2022年浙江省杭州市杭第十五高中高一数学理期末试卷含解析

2022年浙江省杭州市杭第十五高中高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.符合下列条件的三角形有且只有一个的是A．

B．C．

D．参考答案：略2.（5分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A． “至少有一个红球”与“都是黑球” B． “至少有一个黑球”与“都是黑球” C． “至少有一个黑球”与“至少有1个红球” D． “恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”参考答案：D考点： 互斥事件与对立事件．专题： 概率与统计．分析： 列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答： 对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D点评： 本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题3.在数轴上表示－的点到原点的距离为

．参考答案：略4.直线，若，则a的值为（

）A.﹣3 B.2 C.﹣3或2 D.3或﹣2参考答案：C试题分析：由，解得a=-3或a=2，当a=-3时，直线：-3x+3y+1=0，直线：2x-2y+1=0，平行；当a=2时，直线：2x+3y+1=0，直线：2x+3y+1=0，重合所以两直线平行，a=-3考点：本题考查两直线的位置关系点评：解决本题的关键是掌握两直线平行或重合的充要条件为5.函数f（x）=loga（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（0，） D．（3，+∞）参考答案：D【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．【分析】由题意可得可得a＞1，且a﹣3＞0，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=loga（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，而函数t=ax﹣3在[1，3]上单调递增，根据复合函数的单调性可得a＞1，且a﹣3＞0，求得a＞3，故选：D．6.甲乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲乙下成和棋的概率为（）A．70% B．30% C．20% D．50%参考答案：D【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用对立事件概率计算公式求解．【解答】解：∵甲乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，∴甲乙下成和棋的概率为：p=80%﹣30%=50%．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．7.如图所示的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象．已知n分别取﹣1，l，，2四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为(

)A．2，1，，﹣1 B．2，﹣1，1， C．，1，2，﹣1 D．﹣1，1，2，参考答案：A【考点】幂函数的图像．【专题】应用题．【分析】在图象中，做出直线x=2，根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线C1，C2，C3，C4相应的n应是从大到小排列．【解答】解：在图象中，做出直线x=2，根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为2，1，，﹣1，故选A．【点评】本题考查幂函数的图形和性质的应用．8.函数在下列哪个区间内有零点

A．

B．

C．

D．

参考答案：B9.已知向量＝（3，4），＝（2，－1），如果向量与垂直，则实数k的值为（

）A．B．C．2D．参考答案：D10.一个容器装有细沙，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出，tmin后剩余的细沙量为，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（）min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.A．8

B．16

C.24

D．32参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若数列{an}满足a2﹣a1＜a3﹣a2＜a4﹣a3＜…＜an+1﹣an＜…，则称数列{an}为“差递增”数列．若数列{an}是“差递增”数列，且其通项an与其前n项和Sn满足3Sn=1+λ﹣2an（n∈N*），则λ的取值范围是．参考答案：（﹣1，+∞）【分析】根据数列递推公式得到数列{an}是以2为公比的等比数列，求出数列{an}的通项公式，再根据新定义，即可求出λ的范围．【解答】解：∵3Sn=1+λ﹣2an（n∈N*），n≥2时，3Sn﹣1=1+λ﹣2an﹣1，两式相减得5an=2an﹣1．故数列{an}是以为公比的等比数列，当n=1时，a1=，∴an=，可得an+1﹣an=，an﹣an﹣1=，由此可得（an+1﹣an）﹣（an﹣an﹣1）=，可得1+λ＞0?λ＞﹣1故答案为：（﹣1，+∞）12.（本小题满分12分）在中，已知是的方程的两个根．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且满足，求的值．参考答案：（Ⅰ）方程可整理得．…………1分由条件可知，．…………3分所以,…………6分所以．…………7分（Ⅱ）在中，，所以．…………8分因为，所以．…………9分由有，所以或，所以或，即的值为或．…………12分13.已知定义在R上的奇函数f(x)满足．若当时，，则直线与函数f(x)的图象在[－1,6]内的交点的横坐标之和为▲．参考答案：1214.若集合，，则_____________．参考答案：

解析：

，显然15.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)、B(1,0)两点，且函数最大值为，则f(x)＝________.参考答案：－x2－x＋216.函数的单调递增区间为___________．参考答案：画出函数的图象，结合图象可得函数的单调递增区间为。答案：

17.若的值域是______.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}前n项和为。（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列；求数列的前n项和Tn。参考答案：（1）（2）【分析】（1）利用与的关系，即可将的通项公式求出来.（2）先求出，从而求出，再利用裂项相消求和法求出数列的前项和.【详解】解：（1）当时，当时，此时也满足上式，（2）即【点睛】本题主要考查了数列通项、前项和的求解，属于中档题.对于含有与恒等式的数列通项求解问题，常常运用到与的关系进行求解，主要有两个化简方向，要么化成的递推公式进行求解，要么先化成的递推公式求出，然后再求出.一定要注意检验时是否符合.19.已知，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】幂函数的性质．【分析】根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）设函数，函数为R上的单调递增函数

…得，m2+m≤﹣m+3…即，m2+2m﹣3≤0…得，（m﹣1）（m+3）≤0所以，m的取值范围为：m∈[﹣3，1]…20.本小题共12分)已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ＝16，φ(1)＝8，求φ(x)．参考答案：解：设f(x)＝mx(m是非零常数)，g(x)＝(n是非零常数)，

∴φ(x)＝mx＋，由φ＝16，φ(1)＝8，

得，解得.故φ(x)＝3x＋.略21.已知集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x|2＜x＜10}，全集为实数集R．求A∪B，（?RA）∩B．参考答案：【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；分析法；集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出A补集与B的交集即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|0＜x＜3}∪{x|2＜x＜10}={x|0＜x＜10}，又?RA={x|x≤0或x≥3}，∴（?RA）∩B={x|3≤x＜10}．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．22.设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x∈[0，]（1）若||=||，求x的值；（2）设函数f（x）=?，求f（x）的值域．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数．【分析】（I）根据向量模的