2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第9节：函数模型及其应用（教师版）

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数

第9节函数模型及其应用

考试要求1.了解指数函数、对数函数、寡函数的增长特征，结合具体实例体会

直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如

指数函数、对数函数、累函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)

的广泛应用.

□知识诊断•基础夯实

知识梳理

L指数、对数'鬲函数模型性质比较

函数y=axy=logaXy=xn

性质（«>1）（。>1）（心0）

在(0,+8)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表随X的增大逐渐表随〃值变化而各有

图像的变化

现为与通平行现为与X轴平行不同

2.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型J（x）=ax+b（a,b为常数，aWO）

二次函数模型/（x）=ax2+hx+c（a,b,c为常数，aWO）

与指数函数相

J（x）=bax+c（a,b,c为常数，a>0且aWl,bWO）

关的模型

与对数函数相

/（x）=Z）logux+c（a,b,c为常数，a>0且aWl,640）

关的模型

与基函数相关

f（x）=cixn+b（a,b,n为常数，aWO）

的模型

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常用结论

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增

长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越

来越小.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数

学结果对实际问题的合理性.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“，”或"X”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按

九折出售，则每件还能获利.()

(2)函数y=2'的函数值比夕=/的函数值大.()

(3)不存在xo，使a"<x6<logaxo.()

(4)在(0,+8)上，随着x的增大，丁=优1>1)的增长速度会超过并远远大于丁=

犬伍>0)的增长速度.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

Q

解析(1)9折出售的售价为100(1+10%)X^=99(TG).

二每件赔1元，(1)错误.

(2)中，当x=2时，2"=r=4.不正确.

(3)中，如。=枇=；,〃=；,不等式成立，因此(3)错误.

2.(易错题)已知外)=%2,g(x)=2x,Z?(x)=log2X,当xW(4,+8)时，对三个函数

的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()

A：/(x)>g(x)>/?(x)

B.g(x)次r)>〃(x)

C.g(x)>h(x)>j(x)

D.J(x)>h(x)>g(x)

答案B

解析在同一坐标系内，根据函数图像变化趋势，当xe(4,+8)时，增长速度

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大小排列为g(x)次x)>,(x).

3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为

原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前

的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用

该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()

A.8B.9C.10D.11

答案C

解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过〃个“半衰期”后的含

量为目"，由8”<就5,得“N10.

所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过

■个“半衰期”.

4.(2022•江苏新高考基地大联考)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以

用香农公式C=51og2lM来表示，其中。是信道支持的最大速度或者叫信道容

量，8是信道带宽(Hz),S是平均信号功率(W),N是平均噪声功率(W).已知平均

信号功率为1000W,平均噪声功率为10W,在不改变平均信号功率和信道带宽

的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为()

A.0.1WB.1.0WC.3.2WD.5.0W

答案A

解析由题意可得S=1000,N=10,则在信道容量未增大时，信道容量为

Ci=51og2lAj=51og2101,

设信道容量增大到原来的2倍时，平均噪声功率为MW,

此时信道容量C2=81og[+M)=2C,则log210y=log2P+N，即1+1

1N

=1012,解得M一解1,故选A.

5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则

隔墙的长度为.

答案3

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74—4r

解析设隔墙的长度为x(0<x<6),矩形面积为y,则丁=》叉一--=2x(6—x)=

-2(x-3)2+18,.•.当x=3时，y最大.

6.(2020・北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水

治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量力与时间/的关系为W

寸。，用一/1)一/(4)的大小评价在叶们这段时间内企业污水治理能力的强

b-a

弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.

给出下列四个结论：

①在山，0这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在72时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在/3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在［0,田，也，幻，上,旬这三段时间中,在［0,川的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是.

答案①②③

解析_/♦)—一■£0)_表示在切上割线斜率的相反数，-£(-二-越

b-ah-a

大治理能力越强.

对于①，在句这段时间内，甲企业对应图像的割线斜率的相反数大，故甲企

业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于②，要比较f2时刻的污水治理能力，

即看在£2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，

故在72时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于③，在工3时刻，甲、

乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于④，甲在上1,0这

段时间内的污水治理能力最强，错误.综上，正确的序号为①②③.

内考点突破•题型剖析

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考点一利用函数图像刻画变化过程

1.已知高为〃，满缸水量为忆的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，

满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为〃时水的体积为。，则函数。=/（①的大致图像

是（）

答案B

解析当/?=0时，v=0,故可排除A,C；

当/?£［（）,切时，不妨将水“流出”设想为“流入”.

当〃每增加一个单位增量△入时，根据鱼缸形状可知，函数。的变化，开始其增量

越来越大，经过中截面后增量越来越小，故。=/5）的图像是先凹后凸的，故选

B.

2.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情

况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图像，拟合了记忆保持量7U）与时间

7

-----x+1,OVxWl,

20

x（天）之间的函数关系/（x）=1Q1

--1—x—,1<XW30.

b202

则下列说法错误的是（

A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低

B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多

C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%

D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%

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答案D

解析由函数解析式可知大x）随着x的增加而减少，故A正确；

由图像可得B正确；

当1VXW30时，/（x）=-+—x--,则大9）=」+2X9—1=0.35,即9天后，小菲

52025202

的单词记忆保持量低于40%,故C正确；

火26）=3*26—景，故D错误，

3.（2022•郑州质检）水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度

如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论

断：

①0时到3时只进水不出水；

②3时到4时不进水只出水；

③4时到5时不进水也不出水.

则一定正确的论断是（填序号）.

答案①

解析由甲、乙、丙图可得进水速度为1,出水速度为2,结合丙图中直线的斜率

可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2,故①正确；

不进只出水时，蓄水量减少的速度为2,故②不正确；

两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0,故③不正确.

4.（2021・西安调研）为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规

律，统计显示，生长4年的树高为（米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长

时间（年）与树高六米）之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：®y=2'~a；

（2）y=a+log2Z；③中（其中“为正的常实数），拟合生长年数

与树高的关系最好的是（填写序号），估计该树生长8年后的树高为

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________米.

y

4

§..

2.•*

1*•

O\1234567/

答案②?

解析由散点图的走势，知模型①不合适.曲线过点6,3,则后三个模型的解析

式分别为②y=；+log2f；③④y=叱+；,当f=l时，代入④中，得y

样与图不符，易知拟合最好的是②.将，=8代入②式，得尸尹叱言（米）.

感悟提升1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化

快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，

选出符合实际情况的答案.

2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.

考点二二次函数模型

例1（1）某汽车销售公司在48两地销售同一种品牌的汽车，在4地的销售利润（单

位：万元）为6=4.卜一0.卜2,在8地的销售利润（单位：万元）为刃=2x,其中x

为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的

最大利润是（）

A.10.5万元B.l1万元

C.43万元D.43.025万元

（2）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本0（单位：元/100kg）

与上市时间从单位：天）的数据如下表：

时间，60100180

种植成本Q11684116

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间?

的变化关系：

Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=ab',

Q=aloght.

利用你选取的函数，求：

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①西红柿种植成本最低时的上市天数是;

②最低种植成本是元/100kg.

答案(1)C⑵①120②80

解析(1)设在4地销售该品牌的汽车x辆，则在8地销售该品牌的汽车(16—x)

辆，所以可得利润

y=4.1x—0.1x2+2(16—x)

=-0.1x2+2.1x+32

=-0.1(x-10.5)2+0.1X10.52+32.

因为xd[0,16]且xGN,所以当x=10或11时，总利润取得最大值43万元.

(2)因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当/=60和，=180时种植

成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关

系应该用二次函数。=aP+4+c,即。=a(f—120)2+加描述，将表中数据代入

可得

a(60—120)2+m=116,。=0.01,

,解得

\a(100-120)2+w=84,»/=80,

所以。=0.01(f—120)2+80,故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元

/100kg.

感悟提升1.二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定

要注意函数的定义域，否则极易出错.

2.解决函数的应用问题时，最后要还原到实际问题.

训练1(1)(2021•广州模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生

产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数。的函数，K(Q)

=40。一则总利润的最大值是万元.

(2)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为&%(即每销售100

元征税及元)，若每年销售量为I2J万件，要使附加税不少于128万元，则R

的取值范围是()

A.[4,8]B.[6,10]

C.[4%,8%]D.[6%,10%]

答案(1)2500(2)A

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解析(1)总利润40)=400—I。。—2ooo=—502+30。—2000=-

《(0—300)2+2500,则当0=300时，£(0)的最大值为2500万元.

(2)根据题意，要使附加税不少于128万元，

(30——7?|

需I2JX16OXH%2128,

整理得R2-i2R+32W0,解得4WRW8,即火£[4,8].

考点三指数、对数函数模型____________

例2(1)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有;的质量发生衰变.

若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少需要的年数是()

A.6B.5C.4D.3

答案C

解析设这种放射性物质最初的质量为1,经过x(xWN)年后，剩余量是八

则有

依题意得匕卜

则左》100,解得x24.

所以至少需要的年数是4.

(2)(2021•唐山联考)尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已

经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级”

之间的关系为lgE=4.8+1.5M.

①已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5

级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为

“破坏性地震”，若某次地震释放能量约10口焦耳，试确定该次地震的类型；

②2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本

地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取加=3.2)

解①该次地震释放能量约10口焦耳，即E=10i2代入坨£=4.8+1.5”,化简得

w=lgl^^=12^=48

1.51.5

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因为4.8>4.7,所以该次地震为“破坏性地震”.

②设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为百，瓦.

由题意知，1g£1=4.8+1.5X8=16.8,

^£2=4.8+1.5X9=18.3,

即£=10电8,及=1。1&3,

所以2=1015=10亚，取亚=3.2,得理=32.

E\E\

故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.

感悟提升指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，

将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指

数与对数的互化.

训练2(2021•贵阳调研)一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树，且每年砍

伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环

境，森林面积至少要保留原面积的%已知到今年为止，森林剩余面积为原来的?.

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<c<l),

则。(1—即(1—

解得x=l—乐.

故每年砍伐面积的百分比为1—8.

(2)设经过加年剩余面积为原来的冬，

则a(l—,把x=1一代入，

即呢=8，即铝/解得加=5・

故到今年为止，该森林已砍伐了5年.

考点四分段函数模型

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例3小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小

型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本四（x）万

元，在年产量不足8万件时，做x）=$2+x（万元）.在年产量不小于8万件时，加（X）

=&+项一38（万元）.每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能

X

全部售完.

⑴写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售

收入一固定成本一流动成本）

（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多

少？

解（1）每件产品售价为5元，

则x万件产品的销售收入为5x万元

当0<x<8时，

100吼3=35.斤阴

当x28时,L(x)=5x—X

—^r2+4x-3,0<x<8,

3

故£(%)=

,x28.

（2）当0<x<8时，

L（x）=一$+4x_3=一；（x_6尸+9；

当x=6时,£（x）取最大值为〃6）=9（万元）;

当x28时，£（x）=35—1xJ

W35—2。•学=15（万元）（当且仅当x=—,即x=10时，取等号）.

综上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润

为15万元.

感悟提升L分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其

看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再合到一起.要注意各段变量的范

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围，特别是端点值.

2.分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小得到最值.

训练3某校高三（1）班学生为了筹措经费给班上购买课外读物，班委会成立了一个

社会实践小组，决定利用暑假八月份（按30天计算）轮流换班去销售一种时令水果.

在这30天内每斤水果的收入p（元）与时间（天）满足如图所示的函数关系，已知日

销售量。（斤）与时间/（天）满足一次函数关系（具体数据如下表所示）.

（1）根据提供的图像和表格，写出每斤水果的收入p（元）与时间天）所满足的函数

关系式及日销售量0（斤）与时间（天）的一次函数关系式；

⑵写出销售水果的日收入六元）与t的函数关系式，并求这30天中第几天的日收

入最大？最大为多少元？

解（1）依题意可设

0</W20,

p=-

卜2什历,20<fW30,

当04W20时，函数？=粒+从的图像过点（0,2）,（20,4）得左1=土，bi=2；

当20<fW30时，函数p2=奴+历的图像过点（20,4）,（30,3）得依=一上，岳=

6.

~f+2,0<fW20,

10

所以p=

—―/+6,20<fW30.

10

令0=侬+〃，由表中数据得加=-1,77=40,所以0=—/+40（0<fW30）.

（2）由得

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一--/2+2/+80,04W20,

10

y=i

—Z2-10/+240,20</W30,

110

当0</W20时，6=一5户+27+80在（o,io）上单调递增，在（io,20）上单调递减,

所以当f=10时，巾有最大值为90元；

当204W30时，及=#—10/+240在（20,30）上单调递减，所以方可30,80）.

综合上述，在第十天时日收入最大，最大值为90元.

I分层训练•巩固提升

A级基础巩固

1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3

年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间（年）的函数关系图

像正确的是（）

cCC

ABCD

答案A

解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A,C图像符

合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.

2.（2022•绵阳诊断）某数学小组进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000

万元利润目标，准备制订激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时,

按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而

增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知

识，设计了如下函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.002］。°°心7.37,

1g7^0.845）（）

A.y=0.25xB.y=1.002*

C.y=log7x+1

答案C

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解析选项A,B,C均满足条件①，但当x>20时，A选项不满足条件②，所以

A不符合题意；

当x=1000时，有y=L002i。。。勺7.37>5,不符合条件②，所以B不符合题意；

而对于选项C,当10<xW1000时，^y.nax=log71000+1=31ogl0+1=—+

7lg7

1=4.550<5,且log7x+lW25%x恒成立，所以满足条件②③，故选项C符合题意，

故选C.

3.（2021•全国大联考）如图，矩形花园的边48靠在墙P0上，另外三边是由

篱笆围成的.若该矩形花园的面积为4平方米，墙足够长，则围成该花园所需

要篱笆的（）

Q

A.最大长度为8米

B.最大长度为4迫米

C.最小长度为8米

D.最小长度为4s米

答案D

解析设BC=a米，CD=b米，则ab=4,

所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为

2a+b=2a+~^2y2a--=4^2,

a\la

当且仅当2a即°=/时取等号.

a

故篱笆最小长度为4/米.

4.（2022・兰州质检）设光线通过一块玻璃，光线强度损失10%,如果光线原来的强

度为k（k>0）,通过x块这样的玻璃以后光线的强度为y,则、=左09'。£1^）,那

么光线强度减弱到原来的;以下时，至少通过这样的玻璃的块数为（参考数据：

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lg3^0.477)()

A.9B.10C.llD.12

答案C

解析由题意得左。哭个依〉。)，化得09<；,两边同时取常用对数，可得xlg0.9<

11_

1g因为lg0.9<0,所以x>'3=---电一”?七10.37,则至少通过11

31g0.921g3—1—0.046

块玻璃.

5.(2021•济南检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)

与声音强度M单位：W/n?)满足d(x)=91%端不.一般两人小声交谈时，声音的

等级约为54dB,在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63dB,那么

老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()

A.1倍B.10倍

C.100倍D.1000倍

答案B

解析设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为为W/n?,

X2W/m2,

根据题意得d(xi)=91g,：=63,

1X10"

解得xi=106,

d(x)=91g—=54,

j2felX1013

解得X2=107,所以坐=10,

X2

因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.

6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误

的是()

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万元

A.收入最高值与收入最低值的比是3：1

B.结余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同

D.前6个月的平均收入为40万元

答案D

解析由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1,

故A正确；

由题图可知，7月份的结余最高，为80—20=60（万元），故B正确；

由题图可知，1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同，故

C正确；

由题图可知，前6个月的平均收入为1x（40+60+30+30+50+60）=45（万元），

6

故D错误.

7.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期

望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度〃（单位：米）与时间f（单位：s）

之间的关系为〃⑺=-4.9於+14.7/+17,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地

面高度约为米.

答案28

解析因为仲）=—4.9P+14.7f+17,

所以烟花冲击后在爆裂的最佳时刻为

1.5,

此时/?(1.5)=-4.9X1.52+14.7X1.5+17^28.

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8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、

桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这

四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单

顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

（1）当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

（2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，

则x的最大值为.

答案（1）130（2）15

解析（1）顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60+80=140（元），超过了

120元可以优惠，所以当x=10时，顾客需要支付140—10=130（元）.

⑵由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的

金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此

时顾客支付的金额为（120—x）元，所以（120—力义80%2120X0.7,所以xW15.即x

的最大值为15.

9.（2021・武汉模拟）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一

起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率

为2.25%,若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这

1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息元.

（参考数据：1.0225521.118,1.040卜旬1.217）

答案99

解析将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，

则存满5年后的本息和为1000X（1+4.01%）5^1217（元），故共得利息1217—

1000=217（元）.

将1000元存入银行，则存满5年后的本息和为1000X（1+2.25%）5=1118（元），

即获利息1118—1000=118（元）.故可以多获利息217—118=99（元）.

10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，

该种鸟类的飞行速度。（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为o=a+Rog3,（其

中a,b是实数）.据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量

为90个单位时，其飞行速度为1m/s.

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⑴求出a,b的值；

⑵若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个

单位？

解（1）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为Om/s,此时耗氧量为30个

单位，

an

故有a+dlog3-=0,即a+b=O.

当耗氧量为90个单位时，速度为lm/s,

故有a+blog3,=l,即a+2b=1.

a+b=O,a=—\,

解方程组得

a+2b=1,b=T.

即a,b的值分别为-1和1.

（2）由⑴知，V=—l+log3^.

所以要使飞行速度不低于2m/s,则有。22,

故一l+log3寮2,解得。2270.

所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s时，其耗氧量至少要270

个单位.

11.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享

单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要

投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足产

-a+2,80WaW120,

=4\f2a—6,乙城市收益。与投入a（单位：万元）满足0="

32,120<aW160,

设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为7（x）（单位：万元）.

（1）当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；

（2）试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？

解（1）当x=128,即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，

所以川28）=4*而八区一6+；X112+2=88（万元）.

因此，此时公司的总收益为88万元.

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(2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240—x)万元,

G80,

依题意得

240—x280,

解之得80WxW160,

当80«20,即12(X240—x这160时,

人外=4缶一6+32

=4收+26<26+16^15.

当120WxW160,即80W240—xW120时,

外)=4缶-6+3240—x)+2

=-^X+4A/2X+56.

令/=4,则，6[2亚，4\/10],

所以y=-，2+4/t+56

=-%-8物2+88.

当/=8/，即x=128时，y取最大值88.

因为88—(26+16而)=2X(31-8而)>0,故/(x)的最大值为88.

因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收

益为88万元.

B级能力提升

12.(2022・保定质检)分子间作用力是只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间

的作用力，在一定条件下，两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导

致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷

的电荷量为4,这两个相距火的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用

能U，其计算式