数学人教九年级上册（2014年新编）24-2-2 直线与圆的位置关系（第三课时）（导学案）

24.2.2直线与圆的位置关系（第三课时）学习目标：1.理解切线长概念。2.掌握切线长定理，并能初步运用。3.掌握用尺规作三角形内切圆的方法。4.三角形内切圆的相关计算。学习重点：理解并掌握切线长定理。学习难点：1.应用切线长定理解决实际问题。2.三角形内切圆的相关计算。学习过程1）知识点回顾切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。2）课堂探究一、切线长概念【探索与思考】在同一个平面内，有一点P和⊙O，过点P能否作⊙O的切线？如果能，可以作几条切线并说明做法？如果不能，说明理由.情况一点在圆内作法：过点P的直线都与圆相交，所以不存在过P点的直线与⊙O相切.情况二点在圆上作法：①连接OP；②过P点作已知线段OP的垂线l，直线l即为⊙O的切线.作图依据：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.情况三点在圆外作法：连接OP①作线段OP的中点M；②作以M为圆心，OM长为半径的⊙M,与⊙O交于A,B两点；③作直线PA,PB，则直线PA,PB即为⊙O的两条切线。【小结】过圆外一点可以作圆的2条切线；过圆上一点可以作圆的1条切线；过圆内一点的圆的切线0条切线.切线长的概念：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.【探索与思考】切线与切线长的区别二、探索切线长定理【探索与思考】若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。PA=PB，∠APO=∠BPO【切线长定理】从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。[练一练]如图PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连结OP问题一：图中有哪些相等关系？∴PA=PB，∠APO=∠BPO问题二：若连结AB交OP于C，∠PAB和∠PBA相等吗？相等问题三：OP和AB有怎样的关系？OP垂直平分AB问题四：连结OA、OB，则图中和∠1相等的角有哪些？∠APO=∠BPO=∠1=∠OBA问题五：图中和∠3相等的角有哪些？∠3=∠BAP=∠AOP=∠BOP三、三角形内切圆【问题】一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？说明做法？【步骤】1）分别作∠A,∠B,∠C的角平分线。2）过三条角平分线交点O作BC边垂线，交BC边于点D。3）以O为圆心，OD长为半径作圆。【小结】三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形的内心：三角形的内切圆的圆心（即三角形三条角平分线的交点）。【探索与思考】三角形内切圆和外切圆【练一练】1．如图，分别切与点切于点，分别交于点，若的周长，则是（

）A． B． C． D．【详解】∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，∴MA=MC，NC=NB，PA=PB，∵△PMN的周长=PM+PN+MC+NC=PM+MA+PN+NB=PA+PB=8（cm），∴PA=PB=（cm）．故选：A．2．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为（）A．52° B．51° C．61° D．64.5°【详解】∵，是的切线，是的直径，∴∠CAP=90°，PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∵，∴∠PAB=∠CAP-=64.5°，∴=180°-64.5°-64.5°=51°．故选：B．3．如图，P为圆O外一点，分别切圆O于两点，若，则（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【详解】∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=5，∴PB=PA=5，故选：D．4．等边三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为A． B．1：2 C． D．1：3【详解】如图，连接OD、OE；∵AB、AC切圆O于E、D，所以，；且OA平分∠BAC，又为等边三角形，，，：：2．故选B．5．如图，在▱APBC中，∠C＝40°，若⊙O与PA、PB相切于点A、B，则∠CAB＝（

）A．40° B．50° C．60° D．70°【详解】解：∵⊙O与PA、PB相切于点A、B，∴PA＝PB∵四边形APBC是平行四边形，∴四边形APBC是菱形，∴∠P＝∠C＝40°，∠PAC＝140°∴∠CAB＝∠PAC＝70°故选D．6．如图，点是的内切圆的圆心，若，则的度数是（

）．A．140° B．80° C．40° D．70°【详解】解：∵点是的内切圆的圆心，∴故选：．7．已知直角三角形的三边长为3，4，5，则它的内切圆半径为（

）A．2 B．1 C． D．【详解】解：设△ABC内切圆的圆心为O，半径为r，切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，如图所示：则OD=OE=OF=r，∵S△ABC=AB×OF+BC×OE+CA×OD，∴S△ABC=（AB+BC+CA）•r，即×3×4=×（3+4+5）r，解得：r=1，故选：B．8．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（）A． B．C． D．【详解】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．故选：B．9．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径.【详解】连接OP、OD、OA，则∠OPA=90°，∠ODA=90°；∵∠BAC=60°，∴∠PAD=120°；∵PA、AD都是⊙O的切线，∴∠OAP=∠PAD=60°；在Rt△OPA中，PA=5cm，∠POA=30°，则OA=10cmOP=cm，即⊙O的半径为5cm．10．已知：．问题一：请用圆规与直尺（无刻度）直接在内作内切圆，（要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求写画法）问题二：若的周长是24，的面积是24，，求的内切圆半径．【详解】解：（1）如图，为所求作的的内切圆；（2）解：如下图，连结OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥A