工程力学-第十一章-能量法课件

第十一章能量法§11–1引言

Introduction§11–2应变能,余能(补偿能)StrainEnergyComplementaryEnergy§11–3卡氏定理

Castigliano’sTheoremEnergyMethod

第11章能量法§11.1概述1.能量法：

利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。2.能量法的应用范围十分广泛：（1）线弹性体；非线性弹性体（2）静定问题；超静定问题（3）是有限单元法的重要基础§11–1

变形能的普遍表达式一、能量原理：二、杆件变形能的计算：1.轴向拉压杆的变形能计算：

弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即

利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。2.扭转杆的变形能计算：3.弯曲杆的变形能计算：三、变形能的普遍表达式：

变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。例1用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能在应用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？qCaaAPBf例2

弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所示。试求梁内的应变能。解：梁的挠曲线方程为：荷载所作外力功为：将前一式代入后一式得：w

x

l

y

A

B

q

x

2.余能设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F-曲线如图b

。

“余功Wc”定义为：与余功相应的能称为余能Vc，余功Wc与余能Vc

在数值上相等。F

(a)

F

O

dF

1

F1

(b)（代表F-曲线与纵坐标轴间的面积）即：F

O

dF

1

F1

(b)对线弹性材料，余能和应变能在数值上相等，但其概念和计算方法截然不同。注意：对非线性材料，余能V

c与应变能V

在数值上不一定相等。余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已。O

F

dF

1

F1

(b)§11–3

卡氏定理

1.卡氏第一定理—导出“力”的定理设图中材料为非线性弹性，由于应变能只与最后荷载有关，而与加载顺序无关。不妨按比例方式加载，从而有假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量di,则应变能的变化为：1

2

3

n

1

2

3

n

BiFidi因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量di，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：注意到上式与下式在数值上相等从而有：（—卡氏第一定理）注意：卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。

式中Fi及i分别为广义力、广义位移。必须将V

写成给定位移的函数，才可求其变化率。例4

由两根横截面面积均为A的等直杆组成的平面桁架，在结点B处承受集中力F，如图a

所示。两杆的材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。

解：设结点B的水平和铅垂位移分别为1和2，

先假设结点B只发生水平位移1

（图b）

则：A

B

(b)

C

B'

1A

B

F

45

O

(a)

C

l

同理，结点B只发生铅垂位移2（图c）则：当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）A

B

(c)

C

B''

2应用卡氏第一定理得解得：桁架的应变能为2.卡氏第二定理—导出“位移”的定理设有非线性弹性的梁，梁内的余能为：假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi

，而其余荷载均保持不变，因此，由于Fi改变了dFi

，外力总余功的相应改变量为：余能的相应改变量为：1

2

3

n

1

2

3

n

B由于外力余功在数值上等于余能，得解得：（称为“余能定理”）特别：对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能V

在数值上等于余能V

c

，此时上式变为：

（称为“卡氏第二定理”）式中的Fi

和i分别为广义力和广义位移。注意：卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理作为余能定理的特例，仅适合于线弹性体。所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。

当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。实际计算时，常采用以下更实用的形式：例5

结构如图，用卡氏定理求A

面的挠度和转角。③变形①求内力解：求挠度，建坐标系②将内力对PA求偏导ALPEIxO

求转角

A①求内力没有与A向相对应的力（广义力），加之。“负号”说明

A与所加广义力MA反向。②将内力对MA求偏导后，令M

A=0③求变形（注意：MA=0）LxO

APMA

弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所示。试用卡氏第二定理求跨中挠度。w

x

l

y

A

B

q

x

P③求变形（注意：P=0）①求内力②将内力对MA求偏导后，令P=0演习1．能量守恒弹性范围固体变形能U在数值上等于外力所做的功W，即U=W。超出了弹性范围，塑性变形将消耗一部分能量，变形能不能全部转变为功。2．线弹性材料杆件变形能a.轴向拉压杆的变形能计算：b.扭转杆的变形能计算：c.弯曲杆的变形能计算：卡氏定理卡氏第二定理：若将结构的变形能U表示为载荷P1，P2，…，Pi，…的函数，则变形能对任一载荷Pi的偏导数等于Pi作用点沿Pi作用方向的位移δi，即：

卡氏第一定理：杆件的变形能U(δi)(i=1,2,…,n)，对于杆件上与某一载荷相应位移的变化率等于该载荷的值。即有：

,(i=1,2,…,n)

,(i=1,2,….n)

本定理只适用于线弹性材料。作业：3-1（b)(d),3-6-(a)(b)例6

结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线——任意点的挠度f（x）①求内力②将内力对Px求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。PALxBPx

CfxOx1③变形（注意：Px=0）例7

等截面梁如图，用卡氏定理求B

点的挠度。②求内力解：1.依求多余反力，③将内力对RC求偏导①取静定基如图PCAL0.5LBfxOPCAL0.5LBRC④变形2.求②将内力对P求偏导①求内力③变形例9-17d=20mm,h=180mm,b=100mm,E=200Gpa,s=235MPa,b=400MPa,n=2,nst=3,求Fd1m2m1mhbF1)计算柔度解：2）求CD杆的临界力3）校核梁的强度NCD=F/3NA=2F/3F卡氏定理卡氏第二定理：若将结构的变形能U表示为载荷P1，P2，…，Pi，…的函数，则变形能对任一载荷Pi的偏导数等于Pi作用点沿Pi作用方向的位移δi，即：

卡氏第一定理：杆件的变形能U(δi)(i=1,2,…,n)，对于杆件上与某一载荷相应位移的变化率等于该载荷的值。即有：

,(i=1,2,…,n)

,(i=1,2,….n)

本定理只适用于线弹性材料。卡氏第二定理计算公式一般公式拉压杆或者桁架扭转变形弯曲变形例5

结构如图，用卡氏定理求A

面的挠度和转角。③变形①求内力解：求挠度，建坐标系②将内力对PA求偏导ALPEIxO

求转角

A①求内力没有与A相对应的力（广义力），加之。“负