2023年高考数学大招12洛必达法则巧解高考压轴题

大招12洛必达法则巧解高考压轴题

大招总结

数压轴题第2问中，如果是不等式恒成立来求参数的取值范围问题，我们可以用洛必达法

则来处理.

先给大家介绍一下什么是洛必达法则：

法则1：若函数/(%)和g(x)满足下列条件:

(1)lim/(x)=o及limg(x)=();

XTaXT。

(2)在点。的去心邻域内，/(x)与g(©可导且g'(x)¥O；

../'(x),顼〃]./(x)../'(X),

(3)lim；；=/,那么hm)(=hm,):=/.

法则2:若函数/(x)和g(x)满足下列条件：

(1)lim/(x)=8及limg(x)=oo;

x—>ax—>a

(2)在点。的去心邻域内，/(幻与g(X)可导且g'(X)HO；

(3)=那么==/.

ig(x)ig(x)ig(x)

了解了什么是洛必达法则，那么，什么情况下可以使用它去解决问题呢？

首先，先逐条诠释一下洛必达法则需要满足的条件.

000

对于(1),这样给大家解释，我们用洛必达法则处理的式子形式为;;或一的形式，也是唯

0oo

一判定标准.

对于(2),我们在高中阶段几乎不研究不可导函数，所以大家不用担心.

000

对于(3),高中阶段，当出现或一的时候，对分子分母分别求导，若值存在，则值不

0oo

变，洛必达法则可以在一个式子中多次使用，直到可以求出定值为止.

典型例题

例1.设函数/。)=0"-1一%-0%2.

(1)若。=0,求/(x)的单调区间；

(2)若当xNO时，/«>0,求〃的取值范围.

50大招一下一24

解(1)a=O时，f(x)=e'-l-x,f,(x)=ex-l.

当xe(-oo,0)吐f'(x)<0,当xe(0,+w)时，/(x)>0.故/(x)在(-8,0)单调减

少，在(0,+00)单调增加.

(2)方法1:f(x)=e'-l-2ax,由⑴知e'..l+x,当且仅当x=0时等号成立.故

r(x)..x-2ax=(l-2a)x,从而当l-2a.O,即④；时，((x)煦(x0),而

/(0)=0,所以当x..O时，/(%)..0.由e'>l+x(xwO)可得b>l-x(xwO).因此

当a>g时，f\x)<e-\+2a(&x—l)=eT(e，—l)(e，—2a),故当xe(0,ln2a)时，

r(x)<0,而/(0)=0,所以当xe(0/n2a)时，/(x)<0.

综合得a的取值范围为1-8,g.

方法当时,万龙)=对任意实数均在当时，等

2:x=00,a,/(x)..0;x>0/(x)..O

A

Ae—x—1।xe'_2e'+无+2人

令则一'令

g⑴=g(x)=—?

h(x)=xex—2eA+x+2(x>0),则h\x)=xex—ex+1,hf,(x)=xex>0,矢口hr(x)在

(0,+00)上为增函数，〃(x)>厅(0)=0;知〃(x)在(0,+8)上为增函数，

h(x)>A(0)=0;g'(x)>0,g(x)在(0,+8)上为增函数.由洛必达法则知,

..e'-x—1e'—1e'11

lim--------=lim-----=lim—=一，故,

x-*o+x"—。+2xx->o+222

综上，知。的取值范围为[co].

例2.已知函数/(为=色吧+2,曲线y=/(X)在点(1,/⑴)处的切线方程为

X+1X

x+2y-3=0.

(1)求的值;

⑵当x>0,且XW1时，/(幻>星+£求％的取值范围.

x-1X

x+l1

a——Inx

解：⑴小)二一尤b

U+1)2-X2,

/⑴=1,

由于直线x+2y-3=0的斜率为-;，且过.点(1,1),故<

1故

广⑴二一5，

b=l,

a1,解得。=1,^=1.

1-2---b——2

虹+L所以一Inx1…

⑵方法1:由(1)知/(%)----7(21nx+

X+lXx-\x1-X2

*-1)(X?—1

X

7

(^-1)(X2+1)+2X

考虑函数版元)=21nxd--------------(x>0),则h!(x)=

xx2

①设鼠0,由〃(幻=知，当XH1时，h\x)<0,h(x)递减.而

X2

如)=0,故

当xe(O,l)时，〃(x)>0,可得一1/z(x)>0；

1-x

当无£(l,+oo)时，〃(x)vO,可得一二/z(x)>0,

1-x

从而当尤＞0,且xrl时，“幻一（巫+A］〉0,即/（X）＞—+-.

②设0＜Z＜l.由于（左—1乂/+］）+2后=（01口2+2%+左一1的图象开口向下,

且A=4-4(I)2>0,

11

对称轴x=>1.当xe|1,时，（左―1）■2+l）+2x＞0,故“（X）＞0,而

1-k口

力(1)=0,所以当占]时，〃(x)>0,

可得工必力<0,与题设矛盾.

1-x

③设攵..1.此时f+L.2x,(女一1)(X2+I)+2X>0=〃(X)>0,而力⑴=0,故当

xe(l,+oo)时，h(x)>0,可得一，/z(x)<0,与题设矛盾.

1-x

综合得，女的取值范围为(-8,0].

方法2:由题设可得，当X>0,XH1时，左<红号+1恒成立.

"2r]nx,(x2+l)lnx-x2+1

令g(x)=「—+l(x>0,xHl)M」g，(x)=2-^―，--——，

—(1-x2)-

再令/z(x)=(/+l)lnx-x2+l(x>0,x^1),则

"(x)=2xInx+,一x,〃〃(x)=2Inx+1-4,易知〃〃(x)=2Inx+1-3在(0,+oo)上

XXX

为增函数，且。〃⑴=0；故当］£（0,1）时，/2〃（幻＜0,当X£（l,+8）时，/r（X）＞0；

h'(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数;故"(x)＞厅⑴=0,h(x)在

(0,+oo)上为增函数.。//⑴=0,.•.当xe(0,l)时，〃(x)<0,当xe(l,+oo)吐

〃0)>0,;.当》€(0,1)时，g，(x)<0,当xe(l,+oo)时，g<x)>0,;.g(x)在(0,1)上为

减函数，在(1,+8)上为增函数.

Y由洛必达法则法

lim(x)=2limy+1=2lim++1=2xf--+1=0,/.A：,,0,即我的取值范

XTl111-厂a-2xI

围为(-00,0].

例3.设函数f(x)=Sinx

2+cosx

⑴求/(x)的单调区间；

⑵如果对任何x..O,都有/(x),,3求a的取值范围.

解：

(2+cosx)cosx-sinx(-sinx)2cosx+l

⑴r(x)

(2+cosx)2(2+cosx)2

I

—I2k兀——<x<2kTV-\-——(kGZ)时,cosx>—/,即fr(x)>0;

2乃ATTI

当2k兀+—^―<x<2&乃4—(k€Z)时,cosx<——,即/'(x)<0.

因此/(x)在每一个区间(2版■-笄,2版■+半卜eZ)内是增函数,

/(x)在每一个区间(2匕r+—+—j(Z:€Z)内是减函数.

⑵应用洛必达法则和导数/(x)=sinx”⑪，若x=0,则aeR;

2+cosx

若4>0,贝isinx,,亦等价于a.._包竺—,即g(x)=―包它一

2+cosxx(2+cosx)x(2+cosx)

2xcosx-2sinx-sinxcosx+x

则g'(x)=

X2(2+COSx)2

i己/z(x)=2xcosx-2sinx-sinxcosx+x,

hr(x)=2cosx-2xsinx-2cosx-cos2x+1=-2xsinx-cos2x+1=2sin2x-2xsinx=2sinx

(sinx—x).

因此，当x£(0,4)时,h\x)<0,〃。)在(0,冗)上单调递减,且版0)=0,故gr(x)<0,

所以g(x)在(0,乃)上单调递减，

Hr/、vsinx].cosx1

而limg(x)=lim----------=lim---------------=—.

zo.Dx(2+cosx)2+cosx-xsinx3

另一方面，当xeS+8)时，g(x)=‘inX犯因此

x(2+cosx)x7T33

例4.设函数/(x)=(x+l)ln(x+l),若对所有的x..O都有/(x)..or成立,求实数a

的取值范围.

解方法1:令g(x)=(x+l)ln(x+l)-ar,对函数g(x)求导数：

g\x)=ln(x+1)+1—a,令g'(x)=0,解得x=e^-l.

⑴当1时,对所有x>0,g，(x)>0,所以g(x)在[0,+8)上是增函数.又g(0)=0,

所以对x..0,有g(x)..g(0)，即当4,1时,对于所有x.0,都有/(%)..ax.

⑵当a>1时，对于0<x<e"T-1