2023年北京西城区高一（下）期末数学试卷含答案

第1页/共1页2023年北京西城区高一（下）期末数学2023.7本试卷共6页，共150分，考试时长120分钟，考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（）A． B． C． D．3．在中，，，，则（）A． B．1 C． D．4．某城市—年中12个月的月平均气温y（单位℃）与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则（）A．5 B．10 C．15 D．205．复数，且为纯虚数，则可能的取值为（）A．0 B． C． D．6．已知直线m，直线n和平面，则下列四个命题中正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（）A． B． C． D．8．已知等边的边长为4，P为边上的动点，且满足，则点P轨迹的长度是（）A．7 B．9 C．10 D．119．已知函数，则“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．第二部分（选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知复数z在复平面内所对应的点的坐标为，则为______．12．设向量，，若，则______．13．已知圆柱的底面半径为3，体积为的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为______，圆柱的体积为______．14．写出一个同时满足下列两个条件的函数______．①，；②，恒成立．15．如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E在线段上，且，给出下列四个结论：①存在点P，使得平面平面；②存在点P，使得是等腰直角三角形；③若，则点P轨迹的长度为；④当时，则平面截正方体所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．17．（本小题13分）如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）证明：平面．18．（本小题14分）已知在中，．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若，在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长．①的面积为；②；③AB边上的高线CD长为．19．（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数的单调递增区间；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．20．（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，四边形ABCD为正方形，E为AD的中点，F为SB上一点，M为BC上一点，且平面平面SCD．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：M为线段BC中点，并直接写出M到平面SCD的距离；（Ⅲ）在棱SC上是否存在点N，使得平面平面ABCD？若存在，求；若不存在，说明理由．21．（本小题15分）对于定义在R上的函数和正实数T，若对任意，有，则为T-阶梯函数．（Ⅰ）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①；②．（Ⅱ）若为T-阶梯函数，求T的所有可能取值；（Ⅲ）已知为T-阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在，使得在上有4046个零点，且．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．D2．C3．B4．A5．B6．C7．D8．B9．B10．A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．-213．2，14．（答案不唯一）15．①③④注：第13题第一问2分，第二问3分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．三、解答题：本大题共6小题，共85分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分．16．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为，，所以，．又因为，所以．所以．（Ⅱ）．17．（本小题13分）（Ⅰ）证明：，所以平面．因为平面，所以．因为为正方形，所以，又因为，所以平面．（Ⅱ）设，连接OE．因为为正方体，所以，且，所以，且．因为E，F分别，的中点，所以，且．所以，且．所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，平面，所以平面．18．（本小题14分）解：（Ⅰ）由正弦定理，得．所以．因为，所以，所以．因为，，所以，即．又因为，所以．（Ⅱ）选择①因为，即，即，所以．又因为，即，所以，所以的周长为．选择③因为AB边上的高线CD长为，即，所以．又因为，即所以，所以的周长为．19．（本小题15分）解：（Ⅰ）．（Ⅱ）由，，得．所以的单调递增区间是．（Ⅲ）因为，所以．依题意，解得．所以m的取值范围为．20．（本小题15分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD为正方形，所以．因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面SAD，又平面SAD，所以．（Ⅱ）因为平面平面SCD，平面平面，平面平面，所以，又因为E为AD的中点，所以M为线段BC中点．M到平面SCD的距离为．（Ⅲ）存在，N为SC中点，连接EC，DM交于点O，连接SE．因为，并且，所以四边形EMCD为平行四边形，所以．又因为N为SC中点，所以．因为平面平面ABCD，平面平面，又平面SAD，由已知，所以平面ABCD，所以平面ABCD．又因为平面DMN，所以平面平面ABCD．所以存在点N，使得平面平面ABCD，．21．（本小题15分）解：（Ⅰ）①否；②是．（Ⅱ）因为为T-阶梯函数，所以对任意有：．所以，对任意，，因为是最小正周期为的周期