半圆•C3卜

smCA""已知：如图,的半径。的弦，是上的一点,是半圆•C3卜

smC=一,求5的直径,的长。十.是延长线上一点，切半圆于，连结，若圆与圆位置的关系考点速览:圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为和，圆心距为）外离外切相交内切内含图形⑥公共点个个个个个d 、的关d〉R,rd=R,r|R—r\„d„R+rd=|R—r|d„|r—r

系外公条条条条条切线内公条条条条条切线.有关性质:()连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。()公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。()公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁.相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。.相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点的延长线交。O的延长线交。O2例、如图，已知0O与0O相交于、两点，是0O上一点,121于点交0O于点， 的延长线交0O于为于点2过点交“于点求证:连接的长

过点交“于点求证:连接的长如图，在€ABC中,=90€,AB=AC=2%''2如图，在€ABC中,边上运动（与点、不重合），设BO=x,€AOC的面积为（）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;（）以点为圆心,长为半径作0o当圆。与0相切时，求€AOC的面积（）以点为圆心,经典得不能再经典的练习一.选择已知0与0的半径分别为和，圆心距 ，则两圆的位置关系为.外离.外切.相交 .内切已知两圆半径分别为和，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（）.0<d<1 .d„5 c0<d<1或d„5 .0Wd<1或d„5大圆半径为，小圆半径为，两圆圆心距为，则这两圆的位置关系为（）.外离 .外切 C.相交 .内含•外离

则另一圆的半径是右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系（•外离

则另一圆的半径是若两圆的半径分别是 和，圆心距为A相交.外离.内切.内含若两圆的半径分别是 和，圆心距为关系是（ ）.内切 .相交 .外切外切两圆的圆心距是，其中一圆的半径是若两圆的半径分别是已知0和0的半径分别为和，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距的取值范围在数轴上表示正确的是若两圆的半径分别是|II 1 1-r―1_O_1_1__1 T1V1 1b1012345012345012345012345A.B.C.D.和 圆心距为 ，则这两个圆的位置关系是（）内切相交外切外离内切相交外切外离若OO与OO相切，且OO€5，OO的半径r=2，则©O的半径r是（）122已知OO与OO外切，它们的半径分别为和’则圆心距O1O2的长是（）.OO12・OO=12VOO<5已知OO与OO外切，它们的半径分别为和’则圆心距O1O2的长是（）.OO12・OO=12VOO<512・OO>512已知两圆的半径分别为.外离 .和

外切,圆心距为,则两圆的位置关系是.相交如图，把O向右平移且丄，则图中阴影部分的面积是个单位长度得0,两圆相交于n n,若两圆的直径分别是 和（）内切 相交外切如图，两个同心圆的半径分别为切于点，则的长为（ ）C圆心距为，则这两个圆的位置关系是外离,弦与小圆相如图，两同心圆的圆心为，大圆的弦，则图中阴影部分的面积是（的半径分别为，.6空3-2兀,若相交两圆的半径分别为和，则此两圆的圆心距可能是（）.图中圆与圆之间不同的位置关系有.种8已知OO1的半径为，OO的半径为2，两圆的圆心距OO为12，则。O1与叫的位置关系是.二.填空已知两圆的半径分别是和，圆心距为二.填空已知两圆的半径分别是和，圆心距为，那么这两圆的位置关系是.已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm,公共弦长为6cm,则这两个圆的圆心距是已知OO的半径为 ，OO的半径为，两圆的圆心距OO为，则OO与12121OO的位置关系是2已知OO和OO的半径分别是一元二次方程(x—1)(x—2)=0的两根，且OO二2,1212则OO和OO的位置关系是12 如图，①A,OB的半径分别为，，圆心距AB为，如果OA由图示位置沿直线AB向右平移，则此时该圆与OB的位置关系是已知相切两圆的半径分别为5cm和4cm，这两个圆的圆心距是 •已知0和0的半径分别为3cm和2cm,且OO=1cm,则0和0的位置关系12.已知△ABC的三边分别是a,b,c,两圆的半径r=a,r=b,圆心距d=c,则12这两个圆的位置关系是 ..如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin„EAB的值为 十一圆的有关计算十一圆的有关计算考点速览:圆的有关计算—圆锥的侧面积-S沪盏圆