2021年上海崇明县中华高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021年上海崇明县中华高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，，若，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.已知命题p：直线l1：2ax+y+1=0，l2：x+2ay+2=0，l1∥l2的充分不必要条件是a=；命题q：?x∈（0，π），sinx+＞2，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题参考答案：D【考点】2E：复合命题的真假．【分析】命题p：由2a×2a﹣1=0，解得a=．即可判断出命题p的真假．命题q：?x∈（0，π），sinx+≥2，x=时取等号，可得q是假命题．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：命题p：由2a×2a﹣1=0，解得a=．经过验证可得：a=l1∥l2．∴l1∥l2的充分不必要条件是a=，因此p是真命题．命题q：?x∈（0，π），sinx+≥2，x=时取等号，∴q是假命题．∴只有命题p∧（￢q）是真命题．故选：D．【点评】本题考查了直线平行的充要条件、基本不等式的性质、三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.已知实数a>0，且a≠1，函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上是减函数，又g(x)＝ax＋，则下列选项正确的是()A．g(－3)<g(2)<g(4)

B．g(2)<g(－3)<g(4)C．g(4)<g(－3)<g(2)

D．g(－3)<g(4)<g(2)参考答案：B4.下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是A.

B. C. D.参考答案：C5.设集合，，若，则的值为

（

）A．0

B．1

C．

D．参考答案：A略6.在中，若，则面积的最大值为（

）A.

B. C.

D.参考答案：C略7.函数y=2x-x2的图象大致是

(

）参考答案：A8.设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其坐标为，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：A解析：从五个球中任取两个共有=10种，而1+2=3，2+4=6，1+5=6，取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为。10.若函数f（x）的图象与函数y=（x﹣2）e2﹣x的图象关于点（1，0）对称，且方程f（x）=mx2只有一个实根，则实数m的取值范围为（）A．[0，e） B．（﹣∞，e）） C．{e} D．（﹣∞，0）∪{e}参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】求出f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，根据f（x）与y=mx2的交点个数判断．【解答】解：∵f（x）的图象与函数y=（x﹣2）e2﹣x的图象关于点（1，0）对称，∴f（x）=﹣[（2﹣x）﹣2]e2﹣（2﹣x）=xex，f′（x）=ex（x+1），∴当x＜﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，作出f（x）的函数图象如图所示：显然，当m=0时，f（x）与y=mx2有1个交点，符合题意；排除C，D；当m＜0时，抛物线y=mx2与f（x）的图象有2个交点，即f（x）=mx2有2个根，不符合题意，排除B，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(几何证明选讲选做题)如图4,△OAB是等腰三角形,P是底边AB延长线上一点,且,则腰长OA=

.参考答案：略12.定义域为的四个函数①②③④中,奇函数的个数有

（写出正确的序号）参考答案：略13.已知球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，O在CD上，若三棱锥A-BCD的体积的最大值为，则该球O的表面积为__________．参考答案：16π14.已知，则BC=___________参考答案：略15.设是曲线

(为参数)上任意一点，则的取值范围是

.参考答案：16.函数,其最小正周期为，则________.参考答案：217.已知函数若，则

.参考答案：或-1

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.学校为了了解A、B两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时长，分别从这两个班级中随机抽取10名学生进行调查，得到他们观看电视节目的时长分别为（单位：小时）：A班：5、5、7、8、9、11、14、20、22、31；B班：3、9、11、12、21、25、26、30、31、35．将上述数据作为样本．（Ⅰ）绘制茎叶图，并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息（至少写出2条）；（Ⅱ）分别求样本中A、B两个班级学生的平均观看时长，并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长；（Ⅲ）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为b，求a＞b的概率．参考答案：【考点】茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）作出茎叶图．（II）计算A、B班样本数据的平均值，比较即可得出结论；（Ⅲ）由A班的样本数据中不超过19的数据a有3个，B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个；利用列举法求出从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个的基本事件数，计算对应的概率．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如下（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）：从茎叶图中可看出：①A班数据有集中在茎0、1、2上，B班数据有集中在茎1、2、3上；②A班叶的分布是单峰的，B班叶的分布基本上是对称的；③A班数据的中位数是10，B班数据的中位数是23．（Ⅱ）A班样本数据的平均值为(5+5+7+8+9+11+14+20+22+31)=13.2小时；B班样本数据的平均值为(3+9+11+12+21+25+26+30+31+35)=20.3小时．因为，所以由此估计B班学生平均观看时间较长．（Ⅲ）A班的样本数据中不超过11的数据a有6个，分别为5，5，7，8，9，11；B班的样本数据中不超过11的数据b有3个，分别为3，9，11．从上述A班和B班的数据中各随机抽取一个，记为（a，b），分别为：（5，3），（5，9），（5，11），（5，3），（5，9），（5，11），（7，3），（7，9），（7，11），（8，3），（8，9），（8，11）（9，3），（9，9），（9，11），（11，3），（11，9），（11，11）共18种，其中a＞b的有：（5，3），（5，3），（7，3），（8，3），（9，3），（11，3），（11，9），共7种．故a＞b的概率为P=．19.己知函数（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为k，若a、b、c是正实数，且，求证.参考答案：（1）不等式的解集为，（2）证明见详解【分析】（1）分3种情况解出即可（2）首先求出，即可得到，然后，用基本不等式即可证明.【详解】（1）等价于或或解得或或所以不等式的解集为（2）因为当时等号成立，所以的最小值为3，即所以所以当且仅当时等号成立【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法及利用基本不等式求最值，属于典型题.20.（本小题满分13分）直角坐标平面上，为原点，为动点，，.过点作轴于，过作轴于点，.记点的轨迹为曲线，点、，过点作直线交曲线于两个不同的点、（点在与之间）.（1）求曲线的方程； （2）是否存在直线，使得，并说明理由.参考答案：(Ⅰ)设点T的坐标为，点M的坐标为，则M1的坐标为（0，） ，于是点N的坐标为，N1的坐标 为，所以…………2分 由 由此得…………4分 由 即所求的方程表示的曲线C是椭圆.……6分

(Ⅱ)点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C 无交点，所以直线l斜率存在，并设为k.直线l的方程为

………7分 由方程组 依题意…………9分 当时，设交点PQ的中点为， 则 又

…………11分 而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.……13分21.

某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：

休假次数0123人数5102015

根据上表信息解答以下问题：

（I）从该单位任选两名职工，记事件A为该两人休年假次数之和为4或5，求事件A发生的概率P；

（II）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E．参考答案：22.现有长分别为、、的钢管各根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．（Ⅰ）当时,记事件{抽取的根钢管中恰有根长度相等}，求；