数学教学的设计与实施

数学教学的设计与实施江苏省泰州市教研室石志群问题的提出：十多年前的听课经历：课题：对数函数教学过程：复习提问：什么叫做反函数？什么样的函数具有反函数？什么叫做指数函数？指数函数是否具有上述性质？分析数学思维活动的能力是数学教学能力的核心分析数学思维过程的能力是数学教学能力的核心。数学教师在数学教学中的活动无一不是围绕着分析数学思维过程展开的。其它与数学教学有关的能力要么是它的具体表现，要么是由它派生而来的。只要教师具有对数学思维过程进行分析的能力，就具有了胜任数学教学任务的基本条件。定位

路径初始问题解决问题（问题串）一、教学设计过程教学设计的过程概略性解决功能性解决功能性解决具体解决定位对教学的总体认识（概略性解决）教学内容（知识）的理解对教学（习）过程的理解对教学价值的判断对教学制约条件的把握核心是对数学的理解用一句话来概括微观分析是什么？从哪里来？（逻辑的、历史的、文化的、教材的）到哪里去？宏观分析总体结构、核心思想、主題.案例：任意角三角函数概念——定义;是一类函数(角确定——比值确定,本质）过程：是刻画周期性变化的数学模型;符号：计算工具;教科书整体编排的意图.几种定位：1.三角函数是计算工具；2.任意角三角函数是锐角三角函数的推广；3.三角函数是刻画周期性变化的数学模型.基本思路：规定、推广与构建定义运用规定周期性现象任意角三角函数（数学模型）建构锐角三角函数任意角三角函数推广两个初始问题1.怎样把锐角三角函数推广为任意角三角函数？2.怎样构建周期性变化的数学模型？思考起点：锐角三角函数——圆周运动；思考方向：不明确——明确联系：语意性的——实质性的类型：结构性——应用性学习方式：接受性学习（概念同化）——发现性学习（概念生成）生成性：不好——良好历史性：天文观测与计算--→球面三角学（三角术即锐角三角函数）（古希腊亚历山时期）（静态）周期性现象的研究---→三角函数（18世纪、欧拉）（运动）路径课的总体构想、框架、过程模式教学模式概念:普通语言——数学语言如：函数的增减性、奇偶性、向量的概念、向量的加法（和）、三角函数、导数、数列、概率、独立事件、线面垂直等等命题：正弦定理、余弦定理、等比数列的求和公式，点到直线的距离公式；两角差的余弦公式；方法：加法原理、乘法原理，数学归纳法。数学模型建构的模式《向量的加法》的定位定义、法则；活动（思维）：建构数学运算模型的活动；历史（文化）：物理模型的数学化。过程：数学化的过程思想：①形数结合思想②运算的思想③结构化思想④模式化思想基本构想，即按照建立数学模型的一般过程组织教学。二、以问题为中心的教学设计数学教学是数学活动的教学，从本质上说，数学活动是一种思维活动，而数学思维活动又集中的表现为提出问题和解决问题的过程。因而问题成为数学教学活动的载体，于是，从某种意义上说，数学教学设计就是问题的设计。教学设计的实质就是问题设计教学过程设计的中心任务就是要设计出一个（一组）问题，把教学过程组织成为提出问题和解决问题的过程，把教师和学生的教学活动整合到提出问题解决问题的过程中去——教师通过提出问题来激发、调控学生的思维活动，来揭示知识发生的过程，让学生在解决问题的过程中，“做数学”，学数学，体验数学，增长知识，形成能力，获得发展，完成数学教育的任务。教学设计的核心程序（1）设计一个（或一组）问题，特别是初始问题；（2）准备几套适合学生发展阶段的解决问题的（概略性解决）方案；（3）准备好给学生进一步练习和思考的问题。教学过程知识生成的逻辑链学生的思维链教学活动链知识的逻辑结构学生的思维活动问题串教学过程初始问题初始性（源头、动力）生成性（活动的载体）结构性（联系、整体）合理性（逻辑、理性）初始问题是作为教学起点的问题，它是导致数学概念、定理、法则、方法得以产生的问题。初始问题是有意识的数学活动的起点，是思维的源头。应用性初始问题

——产生于实际问题中的初始问题；结构性初始问题

——从原有的知识结构出发，通过逻辑的或审美的思考，提出的问题。应用性初始问题具有较好的情境性，而结构性初始问题有更强的结构性，更便于意义建构的展开。在实际的教学中，可以同时从应用与拓广知识结构等方面提出相同的研究课题。在备课时，可以从知识的应用中（如：书中的习题或例题）设计应用性初始问题；也可以从新旧知识的联系中，针对知识的增长点，设置结构性初始问题。对数学教学来说，后者更重要！问题串是由一连串具有逻辑联系的问题构成的问题系列。问题串可以看成是数学思维过程的“路标”，是浓缩了的数学思维过程。在教学设计中，教师可以通过问题串设计、规划教学的进程，在课堂教学中，则可以灵活地用问题串对学生的思维活动进行调控。因此问题串的设计就成为教学设计的关键。问题串对问题串的要求逻辑性；（问题自然、合理、逻辑联系清晰，是学生能夠接受的或自己能够提出的问题）层次性：一般性解决---功能性解决---具体解决启发性：揭示本质，针对要害包容性：照顾到不同层次的学生案例向量的加法问题1：游船先从景点O到景点A，然后再从景点A到景点B，这里的位移OA、AB、OB之间有什么关系呢？（具体问题）问题2：两根拉索对塔柱的拉力分别为F1、F2，它们的合力是F，那么F1、F2和F之间有什么关系呢？（具体问题）先行组织者：上节课中，我们曾以有向线段、位移、力等几何、物理对象为原型，抽象出向量这个数学模型。研究一个数学对象，就要研究它的运算（提出中心问题）——你能以位移合成、力的合成等物理运算为原型抽象出新的数学运算吗？（课题性问题）问题1…（导向性问题）问题2…（导向性问题）——“+”是什么意思？（反思性问题）——“和”是什么意思？（反思性问题）——“合位移”是什么意思（反思性问题）——OB的长度等于OA与AB长度的和吗？这说明了什么？问题3：上述两个问题（包括解决问题的过程）有何共同点？（导向性问题）问题4：你们是怎样求和（即合位移与合力）的？两种方法有何关系？（导向性问题）问题5：对于给定的两个向量，如何确定它们的和呢？（导向性问题）问题6：你们能概括出向量和的定义吗？数学模型的研究给出先行组织者：研究一种运算总要研究它的性质，因为只有掌握了运算性质，才能合理、简捷地进行运算．问题7向量的加法具有哪些运算性质？为了解决这个问题，我们可以把向量的加法和数的加法进行类比：数的加法具有哪些性质？向量加法具有相应性质吗？若有，具体形式是什么？从而提供了研究框架：实数的加法向量的加法性貭先行组织者（大背景）课题性问题（总问题）导向性问题……具体问题（操作性问题）或者通过反思性问题上溯

一般性解决（课题性问题）

功能性解决（导向性问题）特殊性解决（操作性问题）解决问题的过程分析三、章、节教学的整体设计

教学设计基于教学分析，课时教学如此，章节教学更是如此。

分析的重要性：是教学组织与实施的基础，教学行为的决定因素，直接影响教学效果。案例

集合

教学分析：

历史分析：

集合的数学理论是在19世纪，由格奥尔格·康托（GeorgCantor）建立的。他试图解决一个关于无限量的数学难题（一类三角级数的收敛性）时遇到“整数究竟有多少？”、“在一个圆周上包含有多少个点？”、“1小时里有多少刹那的时光度过？”、“在1到2之间的数比一根线上的点还多吗？”等问题，他解决了上述问题，他的工作标记着“集合”这个概念在数学中诞生了。中学数学中研究的集合是什么？斯托利亚尔在《数学教育学》中这样表述：“集合论概念”这个术语在这里指的是初等（朴素）集合论的最简单的概念，它是在“类的逻辑”的名称下首先发展起来的，不涉及集合论发展的所谓“康托尔”路线。内容分析（数学本质）事实上，将“类”作为集合概念的重要特征的不止斯托利亚尔，著名数学家R·柯朗在其名著《数学是什么》中直截了当地指出：“由对象组成的类或集的概念是数学中最基本的概念之一”。综上，集合概念的教学应该定位于“怎样将各种‘类’的对象进行数学表示或刻画”。初等集合论至少有以下四个方面的重要价值：首先，从上文已经清楚地看到，集合是关于“类”的概念，因此，中学数学中教集合就应该让学生认识到用集合来进行分类的功能，通过集合对常见的集合进行简捷的、明确的表示。为此，就必须弄清楚如何表示（刻画）集合、如何运用已有的集合表示复杂的、生成的集合。其次，集合符号是一种语言，借用这种语言可以表示对象、表示不同对象之间的关系、表示生成对象的过程等，比如，用集合的观点认识曲线，把曲线看成点的集合，再将点与实数对建立对应关系，从而可以借助方程刻画曲线。所以，集合教学应该让学生学会运用集合的知识进行“数学的表述”和“数学地建构”。第三，集合又是一种思想方法，运用集合的观点可以广泛地认识数学各个分支中研究的问题，如交集的思想与曲线交点和方程组解的关系。当然，这需要在后续的学习中逐步渗透。第四，集合代数与逻辑演绎关系密切，比如蕴涵关系就可以用子集语言加以表示（事实上，集合运算符与数理逻辑中的对应的逻辑关系符有着很多的相似之处），因此，集合之于逻辑（比如高中数学中的“充要条件”等）也可以相互影响，甚至可以在集合观点下，将容斥原理、逻辑、概率中事件的关系等进行统一的认识。H.Я.维林金在《中小学数学的现代基础》一书中所说：“…集合论使我们有可能看出中小学数学中一些问题的共同性，这些问题初看起来彼此离得很远。例如，从集合论的观点看，函数、几何变换、长度、面积和体积的测量等等，都是集合的映射这一个概念的不同方面，…”这正说明了集合概念的基础性和工具性。正由于此，集合教学应该突出的就是其作为分类的工具作用和作为语言的符号功能，并在数学学习的过程中不断深化对上述功能的认识。当然，作为学习过程的“副产品“，将“集合”一章作为高中数学（甚至整个数学）学习过程中进行数学研究、数学理论建构的范例进行整体认识，可能也是本章的重要教学价值之一。从集合教学价值看集合的概念的教学，有些可以在本章的后续课上达成，有些则需要长期的渗透，有些则可在本节课中实现。如分类及其刻画、集合语言的认识、集合思想的渗透等。认知分析

尽管小学、初中阶段学生已经接触甚至运用了“集合”这个概念，并且有了整数集、有理数集、实数集的名词，要实现对集合内涵的认识仍然不是件容易的事情。比如：是不是任意的对象放在一起都可以构成集合？因为通常接触的都是数学中的集合，而且确实都是具有某种共同特征的对象构成的集合，这对集合中元素的任意性的认识产生了认知上的阻碍。既然集合是“群”、“所有”、“全体”，那么，单元素集，特别是空集就与其直观意义及生活中的意义产生了冲突（有研究表明，年龄较小的学生大多不承认它们是集合）。有些教师对空集都有误解，据弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中介绍：一位十岁的女孩请父亲辅导作业，父亲告诉女孩：所有空集都是一样的。作业被老师批改后，这个父亲发现他的看法被老师判为错的。小女孩向父亲解释说，基数相同的两个集合作为集合来说并不一定相同：两个空集的基数都是0，它们也不一定相同，例如，一只空冰箱与一只空纸篓就不相同。父亲弄不懂，去问一位数学家，数学家就去问了这位老师，这位老师解释说：“…，如果我们讨论的是人的集合，空集就是‘无人的集合’；如果我们讨论的是点，空集就是‘无点的集合’。空集是什么，要依赖于全集的内容。…”。再比如，当列举法表示的集合中有字母时，学生很可能引起混淆：｛a,b,c｝表示的集合中的a是字母a还是一个数？它与｛1,a,2｝有何区别？

上述事实说明，现实的感性经验、心理的潜在假设都可能成为对集合概念理解的障碍，值得重视。在集合概念的教学中要循序渐进，不要追求一次到位，更不能将高一学生当高三教，一下子就将与集合有关的问题都抛给学生。教学经验的反思性分析：

因为集合概念的基础性（元概念），有些教材就直接加以说明（描述性），有些教材直接说“小学和初中已经接触过一些集合，如自然数的集合、有理数的集合……”，再让学生考察一些对象，让学生分析“这些对象也能组成集合吗？”。笔者认为，前者太过数学化，也显得突然（怎么突然想起干这个事的呢？），没有发现问题、提出问题的过程，后者则存在逻辑上的逆反：还没有集合的概念（定义），学生怎样来判定这些对象是否可以构成集合呢？标准何在？特别是一些教师不明所以，上来就是这几个例子，让学生指出它们分别包括哪些对象，并强调“确定性”、“互异性”，搞得学生莫明其妙、如坠雾里。另一种教学设计是通过应用问题引入，如原来的人教版教材，用一个实际问题说明：学过本章内容后就可以解决这个问题了。这样的情境只能起到引起学生的兴趣的作用，不能激发学生的问题意识，也难以引起对集合概念本质的感知，更不能促使学生由此背景出发进行主动的建构。教学的难点与偏差现行教材对空集的处理课堂上空集表示的书写：｛｝教师的处理：

法一：｛x|x2+1=0,x∈R}

法二：规定。教师对集合特性的过度强调，且是无任何理由或思维基础的。

确定性、任意性、互异性、无序性

某教师：请注意，集合中的元素是无序的。

这话对吗？

如何说明书写无序要求

｛北京，上海，天津，重庆｝课程标准分析

“集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言。使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。（内容、课时）集合的教学定位1、理解概念：用以分类。2、集合的表示（一般集合的表示，自然的想法：罗列出来-列举法；太多，无法列举？描述！）。3、子集的概念。4、集合的运算。学程设计：

第1课时：集合的概念

第2课时：集合的表示

第3课时：集合的运算（并集与交集）（空集在此讲）

第4课时：子集、全集、补集。案例复数

教学分析：……

认知分析：实数乘法运算法则的定势

历史分析：数学家们的困惑与拒绝；卡当、邦贝利。第一个理直气壮地承认虚数的是意大利数学家邦别利。1572年他在解三次方程x3=7x+6时出现了，他认为，为了使方程存在的这种根得到统一，必须承认是实实在在的数，让它加入数的运算家族，不能排斥。

邦别利在解方程x3=15x+4时，运用三次方程求根公式求得方程的三个根为x1=-2+x2=-2-保罗J纳欣在其著作《虚数的故事》一书中这样写道：当把虚数第一次讲给高中生们听时，通常是让他们读到诸如下面的文字：“从根本上说，是实系数方程x2+1=0导致人们发明了i（还有-i），…”…，但正如现在你已经知道的，这同时也是不符合事实的。当早期的数学家们遇上x2+1=0以及诸如此类的二次方程时，他们只是闭上眼睛，称它们是‘不可能的’便了事。他们肯定没有为这类方程发明过一种解。关于

的突破性进展不是来自二次方程，而是来自一种三次方程，……课程标准要求：

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观要求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。四、课时设计——在章节整体设计思维下进行课时设计《诱导公式》教学设计1（原稿）问题1：求390°的正弦、余弦值。你是怎样求出来的？（公式一）问题2；如何求sin150°的值？问题2-1：你能把把上述结论一般化吗？为什么？（公式二）问题3：若两个角的终边关于原点对称，它们三角函数之间有什么关系？（公式三）问题4：若两个角的终边关于Y轴对称，它们三角函数之间有什么关系？（公式四）问题4：你能否用简捷的语言概括这几组公式吗？例题1：求下列三角函数的值（略）问题5：由例题1，你对这几组公式的作用有什么认识？问题6：你能归纳一下把任意角三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？问题7：学完这节课，诱导公式知多少？有什么值得改进之处？《诱导公式》教学设计1（定稿）问题1：如何求390°角的正弦、余弦值？问题2：和30°角终边相同的角的同名三函数值都相等吗?问题3：两个角终边相同，它们的同名三函数值一定相等吗？问题4：你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？《诱导公式》教学设计1问题5：两个角的同名三角函数值相等，它们的终边一定相同吗?问题6：两个角的终边关于x轴对称，你什么结论?两个角的终边关于原点对称呢?关注问题串的逻辑联系！知识再发现过程和理性思维过程的统一明线：探索公式1-4的知识线暗线：研究问题的思想方法线设计2

先行组织者：

我们已经学习了任意角的三角函数的概念。三角函数是以圆周运动为原型，为了刻画周期性运动而建立的数学模型。那么，周期性是怎样体现在三角函数的概念之中的？

提出问题1：已知任意角，观察角的终边绕着原点旋转的过程，在这一过程中，有哪些东西会周而复始的重复出现？

如果需要，再提出启发性问题：角的终边的位置会“周而复始”吗？三角函数值会“周而复始”吗？（说明：该校学生数学基础比较差，是一所普通学校）由此探索出公式一，再提出问题：角与+2k（k∈Z）的同名三角函数值为什么相等呢？学生自然地想到用三角函数的定义进行证明。

最后进行解决问题的思维线路的小结：角之间的数量关系与+2k(k∈Z（数量关系）终边位置重合（形的关系）终边上点和坐标P(x,y)和P′(x,y)（数量关系）三角函数值间的关系（公式一）（数量关系）接下去的几个主要问题是：

问题2：转整圈，同名三角函数值周而复始，那么转半圈呢？……（学生研究后发现，正切值周而复始，正弦与余弦值都发生了变化，并发现了变化规律）

问题3：转半圈的实质是关于原点对称，那么是否存在具有其它的对称关系时有三角函数值周而复始的性质呢？……五、数学教学的实施1.给学生留空间案例两个平面平行的性质定理

先行组织者：几何研究的基本范式……给学生足够时间：两个平面平行，有哪些性质？

选择哪个（些）作为性质定理？课堂上学生提出了教师“意外”的观点，怎么办？

案例

线面平行的性质定理的证明教材中：反证法学生：直接证很简单，只要证明过平面α内任意一点都可作直线l的平行线，就说明直线l与平面α没有公共点……2.问题“踢”给学生3.循序渐进，逐步认知

“教师，请慢点、再慢点！”

n次方根的概念

师：x2=a，则x=?

x3=a，则x=?

类比：xn

=a，则x=?（1）增加x4

、x5

如何？（2）先对a为具体值进行讨论，如何？（3）先对可以求得的x进行研究，下定义；（4）再对不能表示的x，如x5=3进行研究，再引入记号，如何？教学实施必须以学生已有知识与经验为起点奥苏贝尔：假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要的因素是学生知道了什么，要探明这一点，并应就此进行教学。”4.基于学生，进行启发

基于学生的思维：从学生思维的开始

案例

已知a,b是不垂直的异面直线，α是一个平面，则a,b在α内的射影可能是

A两条平行直线

B两互相垂直的直线

C同一条直线

D一条直线及其外一点

板演的学生画了个图：学生画的图教师擦去学生的图后画的图教师的图与学生的图的关系？基于学生的认知基础案例：映射abc123abc123abc123abc123abc123abc123情境1：剧场门票座位号与座位，对号入座。问：为什么一张门票只能有一个座位与之对应？为什么所有卖出的门票中的每一张都必须有座位与之对应？从集合的角度看，这是哪两个集合之间的对应关系？情境2：数轴上的点与实数之间存在着对应关系。问：为什么每一个点只能对应一个实数？是否存在某个点没有实数与之对应？情境3：某种产品规定，当其有效成份x的含量不低于95%时为一级品；当有效成份x的含量低于95%但不低于90%时为二级品；当有效成份x的含量低于90%但不低于85%时为三级品；当有效成份x的含量低于85%时为不合格品。问：对于某批这种产品中的任一件确定的该种产品，能否没有等级？其等级能否唯一确定？问题：1.剧场中座位的集合与某场演出的售出的票的集合之间的对应关系是否是函数关系？2.数轴上点的集合与实数集合之间的对应关系是否是函数关系？3.等级y是否是有效成份x的函数？现行教材：先讲函数，后讲映射，对映射要求“了解”，如何实施？教师要站在学生的角度思考：问题是怎样想到的？案例：三角函数的图像变换平移变换：同化

认知不平衡——认知结构中搜索——对数、指数函数部分内容——认知平衡振幅变换：同化；

认知不平衡——认知结构中搜索——函数图象的概念——认知平衡周期变换：顺应

认知不平衡——认知结构中搜索——没有相应知识与策略——探索（图象、推理）——图式更新（顺应）——建构新认知结构注意：避免误用。案例直线的斜率：从一次函数的图象开始。

数学的内在逻辑关系。5.先进行“正”强化案例对数运算的性质辨析题：下列等式是否成立：

（1）loga(MN)=logaMlogaN（其中a>0,a1,M>0,N>0）；

（2）loga(M+N)=logaM+logaN（其中a>0,a1,M>0,N>0）；

（3）logaM2=2logaM；……6.不要在“枝节”上花大功夫案例一次省级教研活动，听了一节“对数函数（第一课时）”的课。授课教师在引入了对数函数的概念后即给出下面的辨析题：下列函数是否是对数函数：

……

y=2log2x；……学生甲：不是的。因为对数函数的形式是y=logax(a>0,a1,x>0)，对数符号前面的系数为1，而函数y=2log2x对数符号前面的系数为2。学生乙：是的。因为2log2x=，所以函数y=2log2x与函数y=是同一个函数（它们的图象相同），而y=是对数函数，所以函数y=2log2x是对数函数。7.历史是最好的启发式案例分数指数幂牛顿由xm·xn=xm+n触发了对分数指数幂的思考：因为，故可用

来表示(x0)；同样，由xm÷xn=xm-n可创造出负指数幂和零指数幂的概念。这就是牛顿创造分数指数幂和负指数幂的思维触发点，因而也可以成为数学教学中思维展开的起始点（生长点）。教材用的是归纳法，在“怎么想到的”和理性依据方面都不如牛顿的思路好。8.从上位进行启发引导

案例已知函数f(x)是奇函数，而且在（0，+∞）上是增函数，试判断f(x)在（-∞，0）上的单调性并证明你的结论。教师：我们先来分析题意，探索结论。为了考察函数在（-∞，0）上的单调性，我们需要对满足-∞<x1<x2<0的f(x1),f(x2)比较大小，但题目条件中没有（-∞，0）上的性质，只能在（0，+∞）上进行讨论。怎么办？学生：转化到（0，+∞）上；（等片刻）另生：从（0，+∞）化到（-∞，0）上。教师：非常好。怎么化呢？学生：等一下，我正在化呢。（让学生板演：因为f(x)在（0，+∞）上是增函数，所以对任意的0<x1<x2<+∞,都有f(x1)<f(x2),……）

这是学生的典型错误，且反复纠正都效果不大。教师：你的过程能否作为对结论的证明？学生：可以。这就是我的证明过程。教师：大家有什么看法？（学生都认可）教师：请大家再看一下函数单调性的定义。（较长时间）有学生：证明（-∞，0）上的单调性，要对（-∞，0）上任意的x1,x2…….教师：他们的观点正确吗？……教师：请给出正确的证明。……教师：请大家再想想，能不能不用代数推导的方法直接看出单调性？（学生思考）学生：从函数y=x，y=x3的性质可以猜；另生：画个草图也行。教师：很好。下面怎么办呢？学生：用定义证明。……教师：这样做比代数推导有何优点？学生：证明时的推导更有目标了！教师：对！对于这类探索性问题，我们可以通过从特例或其它方法的研究中先探索结论，再加以证明。……两次上位的引导；一次向上位提升。9.教学实施要体现学科基本结构数学确定的基本范式：函数、三角函数、数列、不等式等几何研究的基本范式：概念——判定——性质案例：直线与平面垂直解析几何研究的基本范式曲线的定义——曲线方程——曲线性质（上面所提的从一次函数图象到直线斜率的案例）依据数学的内在体系、关系进行组织学科的基本结构。前面的“从一次函数到直线的斜率”又一严重问题就是违背了“解析几何”的学科结构！

案例

平面的基本性质知识体系：是否等同于一般的“性质”型内容，如平行四边形的性质？本质上，是对“平面”这个概念的界定（依据）。原始概念，无法准确定义。对学生：描述性定义。数学中：通过“关系”进行界定（线与面、面与面、点与面的关系），则这些关系体现“平”与“无限”。

如何建构立体几何的知识体系：教科书：描述性定义，再性质……（为了学生的理解）数学书（纯数学）：我们把一个对象叫做“平面”，它具有以下特性：点面公理化线面面面因此，教学组织时两句话不能少：

①研究平面的基本性质就是研究点、线、面之间的关系；②更有文化一些：要定义，又难做到：公理化。10.基于教材的整体结构进行组织

案例

同角三角函数关系教师在引导学生复习了任意角的三角函数的相关概念后提出问题：计算下列各式的值，你发现了什么？（1）sin290o+cos290o，sin230o+cos230o；（2），tan30o；（3），tan45o。再让学生“发现”sin2+cos2=1，并用定义加以证明.

11.教学实施要重视合理处置学生的“生成”一是保护学生积极性，合理的更要肯定

案例：乘法对加法的分配律

二是要“逼”出学生的思维过程，绝对不能置之不理。

案例：直线与平面垂直例1：证明：两平行线中的一条垂直与一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。学生证明：设m是平面α内任意的一条直线，……

教师充分肯定。怎么想到设m是平面内的任意一条直线的？——逼出思维过程（隐藏在学生的潜意识中）。案例直线的斜率师：如何刻画倾斜程度？生：坡度。

……

师：在直角坐标系内，如何刻画直线的倾斜程度？｜y2-y1|

生：

|x2-x1|

怎么办？要善于“追问”学生思维过程，特别是学生直接答出结论（有时是看书获得，有时是直觉的结果).“意料之外”的处置策略：

……

学生集体无语？对学生的回答一时难以断定？

案例

已知函数f(x)的定义域为（0，1），求f(x-1)的定义域。一种：集体无语（比较差的班级）一种：（-1,0）怎么办？

案例

判别函数f(x)=（x-1）的奇偶性。教学过程教师：在判定函数奇偶性时首先必须考虑什么问题？学生：函数的定义域。教师：请大家研究一下这个函数的奇偶性。学生们都研究起函数的定义域，发现其为[-1,1)，不满足“奇、偶函数的定义域关于原点对称”的要求，于是都得到了正确答案。12.让学生出错，这是非常重要的资源13.数学教学最重要的是“促使学生反思”张乃达老师：今天，如果有人来问我，数学教育中最重要的是什么？我会毫不犹豫地回答：是促使学生反思！比如，上节中问题：错了，要反思！其实，受阻了，要反思；对了，也要反思！案例

线面垂直的教学

1．提出问题

问题1

现在要在操场上竖起一根旗杆，一般的，对旗杆的位置有什么样的要求？

图中的l符合要求吗？

学生可能回答，旗杆l应该于地面垂直。

教师追问：这里的垂直是什么意思呢？什么叫做直线和平面垂直？

让学生从直观上来回答问题。如果学生提出课本中经典著作面垂直的定义，教师应追问：为什么要这样定义？总之，要让学生从生活经验中，找到线面垂直的外部特征。如果学