山西省忻州市原平东社中学高三数学理下学期摸底试题含解析

山西省忻州市原平东社中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若（A）12

（B）18

（C）24

（D）42参考答案：答案：C解析：S2，S4-S2，S6-S4成等差数列，即2，8，S6-10成等差数列，S6=24，选C2.已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C3.已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比为（

）A．1:

B．1:2

C．2:

D．4:3参考答案：A4.某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n﹣m的值（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】茎叶图．【分析】利用茎叶图、平均数、中位数的性质，列出方程组，求出m，n，由此能求出结果．【解答】解：由题意得：，解得m=3，n=9，∴n﹣m=9﹣3=6．故选：B．5.设变量满足约束条件的取值范围为参考答案：B6.已知命题：“”是“”的充要条件；：，，则A．￢∨为真命题 B．∧￢为假命题 C．∧为真命题 D．∨为真命题参考答案：D7.设全集,，则

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.10参考答案：A【分析】根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为2的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可.【详解】几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为,故选A.【点睛】本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.9.若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（

）A.0 B. C. D.参考答案：D因为，所以，所以，即向量夹角为，选D.10.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1参考答案：A【考点】双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列正确命题的序号是__________。(1)若m∥,n∥,则m∥n；

(2)若则；(3)若，且，则；(4)若，，则。参考答案：(3)、(4)；12.实数x、y满足，则z=x2+y2+2x﹣2y的最小值为．参考答案：0考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，则z=x2+y2+2x﹣2y=z=（x+1）2+（y﹣1）2﹣2，设m=（x+1）2+（y﹣1）2，则m的几何意义为区域内的点倒是定点D（﹣1，1）的距离的平方，由图象知D到直线y=x的距离最小，此时d=，则m=d2=2，故z的最小值为z=2﹣2=0，故答案为：0．点评：本题主要考查线性规划的应用以及点到直线的距离的求解，利用数形结合是解决本题的关键．13.设向量满足，，且与的方向相反，则的坐标为

．参考答案：14.飞机的航线和山顶C在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度保持在海拔（km），飞行员先在点A处看到山顶的俯角为，继续飞行（km）后在点B处看到山顶的俯角为,试用、、、表示山顶的海拔高度为

（km）．参考答案：（或）15.数列的通项，其前项和为，则为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略16.已知数列满足下面说法正确的是①当时，数列为递减数列；②当时，数列不一定有最大项；

③当时，数列为递减数列；④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.A.①②

B.②④

C.③④

D.②③参考答案：C17.曲线y=x2与所围成的图形的面积是．参考答案：【考点】定积分在求面积中的应用；定积分．【分析】联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2与所围成的图形的面积．【解答】解：联立的：因为x≥0，所以解得x=0或x=1所以曲线y=x2与所围成的图形的面积S=∫01（﹣x2）dx=﹣x3|01=故答案为【点评】让学生理解定积分在求面积中的应用，会求一个函数的定积分．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）如图,已知与圆相切于点,直径,连接交于点．（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）求证:.参考答案：（I）解法一：19.已知，是的导函数．（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ），，，当时，恒成立，无极值；当时，，即，由，得；由，得，所以当时，有极小值.（Ⅱ）令，则，注意到，令，则，且，得；，得，∴，即恒成立，故，当时，，，于是当时，，即成立.当时，由（）可得（）.，故当时，，于是当时，，不成立.综上，的取值范围为．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）设函数

（1）求函数和的解析式；（2）是否存在非负实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）定义，且

①当时，求的解析式；已知下面正确的命题：当时，都有恒成立.②对于给定的正整数，若方程恰有个不同的实数根，确定的取值范围；

若将这些根从小到大排列组成数列，求数列所有项的和.参考答案：解：（1）函数函数

……4分（2），……6分当时，则有恒成立.当时，当且仅当时有恒成立.综上可知当或时，恒成立；………8分（3）①当时，对于任意的正整数，都有故有…13分②由①可知当时，有，根据命题的结论可得，当时，有，故有.因此同理归纳得到，当时，……15分对于给定的正整数，时，解方程得，，要使方程在上恰有个不同的实数根，对于任意，必须恒成立，解得,若将这些根从小到大排列组成数列，由此可得

.……17分故数列所有项的和为：.……18分

略21.（本小题满分12分）如图9-13，P是抛物线C：y=x2上—点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．(I)若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围．参考答案：(1)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)、M(x0，y0)，依题意x1≠0，yl>0，y2>0．由y=x2，①得y'=x.∴过点P的切线的斜率k切=x1,∵x1=0不合题意，∴x1≠0．∴直线l的斜率k1=,直线l的方程为y-x21=(x-x1)．②方法一：联立①②消去y，得x2+-x21-2=0．由消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0．③则方法一：∵y1、y2可取一切不相等的正数，∴的取值范围是(2，+∞)．方法二：∴当b>0时，=|b|+2>2；当b<0时,=-b又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0．于是k2+2b>0，即k2>-2b．所以∵当b>0时，可取一切正数，的取值范围是(2+∞)．方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=kTP,即则x1y2-bx1=x2y1-bx2，即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2)．于是b=可取一切不等于l的正数，的取值范围是(2，+∞)．22.（本小题满分12分）已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值。参考答案：（1