【2022苏教版数学】《交集并集》 市赛获奖5

1．3交集、并集学习目标1.理解交集、并集的概念，会求集合的交集和并集．2．了解交集、并集的运算性质，并能简单应用．3．掌握区间的表示法，进一步体会数形结合思想及分类讨论思想在解题中的应用．

课堂互动讲练知能优化训练1.3课前自主学案交集、并集课前自主学案温故夯基1．集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的______________元素都是集合B的元素．2．若A⊆B，同时B⊆A，则A与B的关系是______.3．空集是任何非空集合的_______________．任何一个A＝B真子集1．交集知新益能元素自然语言一般地，由所有属于集合A且属于集合B的______组成的集合，称为A与B的交集，记作________(读作“A交B”)．符号语言A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}图形语言A∩B2.并集自然语言一般地，由_________属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作_________

(读作“A并B”)．符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}图形语言所有A∪B3.并集与交集的运算性质交集A∩B___B∩AA∩B⊆AA∩B⊆BA∩A＝___A∩∅＝___A⊆B⇔A∩B＝___并集A∪B___B∪AA⊆A∪BB⊆A∪BA∪A＝___A∪∅＝____A⊆B⇔A∪B＝___＝A∅A＝AAB4.区间的概念设a，b∈R，且a<b，名称定义符号数轴表示闭区间{x|a≤x≤b}____________半开半闭区间{x|a≤x<b}__________{x|a<x≤b}(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]开区间{x|a<x<b}_________{x|x>a}__________{x|x<b}__________R_________[a，b][a，b)(a，b)(a，＋∞)(－∞，b)(－∞，＋∞)1．若集合A中有元素m，集合B中也有元素m，所以A∩B中有两个元素m，这种说法对吗？提示：不对，对于A∩B来说，也是一个集合，由集合的特征可知，元素不能重复出现．2．集合A∪B中的元素个数一定比集合A、B中的元素个数多，这种说法是否正确？提示：不正确．若A＝B，则A∪B＝A＝B，此时并集A∪B中的元素个数与集合A、B中的元素个数相同．问题探究3．若A∩B＝A∪B，则集合A与B有什么样的关系？提示：只有A＝B时，才可能有A∩B＝A∪B.4．集合{x|x≥1}写成区间形式[1，＋∞)是否正确？提示：不正确，应写成[1，＋∞)．求交集、并集考点一要掌握有关集合的术语和符号，以及简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合，利用数形结合的思想，将满足条件的集合用Venn图或数轴一一表示出来，从而进行集合的基本运算．考点突破例1(1)已知集合M＝{y|y＝x2，x∈R}，P＝{y|y＝2x－x2，x∈R}，求M∩P；(2)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；(3)设集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|2<x≤6}，求A∪B.【思路点拨】

(1)由于集合M，P没有具体给出，欲求M∩P，需先弄清集合M，P中的元素特征，它们的代表元素为y，即为数集，求出M，P即可．(2)根据定义求解．(3)转化为区间，借助于数轴求解．【解】

(1)因为x2≥0，x∈R，所以y≥0，所以M＝{y|y≥0}．因为y＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，x∈R，所以y≤1，所以P＝{y|y≤1}．所以M∩P＝{y|y≥0}∩{y|y≤1}＝{y|0≤x≤1}．(2)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(3)画出数轴如图所示：

∴A∪B＝{x|－3<x≤5}∪{x|2<x≤6}＝{x|－3<x≤6}．【名师点评】

(1)求两个集合的交集，关键要明确每一个集合中的元素．本题的关键在于求出M，P，判断集合元素的代表形式很重要．(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一特性，重复的元素只能算一个．(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．应用交、并集的性质时，需要对集合间的关系进行准确的理解和把握，常与子集、空集有联系，结合涉及的知识进行转化解题．交、并集性质的应用考点二例2设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．(1)若A∩B＝B，求a的取值；(2)若A∪B＝B，求a的取值．【思路点拨】明确A∩B＝B和A∪B＝B的含义，根据问题的需要，将A∩B＝B和A∪B＝B转化为等价的关系式B⊆A和A⊆B是解决本题的关键．【解】

∵A＝{x|x2＋4x＝0}，∴A＝{0，－4}．(1)∵A∩B＝B，∴B⊆A.①当B≠∅时，若0∈B，则a2－1＝0，解得a＝±1.当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝A；当a＝－1时，B＝{0}A.若－4∈B，则a2－8a＋7＝0，解得a＝7或a＝1.当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}，与A∩B＝B矛盾．②当B＝∅时，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综上所述，a≤－1或a＝1.(2)∵A∪B＝B，∴A⊆B.∵A＝{0，－4}，而B中最多有两个元素，∴A＝B，即a＝1.【名师点评】

(1)本题考查了分类讨论的思想，这在高中数学中是非常重要的，本题易犯错误：一是分类讨论过于繁琐；二是不进行检验，导致出现增根；三是分类讨论之后没有用“综上所述”进行总结．(2)当集合A与B有包含关系时，A、B中若有一个不确定，需要考虑空集情形，必须要引起重视．互动探究1

本例中，若A≠B且A∩B≠∅，求a的值．解：由例题解答可知A＝{0，－4}．若0∈B，则a＝±1，当a＝1时，B＝{0，－4}，与A≠B矛盾．当a＝－1时，B＝{0}．若－4∈B，则a＝7或a＝1(舍去)，当a＝7时，B＝{－12，－4}．∴a＝－1或a＝7.集合的综合运算考点三在解有关集合的综合问题中，多种集合运算并存，求解时一般有以下方法：(1)弄清计算顺序，依次计算；(2)借助Venn图或数轴，利用数形结合思想解题；(3)注意以下两个公式的应用：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．例3【思路点拨】正确运用交集、并集、补集的定义解题．因给定的集合是不等式，所以借助于数轴求解更准确．自我挑战2

已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x≤1}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∩(∁UB)，(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∩B)，∁U(A∪B)．解：在数轴上将各集合标出，如图．1．从符号语言角度理解交集与并集．A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，它包含三层含义：(1)A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；(2)A与B的公共元素都属于A∩B；(3)当集合A与B没有公共元素时，A∩B＝∅.A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，其包含三种情况：方法感悟(1)x∈A，但x

B；(2)x∈B，但x

A；(3)x∈A