九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案

九年级中考数学锐角三角函数解答题压轴题提高专题练习附详细答案

（2）先利用三角形内角和定理求出∠CBD，再根据正切函数定义求出CD，最后利用速度等于路程除以时间的公式求解缉私艇的速度．【详解】解：（1）如图所示，连接AC、BC，由题意得∠ABC＝53°，∠ACB＝180°－53°－37°＝90°，∴Rt△ABC，sin53°＝AC／25，∴AC＝25sin53°＝15（海里）．（2）如图所示，连接BD，过C作CEBD于E处，则∠BCE＝90°，∠CBD＝90°－37°＝53°，∴在Rt△BCE中，tan37°＝CE／BE，∴BE＝CE／tan37°＝15／2（海里），∴CD＝BE／tan76°＝15tan14°（海里），设缉私艇的速度为v（海里/小时），则v＝CD／0.25＝60tan14°（海里/小时）≈617（海里/小时）．故缉私艇的速度为每小时617海里时，恰好在D处成功拦截走私船．（1）在△ABC中，已知∠ACB=90°，∠BAC=37°，则∠ABC=53°。根据正弦定理，sinB=AC/AB，代入AB=25和sin37°可得AC=15海里。因此，观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里。（2）过点C作CM⊥AB于点M，则根据勾股定理，AC^2=AM^2+CM^2。代入AC=15和AM=9可得CM=12和MD=36。在△AMD中，根据勾股定理，AD^2=AM^2+MD^2，代入AM=9和MD=36可得AD=√917。又因为D、C、M三点共线，所以CD=MD-MC=24。设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，得到x=617。因此，当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截。（3）根据题意，在底板下面垫入散热架后，电脑转到AO′B′位置，使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°。因此，∠AO′B′=30°。根据余弦定理，OB′=√(OA^2+O′A^2-2OA×O′A×cos∠CAO′)，代入OA=OB=24和O′C=12以及∠CAO′=30°可得OB′=36-12=24。因此，显示屏的顶部B′比原来升高了12厘米。又因为散热架ACO′对电脑的旋转产生了影响，所以显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°。如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，-6），点B（6，0）。Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合。Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动。解答下列问题：（1）如图2，当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数。解析：由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA。要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数。根据三角形外角的定理，得∠CMA=60°-45°=15°。因此，∠BME=15°。（2）如图3，在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长。解析：由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6。通过解直角△BOC，得BC=4。（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值。解析：需要分类讨论：①当h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F。则有CN=4-FM，AN=MN=4+h-FM。由于△CMN∽△CED，可得：因此，S=S△EDC-S△EFM=16-(4h-h^2+8)/2=12-h^2/2。②当h≥2时，如图3，S=S△OBC=OC×OB=(6-h)×6=18-3h。综上所述，S与h之间的函数关系式为：S={12-h^2/2，h≤218-3h，h≥2当h≤2时，S取最大值时，h=2，此时S=16。当h≥2时，S取最大值时，h=0，此时S=18。8.如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH。（1）求边EF的长；解析：根据已知点E（30，0），点D（0，40），可以求出直线DE的直线解析式y=-4/3x+40，进而求出P点坐标为（30，10/3）。由于EF⊥x轴，所以EF的长度为PE的纵坐标，即EF=10/3。（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）。①当点F1移动到点B时，求t的值；解析：易求B（0，5），当点F1移动到点B时，EF1平移了5个单位，因此t=5/10=0.5秒。②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE重叠部分的面积。解析：F1G1与y轴垂直，因此G1H1与x轴平行，且H1在直线DE上时，E1F1与AP平行。此时，正方形E1F1G1H1与△APE重叠部分是一个梯形，底边为EF1，上底为AP，高为G1H1=EF1=10/3。因此，重叠部分的面积为（EF1+AP）×G1H1/2=（10/3+10/3×4）×10/6=20/3。9.如图1，以点M（-1，1）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y=-x-2与圆M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F。（1）OE的长度为5，圆M的半径r为2，CH的长度为2。（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH=3:2，求cos∠QHC的值。首先，连接QH并延长至交圆M于点K。设圆M的方程为(x+1)²+(y-1)²=4，直线y=-x-2的方程为y=-x-2。由于直线y=-x-2与圆M相切于点H，所以H点在直线y=-x-2上，且圆心M、切点H和直线y=-x-2上某一点的连线构成直角三角形。因此，可以求得H点坐标为(-1/2，-3/2)。又因为DP:PH=3:2，所以DP=3k，PH=2k，HQ=5k。由于QH与圆M的切点K在直线y=-x-2上，所以K点坐标为(-5/2，-3/2)。则cos∠QHC=cos∠QHK=HQ/HK=5/√26。（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交圆M于点T，弦ATMK=a，如果存在，请求出a的值；如交x轴于点N。是否存在一个常数a，始终满足MN·MK=4？若不存在，请说明理由。首先，连接MT并延长至交x轴于点N。因为ATMK是圆M的弦，所以AM和TK互相垂直。设点K的坐标为(x，-x)，则点T的坐标为(-1-x，1-x)，点A的坐标为(0，3)。因此，可以列出以下方程组：(x+1)²+(x-1)²=a²(0-x)(-1-x)+(3-1+x)=0解得x=1，a=2√2。因此，MN·MK=4成立。综上所述，OE的长度为5，圆M的半径r为2，CH的长度为2；cos∠QHC=5/√26；a=2√2，存在一个常数a，始终满足MN·MK=4。然后连接CN'、DN'，则△MCN'与△MDN'为直角三角形，利用勾股定理可得：MN'的长为√(MC²+DN'²)=√(8²+15²)=17千米，故M、N两村庄之间的距离为29千米．（2）由于P在AB上，设AP=x，则PB=15-x，又∠ANB=90°，故AB²=AN²+BN²=100+225=325，由勾股定理可得：NP²=NB²+PB²=(15-x)²+325，MP²=MA²+AP²=100+x²，故MN'²=NP²+MP²=2x²-30x+650，对MN'求导数，令其等于0，则有x=7.5，代入可得MN'最小值为√(650+2.25)=25.5，故村庄M、N到P站的最短距离和是55千米．13.已知抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+x+2$与$x$轴交于点$A,B$两点，交$y$轴于点$C$，抛物线的对称轴与$x$轴交于点$H$，分别以$OC,OA$为边作矩形$AECO$。(1)求直线$AC$的解析式；(2)如图，$P$为直线$AC$上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点$M$，当四边形$AOCP$面积最大时，求$|PM-OM|$的值；(3)如图，将$\triangleAOC$沿直线$AC$翻折得$\triangleACD$，再将$\triangleACD$沿着直线$AC$平移得$\triangleA'C'D'$，使得点$A',C'$在直线$AC$上，是否存在这样的点$D'$，使得$\triangleA'ED'$为直角三角形？若存在，请求出点$D'$的坐标；若不存在，请说明理由。【解析】(1)将$y=0$代入抛物线方程，得$x=2$或$x=-1$，即$A(2,0),B(-1,0)$。同时，$C$点坐标为$(0,2)$。由于抛物线对称轴与$x$轴交于点$H$，所以$H$点坐标为$(0,-1)$。因此，直线$AC$的斜率为$\frac{2}{-2}=-1$，截距为$2$，所以直线$AC$的解析式为$y=-x+2$。(2)假设点$P$的坐标为$(x,-\frac{1}{2}x^2+x+2)$。由于$M$点在对称轴上，所以其坐标为$(m,-\frac{1}{2}m^2+2)$。四边形$AOCP$的面积为$\frac{1}{2}AC\cdotOP$。将$AC$和$OP$表示成$x$的函数，即可得到面积的函数$S(x)$。将$S(x)$求导，令其等于$0$，解出$x$的值，即为四边形面积最大时的$x$坐标。将该$x$坐标代入$P$和$M$的坐标公式中，即可求出$|PM-OM|$的值。(3)存在。如下图所示，连接$A'$和$D'$，则$\triangleA'ED'$为直角三角形。设点$D'$的坐标为$(x,y)$，则$\triangleA'ED'$的三条边分别为$AE=\sqrt{2^2+(x-2)^2}$，$ED'=\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}$，$A'D'=\sqrt{(x-2)^2+y^2}$。由于$\triangleA'ED'$为直角三角形，所以有$AE^2+ED'^2=A'D'^2$，代入三条边的长度，化简后可得$x^2-4x+y^2-4=0$。又因为$A',C',D'$三点共线，所以直线$A'D'$的斜率与直线$AC$的斜率相同。由于直线$AC$的斜率为$-1$，所以直线$A'D'$的斜率也为$-1$。因此，有$y=-x+4$。将该方程代入$x^2-4x+y^2-4=0$中，解出$x$和$y$的值，即可得到点$D'$的坐标。的坐标为（2，-4）把点的坐标代入二次函数表达式得：y=-3(x-2)^2-4②当点P在直线AB上运动时，PN的长度为：PN=|3x-4y+1|/√(3^2+(-4)^2)=|3x-4y+1]/5由于P不与A重合，故需使PN最大，即使3x-4y+1的绝对值最大，即3x-4y+1取最大值3/5此时PN的最大值为3/5√10③分情况讨论：当N在AB直线下方时，直线与抛物线有一个交点N；当N在AB直线上方时，直线与抛物线有两个交点，分别求解可得N的坐标为（0，-1）或（4/3，-13/9）