2023届上海市浦东实验数学高二下期末联考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（）A． B． C． D．2．已知复数（为虚数单位），则（）A． B． C． D．3．已知双曲线，，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线，的斜率分别为，若的最小值为2，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．4．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有A．5种 B．10种C．20种 D．120种5．已知，，则函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为（）A． B． C． D．7．已知椭圆（为参数）与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，则面积的最大值为（）A． B． C． D．8．设M=a+1a-2(2<a<3),A．M>N B．M=N C．M<N D．不确定9．定义在上的函数为偶函数，记，，则（）A． B．C． D．10．复数的虚部为（）A． B． C． D．11．函数（）的图象的大致形状是（）A． B． C． D．12．设，向量，，且，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中系数之和为______________.(结果用数值表示)14．已知函数，若，则实数的取值范围是___．15．有5条线段，其长度分别为3,4,5,7,9,现从中任取3条，则能构成三角形的概率是_____.16．某同学在研究函数时，给出下列结论：①对任意成立；②函数的值域是；③若，则一定有；④函数在上有三个零点．则正确结论的序号是_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，⊥平面且.(1)求证：平面⊥平面；(2)若设与平面所成夹角为，且，求二面角的余弦值.18．（12分）已知函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.（1）求不等式f(x)≥3的解集；（2）若关于x的不等式f(x)≥t2-3t在[19．（12分）已知函数，（其中,为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若分别是的极大值点和极小值点，且，求证：.20．（12分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设函数，当时，，求的取值范围.21．（12分）已知椭圆:的离心率，过椭圆的上顶点和右顶点的直线与原点的距离为，（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线经过椭圆左焦点与椭圆交于,两点，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在,求出直线方程；若不存在,请说明理由.22．（10分）已知的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项.求：(1)展开式的二项式系数和；(2)展开式中项的二项式系数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题意可得：，则，据此可得，的虚部为.本题选择A选项.2、D【解析】

利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结果.【详解】解：，则.故选：D.【点睛】本题考查复数的运算法则，模的计算公式，考查计算能力，属于基础题.3、A【解析】

先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用的最小值为2，即可求得双曲线的离心率．【详解】由题意，可设点，，．，且．两式相减得．再由斜率公式得：．根据的最小值为2，可知，所以a=b.所以，故选：A【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点的对称性，利用点差法进行化简是解决本题的关键．4、B【解析】

根据题意，可看做五个位置排列五个数，把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．根据相克原理，1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，依次类推，用分布计数原理写出符合条件的情况.【详解】把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，所以以“1”开头的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”两种，同理以其他数开头的排法都是2种，所以共有种．选B.【点睛】本题考查分步计数原理的应用，考查抽象问题具体化，注重考查学生的思维能力，属于中档题.5、B【解析】

由题意可作出函数f(x)和g(x)的图象，图象公共点的个数即为函数h(x)=f(x)−g(x)的零点个数．【详解】可由题意在同一个坐标系中画出f(x)=2lnx，的图象，其中红色的为f(x)=2lnx的图象，由图象可知：函数f(x)和g(x)的图象有2个公共点，即h(x)=f(x)−g(x)的零点个数为2，故选：B．【点睛】本题考查函数的零点问题，属于函数与方程思想的综合运用，求零点个数问题通常采用数形结合方法，画出图像即可得到交点个数，属于中等题.6、C【解析】

作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B﹣AC﹣D的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥B﹣ACD为正四面体，可得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．【详解】如下图所示，易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC，BN⊥AC．所以，∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，可得BO⊥平面ACD．因为在△BDN中，，所以，BD1＝BN1+DN1﹣1BN•DN•cos∠BND，则BD＝1．故三棱锥A﹣BCD为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的，又正四面体的高为棱长的，故．因此，三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为．故选：C．【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．7、B【解析】分析：根据椭圆的方程算出A（4，1）、B（1，3），从而得到|AB|=5且直线AB：3x+4y﹣12=1．设点P（4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P到直线AB距离为d=|sin﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出dmax=（），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB面积的最大值．详解：由题得椭圆C方程为：，∴椭圆与x正半轴交于点A（4，1），与y正半轴的交于点B（1，3），∵P是椭圆上任一个动点，设点P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[1，2π]）∴点P到直线AB：3x+4y﹣12=1的距离为d==|sin﹣1|，由此可得：当θ=时，dmax=（）∴△PAB面积的最大值为S=|AB|×dmax=6（）.点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于|sin﹣1|，不是sin=1时，整个函数取最大值，而应该是sin=-1，要看后面的“-1”.8、A【解析】∵x2+116≥1∴N=log12(x2+又∵M=a+1a-2=a-2+1∴0<a-2<1.∴a-2+1a-2∴a+1a-2∴M>N.答案:A点睛：这个题目考查了比较函数值的大小关系；比较大小的常用方法有：做差，如果数值均为正，还可以考虑做商；还可以构造函数应用单调性比较大小；还可以放缩比较大小，常用的放缩方式有：不等式的应用．9、C【解析】分析：根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递减，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：，，，然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．详解：∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x）.∴，∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|，∴（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2，∴mx=0，∴m=0.∴f（x）=∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且,,c=f（0）,∵0＜log21.5＜1∴,故答案为C点睛：（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出函数f（x）=的单调性，此处利用了复合函数的单调性，当x>0时，是增函数，是减函数，是增函数，所以函数是上的减函数.10、C【解析】

利用复数除法运算求得，根据虚部定义得到结果.【详解】的虚部为：本题正确选项：【点睛】本题考查复数虚部的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.11、C【解析】

对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】故选C．【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．12、B【解析】试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B．考点：1.向量的数量积；2.向量的模．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

令求解展开式的系数和即可.【详解】令可得展开式的系数和为：.故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和的计算，属于基础题.14、【解析】

对的范围分类讨论函数的单调性，再利用可判断函数在上递增，利用函数的单调性将转化成：，解得：，问题得解.【详解】当时，，它在上递增，当时，，它在上递增，又所以在上递增，所以可化为：，解得：.所以实数的取值范围是故填：【点睛】本题主要考查了分类思想及函数单调性的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。15、【解析】

从5条线段中任取3条共有10种情况,将能构成三角形的情况数列出,即可得概率.【详解】从5条线段中任取3条,共有种情况,其中,能构成三角形的有：3,4,5;3,5,7;3,7,9;4,5,7;4,7,9;5,7,9.共6种情况；即能构成三角形的概率是,故答案为：【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,注意统计出满足条件的情况数,再除以总情况数即可,属于基础题.16、①②③【解析】

由奇偶性判断①，结合①对，，三种情况讨论求值域，判断②，由单调性判断③，由③可知的图像与函数的图像只有两个交点，进而判断④，从而得出答案。【详解】①，即，故正确；②当时，，由①可知当时，，当时，，所以函数的值域是，正确；③当时，，由反比例函数的单调性可知，在上是增函数，由①可知在上也是增函数，所以若，则一定有，正确；④由③可知的图像与函数的图像只有两个交点，故错误。综上正确结论的序号是①②③【点睛】本题考查函数的基本性质，包括奇偶性，单调性，值域等，属于一般题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2).【解析】

（1）根据已知可得和，由线面垂直判定定理可证平面，再由面面垂直判定定理证得平面⊥平面.（2）解法一：向量法，设，以为原点，作，以的方向分别为轴，轴的正方向，建空间直角坐标系，求得的坐标，运用向量的坐标表示和向量的垂直条件，求得平面和平面的的法向量，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求的值.解法二：三垂线法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，过点F做FM⊥EC于M，连OM，由已知可以证明FO⊥面AEC，∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角，通过菱形的性质、勾股定理和等面积法求得cos∠FMO，得到答案.解法三：射影面积法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，根据已知条件计算，，二面角的余弦值cosθ=，即可求得答案.【详解】（1）证明：连结四边形是菱形，，⊥平面，平面，，，平面，平面，平面，平面⊥平面.（2）解：解法一：设，四边形是菱形，，、为等边三角形，，是的中点，，⊥平面，，在中有，，，以为原点，作，以的方向分别为轴，轴的正方向，建空间直角坐标系如图所示，则所以，，设平面的法向量为，由得设，解得.设平面的法向量为，由得设，解得.设二面角的为，则结合图可知，二面角的余弦值为.解法二：∵EB⊥面ABCD，∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角在Rt△EAB中，cos∠EAB=又AB=2,∴AE=∴EB=DF=1连接AC交BD于O，连接EO、FO菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2矩形BEFD中，FO=EO=,EF=2,EO²+FO²=EF²,∴FO⊥EO又AC⊥面BEFD,FO⊆面BEFD,∴FO⊥AC,AC∩EO=O，AC、EO⊆面AEC,∴FO⊥面AEC又EC⊆面AEC,∴FO⊥EC过点F做FM⊥EC于M，连OM，又FO⊥EC,FM∩FO=F,FM、FO⊆面FMO,∴EC⊥面FMOOM⊆面FMO,∴EC⊥MO∴∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角AC⊥面BEFD,EO⊆面BEFD，∴AC⊥EO又O为AC的中点，∴EC=AE=Rt△OEC中，OC=,EC=,∴OE=,∴OM=Rt△OFM中，OF=,OM=,∴FM=∴cos∠FMO=即二面角A-EC-F的余弦值为解法三：连接AC交BD于O，连接EO、FO菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2矩形BEFD中，FO=EO=,EF=2,EO²+FO²=EF²,∴FO⊥EO又AC⊥面BEFD,FO⊆面BEFD,∴FO⊥AC,AC∩EO=O，AC、EO⊆面AEC,∴FO⊥面AEC又∵EB⊥面ABCD，∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角在Rt△EAB中，cos∠EAB=又AB=2,∴AE=∴EB=DF=1在Rt△EBC、Rt△FDC中可得FC=EC=在△EFC中，FC=EC=，EF=2,∴在△AEC中,AE=EC=,O为AC中点，∴OE⊥OC在Rt△OEC,OE=,OC=,∴设△EFC、△OEC在EC边上的高分别为h、m,二面角A-EC-F的平面角设为θ，则cosθ=即二面角A-EC-F的余弦值为.【点睛】本题考查平面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题.18、（1）(-∞,-43]∪[6,+∞)【解析】试题分析：（1）将f(x)的表达式以分段函数的形式写出，将原题转化为求不等式组的问题，最后对各个解集求并集得出原不等式的解集；（2）f(x)≥t2-3t在[0,1]上无解相当于f(x)试题解析：（1）由题意得f(x)={x-3,x≥则原不等式转化为{x≥12x-3≥3或∴原不等式的解集为(-∞,-4（2）由题得f(x)由（1）知，f(x)在[0,1]上的最大值为-1，即解得t>3+52或t<3-519、(1)见解析；(2)证明见解析【解析】

（1）讨论，和三种情况，分别计算得到答案.（2）根据题意知等价于，设，计算得到使，计算得到得到证明.【详解】（1）当时，，的单调递增区间是，单调递减区间是；时，，①时，由解得或；由解得，的单调递增区间是和，单调递减区间是②时，由解得；由解得或，的单调递增区间是，单调递减区间是和；综上所述：时，单调递增区间是，单调递减区间是；时，单调递增区间是和，单调递减区间是；时，单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）由已知和（1）得，当时满足题意，此时，，令，则.令则恒成立，在上单调递增，使，即从而当时，单调递减，当时，单调递增，在上单调递减，，即，【点睛】本题考查了函数的单调性，利用导数证明不等式，将不等式等价于是解题的关键.20、（1）（2）【解析】

（1）将代入不等式，讨论范围去绝对值符号解得不等式.（2）利用绝对值三角不