2022年山西省忻州市原平东同中学高二数学理联考试题含解析

2022年山西省忻州市原平东同中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设A，B为相互独立事件，下列命题中正确的是（

）

A、A与B是对立事件

B、A与B是互斥事件

C、A与是相互独立事件

D、与不相互独立参考答案：C

【考点】互斥事件与对立事件

【解答】解：A中，A与B是相互独立事件，但A与B不一定是对立事件，∴A错误；

B中，A与B是相互独立事件，但是A与B不一定是互斥事件，∴B错误；

C中，当A与B是相互独立事件时，A与是相互独立事件，∴C正确；

D中，A与B是相互独立事件时，与不是相互独立事件，是错误的；

故选：C

【分析】相互独立事件是一个事件对另一个事件发生的概率没有影响；互斥事件是一个事件发生，另一个事件就不发生，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；由相互独立事件以及互斥、对立事件的概念判定选项中的正确命题．

2.设函数f（x）=ex+3x（x∈R），则f（x）（）A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性即可．【解答】解：函数f（x）=ex+3x（x∈R），可得f′（x）=ex+3＞0，恒成立，所以函数是单调增函数．故选：C．3.已知命题“若x≥3,则”,则此命题的逆命题、否命题逆否命题中,正确命题的个数为A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：B∵，∴，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1.逆命题为“若，则”，显然是假命题，又逆命题与否命题互为逆否命题，所以否命题也是假命题.又原命题为真命题，所以逆否命题也是真命题.综上，选B.

4.设数列共有项,且，对于每个均有.当时，满足条件的所有数列的个数为（

）A．215

B．512

C．1393

D．3139参考答案：D5.已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的(

) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：充要条件．专题：计算题．分析：由题意条件p：x≤1，写出其﹣p中x的范围，将条件q：，由分式不等式的解法解出x的范围，然后判断﹣p是q之间能否互推，从而进行判断；解答： 解：∵条件p：x≤1，∴￢p：x＞1；∵条件q：，∴＜0，解得x＞1或x＜0，∵x＞1?x＞1或x＜0，反之则不能；∴﹣p?q，q推不出﹣p，∴﹣p是q的充分而不必要条件，故选A．点评：此题主要考查逻辑关系的条件和分式方程的求解问题，解题时按部就班的求解，此题思路很明显就是求出﹣p和q，各自x的范围．6.某学校为了制定节能减排的目标，调查了日用电量x（单位：千瓦时）与当天平均气温y（单位：℃），从中随机选取了4天的日用电量x171510－2y2434a64与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据的线性回归方程为，则a的值为（

）A．42

B．40

C．38

D．36参考答案：A7.参数方程表示什么曲线(

)A．一个圆

B．一个半圆

C．一条射线

D．一条直线参考答案：C8.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是

(

)A、分层抽样法，系统抽样法

B、分层抽样法，简单随机抽样法C、系统抽样法，分层抽样法

D、简单随机抽样法，分层抽样法参考答案：B略9.已知函数f（x）的图象如图所示，f'（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．0＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）＜f'（2） B．0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）﹣f（2）C．0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2） D．0＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）＜f'（2）参考答案：A【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由题意，作出f′（3）、f（3）﹣f（2）、f′（2）所表示的几何意义，从而求解．【解答】解：如下图：f′（3）、f（3）﹣f（2）、f′（2）分别表示了直线n，m，l的斜率，故0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），故选：A．10.i是虚数单位，=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数的分母为实数，即可．【解答】解：i是虚数单位，=，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：），则此几何体的体积是

参考答案：略12.不等式的解集是_______________。参考答案：

解析：

13.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）参考答案：（1）（2）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】从线面平行、垂直的判定定理，判断选项即可．【解答】解：由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2）正确．对于（3）来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β．对于（4）来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α．也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，理解定理是判断的前提，是中档题．14.在中，若，则角的值为参考答案：略15.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），点F1，F2是椭圆的左右焦点，点A是椭圆上的点，△AF1F2的内切圆的圆心为M，若+2+2=0，则椭圆的离心率为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】设点D是AF1的中点，由+2+2=0?若=﹣2（+）=﹣4，即三点F1、M、D三点共线，且点M是靠近D的5等分点，△AF1F2与△AMF2的面积比为5：1；如图，有，由+2+2=0，得2，?AM：MH=3：2，?△AF1F2与△AMF1F2的面积比为5：2【解答】解：设点D是AF1的中点，∵+2+2=0?若=﹣2（+）=﹣4，∴三点F1、M、D三点共线，且点M是靠近D的5等分点，△AF1F2与△AMF2的面积比为5：1；如图，有，由+2+2=0，得2，?AM：MH=3：2，∴△AF1F2与△AMF1F2的面积比为5：2又∵△AMF2与△AMF1F2的面积比为AF2：F1F2=1：2，AF2：F1F2：AF1=1：2：2，∴2a=3c，椭圆的离心率为．故答案为：

16.若双曲线（）的左焦点在抛物线的准线上，则

．参考答案：

双曲线的左焦点，双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，可得，解得p=4，故答案为4.17.已知，，，...，类比这些等式，若（a，b均为正整数），则

．参考答案：

55

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数．（1）若，求函数的极值；（2）若是函数的一个极值点，试求出关于的关系式（用表示），并确定的单调区间；（3）在（2）的条件下，设，函数．若存在使得成立，求的取值范围．参考答案：略19.（本小题满分12分）已知，证明：.参考答案：证明：因为，要证，

只需证明.

….4分即证.……7分

即证，即.

由已知，显然成立.

………..10分

故成立.

….12分（其它证法参照赋分）略20.(本题满分13分)已知函数f(x)＝ax2＋lnx(a∈R)(Ⅰ)当a＝2时，求f(x)在区间[e，e2]上的最大值和最小值；(Ⅱ)如果函数g(x)，f1(x)，f2(x)在公共定义域D上，满足f1(x)<g(x)<f2(x)，那么就称g(x)为f1(x)，f2(x)的“伴随函数”.已知函数f1(x)＝x2＋2ax＋(1－a2)lnx，f2(x)＝x2＋2ax.若在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是f1(x)，f2(x)的“伴随函数”，求a的取值范围.参考答案：另解：(接在(*)号后)先考虑h(x)，21.设函数.

(1)对于任意实数,恒成立,求的取值范围；(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围.

参考答案：解:(1),

因为,,即恒成立,

所以,得,即的最大值为

(2)因为当时,;当时,;当时,;

所以当时,取极大值;

当时,取极小值;

故当或时,方程仅有一个实根.解得或.略22.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，且PE=PC．（Ⅰ）求PE的长；（Ⅱ）求证：AE⊥平面PBC；（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣D的度数．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出AC长，从而得到PC长，由此能求出PE．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥平面PBC．（Ⅲ）求出平面ABE的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的度数．【解答】（Ⅰ）解：∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，且PE=PC，∴AC==，∴PC===，∴PE=PC=．（Ⅱ）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，2），E（），B（2，0，0），=（），=（2，0，﹣2），=（1，1，﹣2），==0，==0，∴AE⊥PB，AE⊥PC，又PB∩PC=P，