数值分析常微分方程初值问题的解法

数值分析常微分方程初值问题的解法第1页，课件共44页，创作于2023年2月§6.1

基本离散方法§6.2Runge-Kutta方法§6.3线性多步法§6.4收敛性与稳定性§6常微分方程数值解法第2页，课件共44页，创作于2023年2月

考虑一阶常微分方程的初值问题:例如：其解析解为：§6.1基本离散方法第3页，课件共44页，创作于2023年2月但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。例如：其解析解为：很难得到其解析解第4页，课件共44页，创作于2023年2月例如：其解析解为只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0<x1<…<xn=b

处的近似值通常取节点间距为步长，通常采用等距节点，即取hi=h(常数)。它适合计算机求解,应用广泛,具有应用价值。第5页，课件共44页，创作于2023年2月Taylor级数复习函数在点作Taylor级数展开：这里x,x0都可以是任意一点。第6页，课件共44页，创作于2023年2月Taylor级数复习则：第7页，课件共44页，创作于2023年2月6.1.2Euler公式利用等距分割，数值微分来代替导数项，建立差分格式。1、向前差商公式所以，可以构造差分方程称为局部截断误差。显然，这个误差在逐步计算过程中会传播，积累。因此还要估计这种积累第8页，课件共44页，创作于2023年2月定义:在假设yi=y(xi)，即第

i

步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y(xi+1)

yi+1称为局部截断误差。定义:

若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p

阶精度。收敛性：考察局部误差的传播和积累第9页，课件共44页，创作于2023年2月2、向后差商公式是隐格式，要迭代求解可以由向前差商公式求出第10页，课件共44页，创作于2023年2月3、中心差商公式是多步，2阶格式，该格式不稳定第11页，课件共44页，创作于2023年2月对微分方程积分有:类似，可以算出其误差估计式：2阶的方法所以，有是个隐式的方法，要用迭代法求解局部截断误差4、梯形公式第12页，课件共44页，创作于2023年2月5、欧拉公式的改进：隐式欧拉法向后差商近似导数x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式欧拉公式，而前者称为显式欧拉公式。第13页，课件共44页，创作于2023年2月中点欧拉公式（欧拉二步法）中心差商近似导数x0x2x1假设，则可以导出即中点公式具有2

阶精度。需要2个初值y0和y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法/*double-stepmethod*/，而前面的三种算法都是单步法/*single-stepmethod*/。方法显式欧拉隐式欧拉梯形公式中点公式简单精度低稳定性最好精度低,计算量大精度提高计算量大精度提高,显式多一个初值,可能影响精度第14页，课件共44页，创作于2023年2月改进欧拉法Step1:

先用显式欧拉公式作预测，算出Step2:再将代入隐式梯形公式的右边作校正，得到第15页，课件共44页，创作于2023年2月Euler方法、隐式Euler方法、梯形方法与单步法计算公式的显式单步法对应关系隐式单步法显式Euler方法隐式Euler方法梯形方法(隐式)6.1.3总结第16页，课件共44页，创作于2023年2月算例：分别用Euler公式和改进的Euler公式求解：取步长，计算y(0.5)的近似值

解：欧拉公式：改进的Euler公式：

第17页，课件共44页，创作于2023年2月

算例

分别用显式Euler方法，梯形方法和预估－校正Euler方法初值问题解：取h=0.1，(1)Euler方法为:续第18页，课件共44页，创作于2023年2月

算例

分别用显式Euler方法，梯形方法和预估－校正Euler方法解初值问题解：取

h=0.1，梯形方法为：续第19页，课件共44页，创作于2023年2月

算例

分别用显式Euler方法，梯形方法和预估－校正Euler方法解初值问题解：取

h=0.1，梯形方法为：预估－校正Euler方法：续第20页，课件共44页，创作于2023年2月

Euler方法

梯形方法

预估－校正方法0.01.0000000.01.0000000.01.0000000.00.11.0000004.8×10－31.0047627.5×10－51.0050001.6×10－40.21.0100008.7×10－31.0185941.4×10－41.0190252.9×10－40.31.0290001.2×10－21.0406331.9×10－41.0412184.0×10－40.41.0561001.4×10－21.0700962.2×10－41.0708004.8×10－40.51.0904901.6×10－21.1062782.5×10－41.1070765.5×10－40.61.1314411.7×10－21.1485372.7×10－41.1494045.9×10－40.71.1782971.8×10－21.1962952.9×10－41.1972106.2×10－40.81.2304671.9×10－21.2490193.0×10－41.2499756.5×10－40.91.2874201.9×10－21.3062643.1×10－41.3072286.6×10－41.01.3486781.9×10－21.3675733.1×10－41.3685146.6×10－4

数值例子表明，梯形方法和预估－校正Euler方法比显式Euler方法有更好的精度。续第21页，课件共44页，创作于2023年2月基本思想:

根据微分中值定理有：这里表示在区间上函数的平均斜率。

§6.2龙格-库塔方法建立高精度的单步递推格式。第22页，课件共44页，创作于2023年2月6.2Runge－Kutta法由Taylor展开记为所以，可以构造格式这种格式使用到了各阶偏导数，使用不便。从另一个角度看，取(x,y)及其附近的点做线性组合，表示F，问题就好办了。当然，要求此时的展开精度相同。这种方法称为Runge－Kutta法第23页，课件共44页，创作于2023年2月在(x,y)处展开有而以2阶为例，设第24页，课件共44页，创作于2023年2月比较对应系数,有：1、改进的Euler公式2、Heun公式第25页，课件共44页，创作于2023年2月一般的Runge－Kutta法构造常见的为3阶，4阶公式第26页，课件共44页，创作于2023年2月下列公式是三阶公式中的一个典型例子：第27页，课件共44页，创作于2023年2月下列公式是经典的四阶R-K方法(古典的R-K方法)第28页，课件共44页，创作于2023年2月算例：分别用Euler公式，改进的Euler公式，经典4阶R-K

公式计算一阶常微分方程初值问题。并与准确解比较。

解：Euler公式,改进的Euler公式取步长h=0.1,经典4阶R-K公式取步长h=0.2。4阶R-K公式：第29页，课件共44页，创作于2023年2月XEuler公式改进Euler公式4阶R-K公式准确值0.01.00001.00001.00001.00000.11.10001.09591.09540.21.19181.18411.18321.18320.31.27741.26621.26490.41.35821.34341.34171.34160.51.43511.41641.41420.61.50901.48601.48331.48320.71.58031.55251.54920.81.64981.61531.61251.61250.91.71781.67821.67331.01.78481.73791.73211.7321计算结果见下表：第30页，课件共44页，创作于2023年2月§6.3线性多步法思想:

用若干节点处的y

及y’值的线性组合来近似y(xn+1)。其通式可写为：当10时，为隐式公式;1=0则为显式公式。

Adams方法是线性多步法的一个代表，它是利用插值多项式进行积分得出来的，这样构造线性多步法的方法称为数值求积法，它是构造线性多步法的一种途径，另外还有Taylor法。第31页，课件共44页，创作于2023年2月

构造线性多步法的途径：1数值积分法显式Adams方法隐式Adams方法其它方法

Simpson方法（二步法）方程(1.1)在上积分，即由Simpson求积公式，得用近似，得Simpson方法局部截断误差为结论：Simpson方法是四阶隐式方法。例第32页，课件共44页，创作于2023年2月

Milne法方程在上积分，即用过点的插值多项式近似得Milne方法局部截断误差为结论：Milne方法是四阶显式线性多步法。第33页，课件共44页，创作于2023年2月例：设确定式中待定系数0,1,2,0,1,2,3,

使得公式具有4阶精度。解：/*y(xi)=yi*/2Taylor展开法第34页，课件共44页，创作于2023年2月解：个未知数个方程75

令1=2=0Adams

显式公式

以yi+1

取代yi1，并取1=2=0Adams

隐式公式取1=1,2=0得到辛甫生公式

辛甫生公式例：设确定式中待定系数0,1,2,0,1,2,3,

使得公式具有4阶精度。第35页，课件共44页，创作于2023年2月例：确定下列公式：

中的待定系数，使公式具有3阶精度。第36页，课件共44页，创作于2023年2月由于：只需：具有3阶精度，但可以进一步验证公式具有4阶精度则有公式：例：确定下列公式：

中的待定系数，使公式具有3阶精度。第37页，课件共44页，创作于2023年2月§6.4收敛性与稳定性

收敛性定义若某算法对于任意固定的x=xi=x0+ih，当h0(同时i)时有yi

y(xi

)，则称该算法是收敛的。例：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。解：该问题的精确解为欧拉公式为对任意固定的x=xi=ih

，有第38页，课件共44页，创作于2023年2月稳定性例：考察初值问题在区间[0,0.5]上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。0.00.10.20.30.40.5精确解改进欧拉法

欧拉隐式欧拉显式

节点xi1.00002.5000101

6.25001021.56251023.90631039.76561041.00002.50006.25001.56261013.90631019.76561011.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107

1.00002.00004.00008.00001.6000101

3.2000101

第39页，课件共