初中数学-4.6一元二次方程根与系数的关系教学设计学情分析教材分析课后反思

-1-一元二次方程根与系数的关系导学案学习目标：1.了解并掌握一元二次方程根与系数之间的关系。2.经历观察、猜想、实验、交流、证明等推导一元二次方程根与系数关系的过程。3.会应用此关系解决有关的问题，发展推理能力，并进一步培养数学符号意识和创新意识。学习过程：一、创设情境、引入新知最强大脑：如果一元二次方程x2-2015x+2014=0的两根表示成x1,x2，哪位同学能在5秒内算出方程的两根之和以及两根之积？二、合作交流、探究新知1.解下列方程，填表：一元二次方程两根两根之和两根之积二次项系数a一次项系数b常数项cxxxxxx35观察上表根据刚才我们列举的部分方程，猜想：两根之和x1两根之积x13.已知：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x求证：x1+x2证明：设计意图：通过最强大脑激发学生探究兴趣，让学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，让学生体会从特殊到一般的数学思想。同时也培养学生思维的严谨性，养成严格论证的习惯，还培养了学生自主探究的能力。跟踪练习1.不解方程，求下列方程两根之和与两根之积.（1）x（2）2y（3）3x（4）2x（5）2x温馨提示：应用根与系数的关系时，首先_____________________________.2.下列方程中两实根的和等于2的方程是（）A.2y2C.2x2温馨提示：应用根与系数的关系时，前提是___________________________.设计意图：通过这两个习题，一方面是巩固记忆韦达定理，同时也指出使用韦达定理的两个条件，一是化为一般形式，二是∆≥0.三、典型例题、巩固新知例1.已知方程x2-4x+m=0思考：你还有其他解法吗？设计意图：例1的设计，主要是给学生创造一个知识迁移运用的机会。通过不同解法，让学生体会利用根与系数关系解决此问题的优越性，体会研究根与系数的重要性，调动全班同学参与到课堂中来。跟踪练习：如果-1是方程2x2-x+m=0的一根，则另一根是,m设x1,x(1)x12+x（3）x12+x22（4）（x1-x2）2设计意图：设置例题目的是让学生应用根与系数的关系求解代数式的值，加深对根与系数关系的理解，并能灵活应用这一关系解决问题。四、课堂小结、回味新知设计意图：深化对所学内容的理解、内化研究问题的方法，提升学生总结概括、反思的能力。五、课后延伸、应用新知写出一个一元二次方程，使它的两根是4和-7设计意图：开放性的作业设计，发展学生的核心素养，知识迁移应用。本节课的教学对象是九年级学生，在前面的课程中已经体会由特殊到一般的数学思想，经历“实践-观察-发现-猜想-证明”的过程，已经学习了用公式法去解一元二次方程，对于公式法的求根公式掌握的比较熟练，能熟练应用。在教学初始，利用央视最强大脑引入出示一些学生所熟悉情境和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和自主探究模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。本节课的内容是概念课，通过公式法可以推导出根与系数的关系，随着年龄的增长以及学生思维能力的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。再加上学生有着较强的认知力与求知欲，在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。但在灵活运用这个关系解决问题上会有难度。效果分析本节课学生积极回答问题，课堂气氛活跃，在遇到较难理解的问题时，小组讨论合作交流，能够做到互相帮助，学生们对本节课问题基本掌握。在用公式法推导一元二次方程根与系数的关系时，学生在分式的运算上比较薄弱，因此这里也是难点。例1是根与系数的直接应用，学生完成情况较好，同时提出该问题的其它解法，学生通过对比感受根与系数关系的实用性；例2是一元二次方程根与系数的常见题型，这类问题通常是不解通过恒等变形，转化为两根之和与两根之积的形式，再利用根与系数的关系得以解决，学生在这里难点是如何进行恒等转化学生不熟练。整节课下来，学生学习氛围浓厚，教学目标得到较好的实现。《一元二次方程根与系数的关系》是初中数学青岛版教材九年级上册第四章第六节的内容，本节共1课时。主要内容是一元二次方程根与系数的关系（也称韦达定理），通过本节内容的学习能运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和、两根的平方和及两根之差；教材通过一元二次方程的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数x1、x2为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。韦达定理是初中代数中的一个重要定理，通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。4.6一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（

）A.

﹣7

B.

7

C.

3

D.

﹣32．关于的一元二次方程的两个根相等，那么等于A．1或5 B．或5 C．1或 D．或3．已知是关于的一元二次方程的两个根，若，则的值为（）A．B．C．D．4.已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，则xA.

0

B.

2

C.

－2

D.

45．在一元二次方程中，若与异号，则方程A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况无法确定6．已知实数分别满足，，且，则的值是（）A．B．C．D．7.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=（

）A.

﹣5

B.

9

C.

5

D.

78．下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是A． B． C． D．9．当时，关于的方程的实数根的个数为A．2个 B．1个 C．0个 D．不确定10．下列说法：（1）时，方程一定有实数根；（2）时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；（3）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根；（4）关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程．其中正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．若是关于的方程的一个根，则方程的另一个根．12.设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=________．13.若方程x2-3x+1=0的根也是方程x414．方程有两个相等实数根．则15．如果，那么与的关系是．16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．三、解答题17．已知是方程的两个根，求的值．18.我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，请根据这一结论，解决下列问题：（1）若α，p是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则α+β＝________，α•β＝________；若2，3是方程x2+mx+n＝0的两根，则（2）已知a，b满足a2﹣5a+3＝0，b（3）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝5，求正整数c的最小值，19.不解方程，判断下列方程根的情况（1） （2） （3）20．当为何值时，关于的一元二次方程．（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．21．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．答案1.A2．A3．C4.B5．A6．A7.C8．D 9．D 10．C11．12.1013.-514．2．15．． 16．且．17．18.（1）3；1；-5；6；（2）解：∵a，b满足a∴a，b是方程x2当a≠b时，是方程a+b=5，ab=3，∴ab当a=b时，原式=2；（3）解：∵a+b+c=0，abc=5，∴a+b=-c，ab=∴α，b是方程x2-cx∴c2-∵c是正整数，∴c3-20≥0，即c≥320∴正整数c的最小值是3．∴正整数c的最小值是3．19.略20．解：，△，时，，（1）当△时，有两个不相等的实数根，即当且时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△时，有两个不相等的实数根，即当时，方程有两个相等的实数根；（3）当△时，没有实数根，即当时，方程没有实数根．21．解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，△，，．课后反思这节课的内容整体节奏快，探究韦达定理过程处理仓促，教师讲解时间多，留给学生消化记忆时间少，因此学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练，思路不清。两