2021年中考数学总复习第四章-三角形-微专题-八大常考全等模型课件

微专题八大常考全等模型(必考，在几何综合题中涉及考查)模型一平移模型(10年2考：2016.21，2015.22)例1如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.已知结论AB∥DE∠CBA＝∠FEDBE＝CFBE＋EC＝CF＋EC⇒BC＝EF例1题图例1证明：∵AB∥DE，∴∠CBA＝∠FED，∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(SAS)．模型分析模型展示

模型特点沿同一直线(BC)平移可得两三角形重合(BE＝CF)

解题思路证明三角形全等的关键：(1)加(减)共线部分CE，得BC＝EF；(2)利用平行线性质找对应角相等

模型应用1.如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：AB∥DE.第1题图证明：∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，∴∠ACB＝∠DFE＝90°，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(SAS)．∴∠ABC＝∠DEF，∴AB∥DE.模型二轴对称(翻折)模型(10年2考：2020.22，2018.23)例2如图，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2.求证：△ABC≌△ADE.已知结论∠1＝∠2∠1＋∠EAC＝∠2∠EAC⇒∠BAC＝∠DAE例2题图例2证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE(ASA)．模型分析模型展示有公共边有公共顶点

模型特点所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合解题思路证明三角形全等的关键：(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等；(2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等模型应用2.如图，△CDF和△ABD均是等腰直角三角形，且F在AD边上，若BF是∠ABD的平分线，则的值为(

)第2题图A.B.C.－1D.＋1C3.如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.若矩形ABCD的周长为18，则△EFC的周长为________．第3题图9模型三三垂直模型(10年2考：2017.25，2012.23)例3如图，AD⊥AB，DE⊥AE，BC⊥AE，垂足分别为A、E、C，且AD＝AB，求证：△AED≌△BCA.已知结论AD⊥AB∠DAE＋∠BAC＝90°DE⊥AE∠DEA＝90°，∠DAE＋∠ADE＝90°BC⊥AE∠ACB＝90°例3题图例3证明：∵AD⊥AB，DE⊥AE，BC⊥AE，∴∠DEA＝∠ACB＝∠DAB＝90°，∴∠ADE＋∠DAE＝90°，∠BAC＋∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠BAC.在△AED和△BCA中，∴△AED≌△BCA(AAS)．模型分析常用三个垂直作条件进行角度等量代换，即同(等)角的余角相等，相等的角就是对应角，证三角形全等时必须还有一组边相等．基本图形1如图①，已知：AB⊥BC，DE⊥CE，AC⊥CD，AB＝CE.图①图②图①结论：①∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D；②BE＝AB＋DE；③连接AD，则△ACD是等腰直角三角形．基本图形2

如图③，已知：AB⊥BC，AE⊥BD，CD⊥BD，AB＝BC.图③图④图③结论：①∠A＝∠DBC，∠ABE＝∠C；②DE＝AE－CD.模型应用4.如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝ED，且BC⊥DE，若AB＝5，CD＝8，则AE＝________．第4题图35.如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.(1)求证：△ADE≌△BEC；第5题图(1)证明：∵AD∥BC，∠A＝90°，∠1＝∠2，∴∠A＝∠B＝90°，DE＝CE.在Rt△ADE和Rt△BEC中，∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)；(2)若AD＝3，AB＝9，求△ECD的面积．(2)解：由△ADE≌△BEC得∠AED＝∠BCE，AD＝BE.∴∠AED＋∠BEC＝∠BCE＋∠BEC＝90°.∴∠DEC＝90°.又∵AD＝3，AB＝9，∴BE＝AD＝3，AE＝9－3＝6.∵∠1＝∠2，∴ED＝EC＝，∴S△ECD＝.模型四一线三等角模型例4如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在△ABC的三边上，且∠B＝∠1，BD＝CF.求证：△EBD≌△DCF.已知结论AB＝AC∠B＝∠C∠B＝∠1，∠EDC是△EBD的外角∠FDC＝∠DEB例4题图例4证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EDC是△EBD的外角，∴∠EDC＝∠BED＋∠B＝∠1＋∠FDC，又∵∠B＝∠1，∴∠FDC＝∠DEB，在△EBD和△DCF中∴△EBD≌△DCF(AAS)．模型分析一般通过一线三等角找等角或进行角度转换，证三角形全等时必须还有一组边相等这个条件.常见基本图形如下：(1)两个三角形在直线同侧，点P在线段AB上，已知：∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD.锐角一线三等角钝角一线三等角结论：△CAP≌△PBD.(2)两个三角形在直线异侧，点P在BA(或AB)的延长线上，已知：∠1＝∠2＝∠3，CP＝PD.锐角一线三等角钝角一线三等角结论：△CAP≌△PBD.模型应用6.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且BP＝CD，∠APD＝∠B，若∠APB＝120°，则∠CDP的度数为(

)A.30°B.60°C.120°D.150°第6题图C模型五自旋转型(10年4考：2019.23，2013.24，2012.23，2011.23)例5如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF.求证：AF∥BC.已知结论D是BC边的中点BD＝DCDE∥AB，D是BC的中点E是AC的中点，即AE＝CE例5题图例5证明：∵D为BC的中点，∴BD＝DC，∵DE∥AB，∴＝1，∴AE＝CE，又∵EF＝ED，∠AEF＝∠CED，∴△AEF≌△CED(SAS)．∴∠F＝∠EDC，∴AF∥BC.模型分析模型展示共顶点

不共顶点

模型特点(1)共顶点，绕该顶点旋转可得两三角形重合(2)不共顶点，绕某一点旋转后，再平移可得两三角形重合解题思路证明三角形全等的关键：(1)共顶点：加(减)共顶点的角的共角部分得一组对应角相等；(2)不共顶点：①通过加(减)共线部分，得BC＝EF；②利用平行线性质找对应角相等模型应用7.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC及其延长线上，点B，F分别在AE两侧，连接CF，已知AD＝EC，BC＝FD，BC∥DF.(1)求证：△ABC≌△EFD；第7题图(1)证明：∵AD＝EC，∴AD＋DC＝EC＋DC，即AC＝ED，∵BC∥DF，∴∠ACB＝∠EDF.在△ABC和△EFD中，∵BC＝FD，∠ACB＝∠EDF，AC＝ED，∴△ABC≌△EFD(SAS)；(2)若CE＝CF，FC平分∠DFE，求∠A的度数．(2)解：∵△ABC≌△EFD，∴AB＝EF.∵AB＝AC，AC＝ED，∴ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD.∵CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE.∵FC平分∠DFE，∴∠EFD＝∠EDF＝2∠CFE＝2∠E.∵∠EDF＋∠EFD＋∠E＝180°，∴2∠E＋2∠E＋∠E＝180°，∴∠E＝36°.∴∠A＝∠E＝36°.模型六手拉手模型(构造全等)(2014.23)例6如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE.求证：AG＝CE.已知结论四边形ABCD、BEFG均为正方形∠ABC＝∠GBE＝90°，AB＝CB，BG＝BE，∠ABC＋∠CBG＝∠GBE＋∠CBG例6题图例6证明：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠GBE＝90°，BG＝BE，∴∠ABC＋∠CBG＝∠GBE＋∠CBG，∴∠ABG＝∠CBE，在△ABG和△CBE中，∴△ABG≌△CBE(SAS)，∴AG＝CE.模型分析已知：有公共顶点的一对全等图形，称为“手拉手”模型，连接其他对应顶点；结论：①得到一对全等三角形；②对应点连线夹角中，有一个角等于公共顶点上的对应角.注：此模型研究手拉手旋转构造全等三角形，手拉手旋转构造相似三角形见P112.模型展示模型特点△ABC中，AB＝AC，△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD、CE.正方形ABFC中，AB＝AC，正方形ADGE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD、CE.解题思路证明三角形全等的关键：(1)共顶点：加(减)共顶点的公共角∠BAE得一组对应角相等；(2)利用已知两组边相等或者等腰、等边、正方形、菱形等得到两组对应边相等结论△CAE≌△BAD(SAS)，BD＝CE，∠BPC＝∠BAC＝α(“8字型”证角相等)模型应用8.如图，△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝54°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE交于F，连接AF，则∠AFE的度数是________．第8题图63°9.如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形，AN与MB交于点P.(1)求证：AN＝MB；第9题图证明：(1)∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°，∴∠ACN＝∠MCB＝120°，∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝MB；(2)连接CP，求证：CP平分∠APB.(2)如解图，过点C作CE⊥AN于点E，作CF⊥BM于点F，∵△ACN≌△MCB，∴S△ACN＝S△MCB，∴AN·CE＝BM·CF，∵AN＝MB，∴CE＝CF，∵CE⊥AN，CF⊥BM，∴CP平分∠APB.第9题解图模型七半角模型类型1对称半角模型例7如图，在正方形ABCD中，点E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC边于点G，连接AG，求证：∠GAE＝∠BAD.例7题图证明：由翻折的性质可得△AFE≌△ADE，则∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，∠DAE＝∠FAE.∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，AB＝AD，∴∠B＝∠AFG＝90°，AB＝AF，∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，∴∠BAG＝∠FAG，∴∠GAE＝∠GAF＋∠EAF＝∠BAG＋∠DAE＝∠BAD.模型分析模型展示含45°半角模型含30°半角模型含22.5°半角模型含15°半角模型模型特点①∠BAD＝45°；②△ABC≌△ABE，③△ADC≌△ADF①∠BAD＝30°；②△ABC≌△ABE，③△ADC≌△ADF①∠CAD=22.5°；②△ACD≌△ACE；③DF⊥AE①∠CAD＝15°；②△ACD≌△ACE；③DF⊥AE结论四边形AEGF为正方形△AEF为等边三角形△AFD为等腰直角三角形△AFD为直角三角形，且∠DAF＝30°

解题思路上图依次是含45°、30°、22.5°、15°角的三角形的对称(翻折)，关键是构造成正方形、等边三角形或者含特殊角的直角三角形，应用对称图形全等及图形的性质解题.模型应用10.如图，将正方形ABCD折叠，使顶点B与AD边上的H重合(H不与端点A、D重合)，折痕交AB于点E，交CD于点F，边BC折叠后与边CD交于点G，设正方形ABCD的边长为m，△DHG的周长为n，则的值为______．第10题图类型2旋转半角模型例8如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D和点E均在边BC上，且∠DAE＝45°，试猜想BD、DE、EC满足的数量关系，并写出推理过程．例8题图

解：BD2＋CE2＝DE2，理由：如解图，∵AB＝AC，∴把△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，∴AD＝AG，BD＝CG，∠B＝∠ACG，∠BAD＝∠CAG，∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，例8题解图∴∠ECG＝∠ACB＋∠ACG＝∠ACB＋∠B＝45°＋45°＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠EAG＝∠CAE＋∠CAG＝∠CAE＋∠BAD＝90°－45°＝45°，∴∠DAE＝∠GAE，在△DAE和△GAE中，∴△DAE≌△GAE(SAS)，∴DE＝EG，在Rt△ECG中，由勾股定理得EG2＝CE2＋CG2，即BD2＋CE2＝DE2.模型分析模型展示模型分析①△AED≌△AEF；②△CEF为直角三角形；③BD2＋CE2＝DE2

①△AEF≌△AEG；②△AGF为等腰直角三角形；EF＝BE＋DF①△DEF≌△DGF；②EF＝BE＋CF

结论上图依次为等腰直角三角形含半角、正方形含半角、120°含半角模型，通过旋转一定角度将另外两个角拼接在一起，构造的三角形与半角所在的三角形