福建省泉州市东碧中学2021年高三数学文测试题含解析

福建省泉州市东碧中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列的前n项和为，已知，,则（

）（A）38

（B）20

（C）10

（D）9参考答案：C2.长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB=90°，则侧棱AA1的长的最小值为(

)A．aB．2aC．3aD．4a参考答案：B考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：设侧棱AA1的长为x，A1E=t，则AE=x﹣t，由已知得t2﹣xt+a2=0，由此利用根的判别式能求出侧棱AA1的长的最小值．解答： 解：设侧棱AA1的长为x，A1E=t，则AE=x﹣t，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，∠C1EB=90°，∴，∴2a2+t2+a2+（x﹣t）2=a2+x2，整理，得：t2﹣xt+a2=0，∵在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB=90°，∴△=（﹣x）2﹣4a2≥0，解得x≥2a．∴侧棱AA1的长的最小值为2a．故选：B．点评：本题考查长方体的侧棱长的最小值的求法，是中档题，解题时要注意根的判别式的合理运用．3.函数的定义域为（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ． Ｄ．参考答案：答案：A解析：选A.4.如图所示的程序框图，若输入的n的值为1，则输出的k的值为(A)2(B)3(C)4(D)5参考答案：C略5.点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点A到抛物线的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于A. B.C. D.参考答案：C6.如图，南北方向的公路,A地在公路正东2km处，B地在A东偏北300方向2km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路和到A地距离相等。现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、M到B修建费用都为a万元/km,那么，修建这条公路的总费用最低是（

）万元

A.(2+)a

B.2(+1)a

C.5a

D.6a

参考答案：C略7.已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）=(

) A．﹣ B． C．± D．﹣k参考答案：A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答： 解：∵cosα=k，k∈R，α∈（，π），∴sinα==，∴sin（π+α）=﹣sinα=﹣．故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．8.若复数，则下列结论正确的是（

）A. B.的虚部为C. D.参考答案：D【分析】本题首先可以通过复数的运算将转化为，然后通过复数的相关性质依次求出、的虚部、、，即可得出结果。【详解】，，故A错；的虚部为，故B错；，故C错；，故D正确，综上所述，故选D。【点睛】本题考查了复数的相关性质，主要考查了复数的运算、共轭复数以及复数的模，考查计算能力，体现了基础性，是简单题。9.已知平面内点A，B，O不共线，，则A，P，B三点共线的必要不充分条件是A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立（为自然对数的底），则

A．

B．

C．

D．与大小不确定参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线l⊥平面α，垂足为O，三角形ABC的三边分别为BC=1，AC=2，AB=．若A∈l，C∈α，则BO的最大值为．参考答案：1+【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，B、O两点间的距离表示处理，结合三角函数的性质求出其最大值即可．【解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，如图．设∠ACO=θ，B（x，y），则有：x=ACcosθ+BCsinθ=2cosθ+sinθ，y=BCcosθ=cosθ．∴x2+y2=4cos2θ+4sinθcosθ+1=2cos2θ+2sin2θ+3=2sin（2θ+）+3，当sin（2θ+）=1时，x2+y2最大，为2+3，则B、O两点间的最大距离为1+．故答案为1+．12.已知=，=，且与的夹角为锐角，则的取值范围是

．参考答案：且略13.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．参考答案：14.对于实数，规定表示不超过的最大整数（如），则不等式

的解集为______________________参考答案：15.设f(x)在R上是奇函数，且，当时，，则____________.参考答案：【分析】由，结合f(x)是奇函数，求出f(x)周期，根据时，，即可求得.【详解】，，即是定义是上的奇函数，①故，即②故f(x)周期为4又当时，故故答案为：.【点睛】本题考查函数周期性的应用，重点在于得出函数的周期，难点在于对所求式子的化简，属中档题.16.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.参考答案：【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，若选出的2名学生都是女生，有种情况，所以所求的概率为.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.

17.直线经过点，且与曲线相切，若直线的倾斜角为，则参考答案：【考点】抛物线【试题解析】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，所以

联立，消y得：

因为直线与曲线相切，所以三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，,E为PC的中点.(1)求证：平面;(2)求二面角的余弦值.参考答案：【知识点】利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题空间的角平行【试题解析】（1）证明：连结AC交BD于点，

因为底面ABCD是正方形，所以是AC的中点．

又因为E为PC中点，所以

所以

（2）取AD，BC的中点O，M，连接PO，OM，

又

以O为坐标原点，分别以轴正方向建立空间直角坐标系．

设

取PD的中点为F，可证得，

可取平面的一个法向量为

设平面BDE的一个法向量为，

由

，由图知二面角是锐二面角

所以二面角的余弦值为．19.（本小题满分12分）菱形的边长为3，与交于，且．将菱形沿对角线折起得到三棱锥（如图），点是棱的中点，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．参考答案：(Ⅰ）由题意，,因为,所以，．…3分又因为菱形，所以．

因为,所以平面，

因为平面，所以平面平面．……………6分(Ⅱ)三棱锥的体积等于三棱锥的体积．

由（Ⅰ）知，平面，所以为三棱锥的高．………8分的面积为，………10分

所求体积等于．………12分20.已知函数，x,且函数的图像在点(2,)处的切线斜率为3,（1）求的值；（2）求函数的单调区间.参考答案：解：（1）∵，∴

……2分又∵函数的图像在点(2,)处的切线斜率为3,∴，即，解得

……6分（2）由（1）得

∴当或时，

……8分当时，

……10分因此，函数的单调增区间为、，单调减区间为

……12分略21.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=+1（n≥2）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由数列递推式可得，然后利用累积法求得数列通项公式；（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入bn=，然后利用裂项相消法求和，放缩得答案．【解答】（Ⅰ）解：当n=2时，2S2=3a2+1，解得a2=2，当n=3时，2S3=4a3+1，解得a3=3．当n≥3时，2Sn=（n+1）an+1，2Sn﹣1=nan﹣1+1，以上两式相减，得2an=（n+1）an﹣nan﹣1，∴，∴=，∴；（Ⅱ）证明：bn==，当n=1时，，当n≥2时，，∴．∴Tn＜．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．22.已知函数f（x）=是奇函数，a，b，c为常数（1）求实数c的值；（2）若a，b∈Z，且f（1）=2，f（2）＜3求f（x）的解析式．参考答案：【考点】3L：函数奇偶性的性质；36：函数解析