2022年河南省郑州市苏州第四中学高三数学理月考试题含解析

2022年河南省郑州市苏州第四中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“”的

(

)A.充分必要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件参考答案：【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2

【答案解析】B

解析：∵，∴，但，α可以等于2π+；故是充分不必要条件，故选：B．【思路点拨】由可推出，但由推不出，问题得解．2.函数的零点个数为（

）A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：B略3.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17π

（B）18π

（C）20π

（D）28π

参考答案：A试题分析：由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为R，则，解得R=2，所以它的表面积是，故选A．4.公比为2的等比数列{}的各项都是正数，且=16，则=（

）A.1

B.2

C.4

D.8参考答案：A5.已知是函数的一个零点，若，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：D6.已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示数列{an}的前n项的和，若a1=3，a2a4=144，则S5的值为

A．

B．69

C．93

D．189参考答案：C7.若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数为

（

）A．3

B．4

C．6 D．8参考答案：C8.已知集合，，，则中元素个数是A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.已知变量满足约束条件若目标函数仅在点处取得最小值,则实数的取值范围为(

)A.

B.

C.

D. 参考答案：D略10.设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f′（x）+xf（x）=lnx，f（e）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）在（0，+∞）单调递增 B．f（x）在（0，+∞）单调递减C．f（x）在（0，+∞）上有极大值 D．f（x）在（0，+∞）上有极小值参考答案：B考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：第一步：在x2f′（x）+xf（x）=lnx两边同时除以x，使得左边为[xf（x）]'；第二步：令g（x）=xf（x），用g（x）表示f（x），并写出f'（x）；第三步：对f'（x）的分子再求导，从而求出分子的最大值；第四步：判断f'（x）的符号，即可判断f（x）的单调性．解答：解：由x2f′（x）+xf（x）=lnx，得xf′（x）+f（x）=，从而[xf（x）]'=，令g（x）=xf（x），则f（x）=，∴=，令h（x）=lnx﹣g（x），则h'（x）=（x＞0），令h'（x）＞0，即1﹣lnx＞0，得0＜x＜e时，h（x）为增函数；令h'（x）＜0，即1﹣lnx＜0，得x＞e时，h（x）为减函数；由f（e）=，得g（e）=ef（e）=1．∴h（x）在（0，+∞）上有极大值h（e）=lne﹣g（e）=1﹣1=0，也是最大值，∴h（x）≤0，即f'（x）≤0，当且仅当x=e时，f'（x）=0，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．故选：B．点评：本题考查了函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，难度较大．“在x2f′（x）+xf（x）=lnx两边同时除以x”是解题的突破口，“求h（x）的极大值”是关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若公比为2的等比数列{an}满足a7=127a，则{an}的前7项和为

．参考答案：1【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，求出首项，再由等比数列的前n项和公式能求出数列的前7项和．【解答】解：∵公比为2的等比数列{an}满足a7=127a，∴，解得，∴{an}的前7项和为S7=?=1．故答案为：1．12.4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A，B两人恰好在同一辆车”的概率为_______．参考答案：13.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有________种.参考答案：5114.已知展开式中第4项为常数项，则展开式的各项的系数和为

参考答案：答案：15.设为实常数,是定义在上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为________.参考答案：16.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为 .参考答案：17.一个几何体的三视图如图所示，侧视图是一个等边三角形，俯视图是半圆和正方形，则这个几何体的体积为

.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分12分）设函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（II）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．参考答案：（1）函数的定义域为，………………1分∵，

………2分∵，则使的的取值范围为，故函数的单调递增区间为．

……………4分（2）方法1：∵，∴．

…………6分令， ∵，且，由．∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，

……8分故在区间内恰有两个相异实根

……10分即解得：．综上所述，的取值范围是．

………………12分

方法2：∵，∴．

…………6分即，令，∵，且，由．∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．……8分∵，，，又，故在区间内恰有两个相异实根．

……10分即．综上所述，的取值范围是．

……………12分

略19.21．（本小题满分12分）（I）证明：当（II）若不等式取值范围.参考答案：[解题思路]（Ⅰ）（1）不等式中间式子分别减左，减右的式子记为，，（2）求导研究单调性（3）根据单调性分析在区间上的那个自变量能得到为零的最值。然后与这个最值比较即可证出不等式。（Ⅱ）解法一，利用上面证明的不等式代入化简，在进行分析;解法二：利用二阶导数研究单调性，进而求出范围。

20.

中，为边上的一点，，，，求边的长．参考答案：解：由

由已知得，

从而

..………………6分

由正弦定理得

,

所以.………………12分略21.（文）（本题满分14分）现有编号分别为1，2，3的三个不同的基本题和一道附加题，甲同学从这三个基本题中一次随机抽取两道题，每题做对做错及每题被抽到的概率是相等的。（1）用符号（）表示事件“抽到的两题基本题的编号分别为、，且”共有多少个基本事件？请列举出来：（2）求甲同学所抽取的两道基本题的编号之和小于4的概率。（3）甲同学在做完两道基本题之后，又做一道附加题，做对基本题每题加5分，做对附加题加10分，做错都得0分，求甲同学得分不低于15分的概率。参考答案：（1）（1，2）、（1，3）、（2，3）;（2）

（3）22.（本小题满分12分）已知在数列{an}中，，，.（1）证明数列{an}是等差数列，并求an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，证明：.参考答案：（1）方法一：由，得，

（2分）两式相减，得，即，

（3分）所以数列是等差数列.

（4分）由，得，所以，

（5分）故.

（6分）方法二：将两边同除以，得，（2分）即.