2022年山西省忻州市王进学校高三数学理联考试题含解析

2022年山西省忻州市王进学校高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“a＝3”是“函数f（x）＝－2ax＋2函数在区间内单调递增”的A．充分不必要条件

B．必要不充分C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A2.已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数x、y，等式恒成立，若数列满足，且，则的值为

A.4017

B.4018

C.4019

D.4021参考答案：D略3.已知向量等于A.3 B. C. D.参考答案：B4.设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A由正弦定理，得：，即，C＝60°或120°，而A＝30°，当C＝60°时，B＝90°，不符合b＜c°，当C＝120°时，B＝30°符合，故选A。5.已知定义在R上的函数的导函数，若的极大值为，极小值为，则函数的图象有可能是参考答案：C6.已知复数是正实数，则实数a的值为(

)A.0 B.1 C.－1 D.±1参考答案：C【分析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.【详解】因为为正实数，所以且，解得.故选：C【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.7.根据如下样本数据：x345678y4.02.5﹣0.50.5﹣2.0﹣3.0得到回归方程为=bx+a，则(

) A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0参考答案：A考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：利用公式求出b，a，即可得出结论．解答： 解：样本平均数=5.5，=0.25，∴=﹣24.5，=17.5，∴b=﹣=﹣1.4，∴a=0.25﹣（﹣1.4）?5.5=7.95，故选：A．点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．8.函数的图象大致是（

）参考答案：D令，则，为上的偶函数，故B错误.当，，，若时，，故在上为减函数；若时，，故在上为增函数；故选D.

9.已知关于的方程在有且仅有两根，记为，则下列的四个命题正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.设，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最小正周期是

.参考答案：略12.如果一个平面与一个圆柱的轴成（）角，且该平面与圆柱的侧面相交，则它们的交线是一个椭圆.当时，椭圆的离心率是

.

参考答案：13.已知向量，，且，若变量x，y满足约束条件，则z的最大值为

参考答案：314.若直线与圆相交于两点，若

的平分线过线段的中点，则实数参考答案：15.设若时，不等式恒成立；则的取值范围是______________．参考答案：略16.如图所示,,,,,若,那么

参考答案：

17.已知函数f（x）=是奇函数，则sinα=

．参考答案：﹣1【考点】余弦函数的奇偶性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用奇函数的定义可得sin（x+α）=﹣cosx，故可取α=﹣，从而得到sinα=﹣1．【解答】解：根据函数f（x）=是奇函数，可得sin（x+α）=﹣cosx，故可取α=﹣，故sinα=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查奇函数的定义、诱导公式，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面与圆所在的平面互相垂直．已知,．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当的长为何值时，平面与平面所成的锐二面角的大小为？参考答案：解：（Ⅰ）证明：平面平面,,平面平面=，∴平面．平面，∴，又为圆的直径，∴，∴平面．平面，∴平面平面．

…………5分（Ⅱ）设中点为，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）.设，则点的坐标为，,又，

…………7分设平面的法向量为，则,．即

令，解得．

………………9分由（I）可知平面，取平面的一个法向量为．，即，解得，即时，平面与平面所成的锐二面角的大小为．

………………12分19.已知函数．（I）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（C）=，a=2，且△ABC的面积为，求c的值．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（I）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（Ⅱ）根据f（C）=，求出C，a=2，且△ABC的面积为，求出b，利用余弦定理可得c的值．【解答】解：函数．化简可得：f（x）=sinxcosx﹣sin2x=sin2x+cos2x﹣=sin（2x+）．（I）由≤2x+≤，k∈Z．得：≤x≤．∴函数f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．（Ⅱ）∵f（C）=，即sin（2C+）=可得：2C+=，k∈Z．∵0＜C＜π，∴C=．由a=2，且△ABC的面积为，即S=sinC=，∴b=2．余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：=4．∴c=2．20.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）；（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：

周光照亮X（单位：小时）30＜X＜5050≤X≤70X＞70光照控制仪最多可运行台数321

若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式，参考数据，．参考答案：解：（1）由已知数据可得，，因为，，，所以相关系数，因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元；②安装2台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润元，当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润元，故的分布列为：200060000.20.8所以元．综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．

21.若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）当定义域为[﹣1，1]，试判断f（x）=x4+x3+x2+x﹣1是否为“局部奇函数”；（2）若g（x）=4x﹣m?2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的范围；（3）已知a＞1，对于任意的，函数h（x）=ln（x+1+a）+x2+x﹣b都是定义域为[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；（2）根据f（x）为定义域R上的“局部奇函数，得到f（﹣x）=﹣f（x），恒成立，建立条件关系即可求实数m的取值范围；（3）根据f（x）为定义域[﹣1，1]上的“局部奇函数，得到f（﹣x）=﹣f（x），恒成立，建立条件关系即可求实数a的取值范围；【解答】解：（1）因为f（x）=x4+x3+x2+x﹣1，所以f（﹣x）=x4﹣x3+x2﹣x﹣1，由f（﹣x）=﹣f（x）得x4+x2﹣1=0，令x2=t∈[0，1]，而t2+t﹣1=0存在一根，即存在x∈[﹣1，1]，使得f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）为“局部奇函数”．（2）由题意知，g（﹣x）=﹣g（x）在R上有解，即4﹣x﹣2m?2﹣x+m2﹣3=﹣4x+2m?2x﹣m2+3在R上有解，所以4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0在R上有解，令2x+2﹣x=u∈[2，+∞），所以u2﹣2mu+2m2﹣8=0在u∈[2，+∞）上有解，令F（u）=u2﹣2mu+2m2﹣8，①当F（2）≤0时，即2m2﹣4m﹣4≤0，解得，此时F（u）在[2，+∞）上必有零点，所以；②当F（2）＞0时，F（u）在[2，+∞）上有零点必须满足综上：．（3）由题意知，，﹣h（x）=h（﹣x）在x∈[﹣1，1]上都有解，即，ln（﹣x+1+a）+x2﹣x﹣b=﹣ln（x+1+a）﹣x2﹣x+b在x∈[﹣1，1]上都有解，即，ln[（a+1）2﹣x2]+2x2=2b在x∈[﹣1，1]上都有解，令x2=s∈[0，1]，令φ（s）=ln[（a+1）2﹣s]+2s，由题意知φ（s）在s∈[0，1]上的值域包含[2，3]，因为，又因为s∈[0，1]，a∈（1，+∞）