初高中数学衔接预习教材解析版第8讲二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法

第8讲二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法回顾过去在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法．进入高中之后，我们会学习更多类型的方程的解法．高中新课标必修2中学习直线与圆的方程时，涉及到二元二次方程组的解法，本讲内容主要涉及到二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组的解法．1．简单的二元一次方程组二元一次方程组的应用范围很广，然而它的解法一般比较复杂，容易出错．我们要认真研究，细心观察，根据题目特征寻求又快又好的解题方法．1.1代入消元法解二元一次方程组［例1】解方程组,3x—2y=7, ①解析：由②，得x=5-2y.③将③代入①，得 3(5- -)y乞,715-6y-2y=7,-8y=-8,y=1.把y=1代入③，得x=3.,x=3,所以原方程组的解是｛ 1…y=1-点评：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x的系数是1,因此考虑将方程②变形，并用含y的代数式表示x.用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单•代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误.TOC\o"1-5"\h\zx+3y=4, ①变式1：用代入法解方程组：］1 1 --x+_y=0.②…4 22.2加减消元法解二元一次方程组例2】解方程组：5m+2n=例2】解方程组：5m+2n=1,-7m+3n=16.解析：法①x3，②x2，得15m+6n=3,-14m+6n=32.③-④，得29m=-29,m=-1.将m=-1代入①，得-5+2n=1，n=3.所以原方程组的解为忙J法二：①X7,②X5,得35m+14n=7,-35m+15n=80.③+④‘得29n=87,n=3.把n=3代入①，得5m+6=1，m=-1.所以原方程组的解为〔；二'2．简单的三元一次方程组三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程．ax€by€cz=d111它的一般形式是„ax€by€cz=d，未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、TOC\o"1-5"\h\z22 2ax€by€cz=d33 3元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数．3x€4z=7 ①【例3】解方程组„2x€3y€z=9 ②5x-9y€7z=8 ③分析：方程①只含X,z,因此，可以由②，③消去y,再得到一个只含x,z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．解：②x3+③，得llx+10z=35. (4)与④组成方程组,3；；+4：0==35解这个方程组，,x=5 1得„ ，把x=5,z=—2代入②，得2x5+3y—2=9,/.y=-…z=-2 3x=5所以„y=丄3z=-23x€4z€z=14 ①例4】解方程组x€5y€2z=17 ②2x€2y-z=3 ③TOC\o"1-5"\h\z分析：三个方程中，z的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消z.解：①+③，得5x+6y=17 ④②+③x2,得，5x+9y=23 ⑤④与⑤组成方程组„ Z，解这个方程组，得„ ,把x=1,y=2代入③得：2x1+2x2-z=3, z=3…5x€9y=23 …y=21.解下列三元一次方程组x+y+z=151.解下列三元一次方程组x+y+z=15$2x+3y-z=9]) 5x-4y-z=03x-4y+5z=18<2x+jp-6z=8

3)x+3y+z=222.已知-€且x+y+z=24,求x、y、z的值.3.代数式ax2+bx+c在x为1,-1,2时，它的值分别是-6,-8,-11,求:（1） a,b,c的值；（2）当x=-4时,求代数的值.*4.已知2x+5y+4z=0,3x+y-7z=0,且xyz主0,求：？ +；的值.*5.已知廿上€ 且xyz主0，求x：y：z..567*6.用100元恰好买了三种笔共100支,其中金笔每支10元,铂金笔每支3元,圆珠笔每支0.5元,试问三种笔各买了多少支？答案：x€41.(1x€41.(1)…y=3z=8a=3(2)…b€0c=6'x€8(3)…y€4„z€22.x=6,y=8,z=103.a=-2,b=1,c=-5;-412.x=6,y=8,z=103.a=-2,b=1,c=-5;-414,85.x:y:z€3:2:46..金笔5支铂金笔5支圆珠笔90支3.简单的二元二次方程组含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,或由两个二元二次方程组组成的方程组,叫做二元二次方程组.3.1由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解.其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解.

(1)(2),2x—y二0(1)(2)【例5】解方程组｛ " °…x2—y2„3二0解：由(1)得：y二2x(3)将(3)代入(2)得：x2—(2x)2+3=0，解得：£=1或x2=—1把x=1代入⑶得：y二2；把x=—1代入⑶得：y=—2.22,x=1 ,x=—1・•・原方程组的解是：｛1小或11…y1二2 …y1=—2说明：(1)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或用y表示x的方程(3)；把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；解消元后得到的一元二次方程；把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；消x还是消y，应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的,如x—2y„1二0，可以消去x,变形得x二2y—1，再代入消元.消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值不能代入二元二次方程求另未知数的值，因为这样可能产生增根，这点注意.x2„4yx2„4y2—4二0,x—2y—2=0.解：第二个方程可变形为x=2y+2,,将其带人到第一个方程，整理得8y2+8y=0,即y(y+1)=0，解得y1把y1=0代入③，得把y2=—1代入③，练习1.解方程组1所以原方程组的解是=0，丁2=—1・x】=2；得x?=0.x二2,1y=0,1x二0,2y=—1.2说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解［例6】解方程组1x+y1~9 (；Ixy二18 ⑵解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看成是方程z2—9z„18二0的两根，解方程得:x二3、Ix二6・原方程组的解是：11或11y二6Iy二311说明：对于这种对称性的方程组1 ，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要Ixy二b换成异于x、y的字母，如z.

练习解方程组x€y=7,xy=12.角军法一：练习解方程组x€y=7,xy=12.把③代入②，整理，得y2-7y€12=0把③代入②，整理，得y2-7y€12=0解这个方程，得y=3,y=4•12把y=3代入③，得X=4；11x=4,1y=3,1所以原方程的解是＜22x=3,2y=4.2解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x,y看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x,y.这个方程组的x,y是一元二次方程z2-7z-12=0的两个根，解这个方程，得z=3，或z=4.x=4, ,x=3,所以原方程组的解是＜1o＜2 ,y=3;y=4.2.解下列方程组:一y=x+5,x2+y2=2.解下列方程组:一y=x+5,x2+y2=625;x2y2——^―=1,i5 4、y=x—3;=15,=20,51)3)2.(1)<x1

y1x=—20,2y=-15;2x=5,1y=-2,1Ix€y=3,(2)1xy=-10;Iy2=2x,4)1„x2+y2=8.x2y2=-2,=5;x=—

3‘4y=-—-3x=2,1y=2,1x=2,2y=-2.23.2由两个二元二次方程组成的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成,x2+xy=12 (1)【例7】解方程组1Ixy+y2=4 (2)分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次