第06讲空间向量的应用-线面位置关系的证明（知识解读真题演练课后巩固）（原卷版）

第06讲空间向量的应用---线面位置关系的证明1.空间中线与线的位置关系：平行、相交、异面.2.空间中线与面的位置关系：线面平行、线在面内、线面相交.3.空间中面与面的位置关系：面面平行、面面相交.1直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.(2)平面的法向量若向量n所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，向量n叫做平面α(3)平面的法向量的求法(待定系数法)①建立适当的坐标系；②设平面α的法向量为n③求出平面内两个不共线向量的坐标

a=(④根据法向量定义建立方程组______⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.2判定空间中的平行关系(1)线线平行设直线l1,l2的方向向量分别是a,b(2)线面平行设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是n，则要证明只需证明a⊥n(3)面面平行若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2,要证α||β，只需证3判定空间的垂直关系(1)线线垂直:设直线l1,l2的方向向量分别是a,b，则要证明(2)线面垂直①(法一)设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是n，则要证明l⊥α，只需证明a②(法二)设直线l的方向向量是a，平面α内的两个相交向量分别为m,若a(3)面面垂直若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为只需证n1⊥n【题型】线面、面面位置关系的证明【典题1】若平面α与β的法向量分别是a=(2,4,−3)，b=(−1,2,2)，则平面α与β的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直 D．无法确定【典题2】如图1所示，在边长为12的正方形AA'A1'A1中，点B，C在线段AA'上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分别交A1A1(1)在三棱柱ABC－A1B1C(2)试判断直线AQ是否与平面A1【典题3】如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1=A(1)求证:直线A1F∥平面(2)若∆ABC是正三角形,E为C1C中点，能否在线段B1B上找一点N，使得A【典题4】如图，四棱锥S－ABCD中．ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=3(1)求证：AE⊥平面SBD；(2)M、N分别在线段SB、CD上的点，是否存在M、N，使MN⊥CD且MN⊥SB，若存在，确定M、N的位置；若不存在，说明理由．【点拨】①对于高一非向量法与向量法的取舍，若第一问非向量法较容易解答，而第二问很难则第一问用非向量法，第二问用向量法；若第一问用非向量法较难，则建议从第一问就开始利用向量法，比如该题，不用纠结第一问用向量法要建系描点浪费时间，其实不然，因为第二问大多数情况下都使用向量法的；②第一问方法二中利用平面几何知识点怎么垂直关系，常见技巧是勾股定理逆定理、相似三角形、三角函数等；③三点共线设元问题：“∵M在线段CD上，可设BM=λBS=−λ,−2λ,3巩固练习1.已知n=(1,2,−1)为平面α的一个法向量，a=(−2,λ,1)为直线l的方向向量．若l∥α，则λ=2已知平面α的法向量是a=(3x−1,−1,x+5)，平面β的法向量是b=(x+1,x2+3,−x)，且α⊥β，则实数3.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，(1)证明：A1B∥平面ADC1；(2)证明：平面4.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE(1)求证：A1C⊥平面(2)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面一、单选题1．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则2．已知正方体，棱长为1，，分别为棱，的中点，则（

）A．直线与直线共面 B．不垂直于C．直线与直线的所成角为60° D．三棱锥的体积为3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，，，截面与直线平行，与交于点E，则下列说法错误的是（

）

A．平面B．E为的中点C．三棱锥的外接球的体积为D．与所成角的正弦值为4．已知是两个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5．已知，，是球的球面上三点，，，，若异面直线与所成角的余弦值为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．二、多选题6．如图，棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面正好经过点，则下列结论中正确的是（

）

A．平面B．球的体积为C．球被平面截得的截面面积为D．过点与直线，所成角均为的直线可作4条7．如图，在三棱柱中，平面，是棱上的一个动点，则（

）

A．直线与直线是异面直线B．周长的最小值为C．存在点使得平面平面D．点到平面的最大距离为三、填空题8．已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④m，n是两条异面直线，若，则．上面的命题中，真命题的序号是____________．（写出所有真命题的序号）9．已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：①若，则m平行于平面内的任一条直线；②若，则；③若，则；④若，则．上面的命题中，真命题的序号是____________．（写出所有真命题的序号）10．已知正方体的外接球的表面积为，点，分别是，的中点，过，，的截面最长边长为，最短边长为，则________.

一、单选题1．（2021秋·北京海淀·高二人大附中校考期中）设直线的方向向量为，，，为平面的三点，则直线与平面的位置关系是（

）A． B．或C． D．2．（2023秋·河南信阳·高二统考期末）直线l的方向向量为，平面与的法向量分别为，，则下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．（2021·高二课时练习）已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线l与平面的位置关系是（

）A．垂直 B．平行 C．相交 D．平行或直线在平面内4．（2021·高二课时练习）在正方体中,平面的一个法向量为()A． B． C． D．5．（2022·高二课时练习）设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（

）A．，，且，B．，，且C．，，且D．，，且6．（2021·高二课时练习）是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．二、多选题7．（2023春·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期末）已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点也在平面内的是（

）A． B． C． D．8．（2021秋·福建泉州·高二泉州五中校考期中）已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是，的中点，点满足，下列选项正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时，为锐角 D．当时，平面三、填空题9．（2022·高二课时练习）已知，，，则平面ABC的一个单位法向量是________．10．（2021·高二课时练习）已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是___________.①(-1，1，1)，②(1，-1，1)，③(-，-，-)，④(，，-).11．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有___________.①存在点P，使得平面平面；②存在点P，使得平面；③分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有；④对任意的点P，的面积都不等于.12．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）如图，在直角梯形中，E为的中点，，，M，N分别是，的中点，将沿折起，使点D不在平面内，则下命题中正确的序号为______．①；②；③平面；④存在某折起位置，使得平面平面．四、解答题13．（2022秋·广东茂名·高二信宜市第二中学校考阶段练习）已知，，.求平面的一个法向量；14．（2022·全国·高三专题练习）如图，且，，且，且，平面ABCD，.若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；15．（2021·高二单元测试）四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（