B3微分形式的基本方程-课件

B3微分形式的基本方程

本章应掌握：在固定的控制体内建立动力学方程:

控制体是可变的质点系(开系统)。适于研究流体流动的微积分形式各基本方程。用微分形式的基本方程求解：应用要求详细了解流动过程各参数的变化规律，但流动过程在某处参数发生不连续变化，须采用积分形式方程。1ppt课件B3微分形式的基本方程

【第7讲】B3.1微分形式的质量守恒方程B3.2作用在流体元上的力2ppt课件B3.1微分形式的质量守恒方程

B3.1.1流体运动的连续性原理流体运动的连续性原理:如果流体的密度不变(不可压流体),流进控制体的流体物质(质量)应等于流出控制体的流体物质(质量).连续性原理是质量守恒定律在易变形的流体运动中的特殊体现.3ppt课件B3.1.2微分形式的连续性方程MzyxO取长方形控制体δxδyδz,沿x向流入控制体的流体质量为流出控制体的流体质量为沿x向净流出控制体的流体质量为沿y和z向净流出控制体的流体质量为在δt时间内控制体质量减少质量守恒:4ppt课件连续性方程连续性方程：向量表示:或微元控制体密度的局部增长率+微元控制体单位体积流出的质量等于零。或微团密度的相对增长率等于微团的相对体积膨胀率。可压流或不可压流粘性流或无粘性流定常流或非定常流5ppt课件不同条件下的连续性方程形式(1)不可压流(ρ=常数)：流体密度不变的流动.直角坐标系:柱坐标系:(2)可压流定常(∂ρ/∂t=0)流动:直角坐标系:一维定常流连续方程微分形式：d(ρAV)=0

或dρ/ρ=dA/A=dV/V6ppt课件例B3.1不可压流连续性方程设不可压流体在x向的速度分量为求y向的速度分量.解:不可压流连续性方程得7ppt课件例B3.2求流场分速度的表达式〖例〗有一三维不可压流场，已知其x和y向分速度为u=x2-y2z3，v=-（xy+yz+zx），求其z向分速度的表达式。解：∂u/∂x=2x，∂v/∂y=-（x+z）不可压流连续方程为:∂u/∂x+∂v/∂y+∂w/∂z=0

则∂w/∂z=-x+z积分得w=-xz+z2/2+C(x，y)满足题意结果有无穷多个，取其最简单情况，即C（x，y）=0，则w=-xz+z2/28ppt课件例B3.3判断流场可压性判断下列流场是否有可能为不可压流体流动。1)V=6(x+y2)I+(2y+z3)j+(x+y+4z)k2)V=2rsincos,V=2rcos2

。解：1)∂u/∂x+∂v/∂y+∂w/∂z=6+2+4=12≠0说明该流场是可压流场。

2)∂(rVr)/r∂r+∂V/r∂+∂Vz/∂z=2sincos+2sincos-4sincos=0说明该流场是不可压流场。9ppt课件例B3.4判断流场满足连续方程〖例〗判断下列流场是否满足连续方程。

V=-x/tI+3z3j-(z3/y+y)kρ=4ty

。解：∂ρ/∂t+u∂ρ/∂x+v∂ρ/∂y+w∂ρ/∂z+ρ(∂u/∂x+∂v/∂y+∂w/∂z)=4y+12z2t-4y-12z2t=0说明该流场满足连续方程。10ppt课件B3.2作用在流体元上的力

B3.2.1体积力和表面力1．体积力

体积力：外力作用在微团内均布质量的质心上。（它和微团的体积成正比,与其形状无关）单位体积上作用的体积力体积力强度(微团单位体积上作用的体积力)：体积力的合力：体积力的合力矩：

（r为微团相对参考点的向径）质量力：dFm=dm·am=dm（fxi+fyj+fzk）τδτδFbMOzyx11ppt课件2.表面力AδAδFsMOzyx表面力：外力是周围流体或作用在微团表面上(它和力作用面大小成正比)。是有限体积的流体表面上受到周围流体或物体的接触力(分布于有限体表面)。两种表面力:①沿表面内法线方向的压力;②沿表面切向的摩擦力。(流体内部不存在拉力和张力)表面应力：有限体表面微元面积上单位面积的表面力。（一点的流体静压强）

应力与它的作用面方向有关,作用面法向量以指向域外为正。表面力合力:n12ppt课件B3.2.2重力场zkOzyxg重力：在流场中构成重力场。单位质量流体上作用的体积力(重力)分量为:重力是有势力：势函数π:对任意存在势函数的体积力为:作用在单位质量流体微团上的体积力分量与势函数关系:13ppt课件B3.2.3流体应力场1.运动流体中一点的应力状态作用在通过该点的所有方位的面积元上的表面应力的总称。微元面δAx上的表面力:单位面积上的表面力合力:一点的应力矩阵(或应力张量)应力张量是对称张量(应力方阵是对称方阵)切应力分量两两相等:一点应力张量只有六个独立分量。pxxτxyτxzMδAxOzyx14ppt课件+δFδA+

δA-

δA-δFδFnnA-

nA+

应力场正应力：应力向量在作用面法线方向的分量(指向作用力面外为正,拉力;指向作用力面内为负,压力)。

切(剪)应力：应力向量在作用面切线方向的分量。性质:①相邻两微元面上的表面力是作用力和反作用力(大小相等方向相反)。T-n=-Tn②相邻两微元面上的正应力和切应力值都相等。T-n-n=Tnn,T-n-t=Tnt,T-n-s=Tns通过同一点不同面上的应力一般不相等。15ppt课件2.静止流体中的应力状态在静止流体中无切应力:只有法向应力:式中负号表示流体受压,因为流体在静止时只能承受压应力,不能承受拉应力.静压强p:静止流体中作用在一点各个方向的压应力均相等.理想(无粘)流体：流体中任意一点应力状态是各向同性张量。〖表明〗：任意面上的应力为正应力。（理想流体微团表面承受均匀分布的压强）pxxpzzxpyypnnOzy16ppt课件3.应力矩阵的常用表达式可压粘性流作剪切流动时,流体微团改变形状和体积,作用在一点各个方向的压应力不相等.法向应力平均值:压强:平均压强.附加法向应力(σx,σy,σz):表示在一点法向应力分量中偏离平均压强的部分,与微团的变形率有关.应力矩阵为pxxpzzxpyypnnOzy压强项偏应力项由运动产生17ppt课件例B3.5线性剪切流:应力状态在不可压牛顿粘性流体的平面流动中,一点的附加法向应力与线应变成线性关系:切应力为平面流场为u=ky,v=0(k为常数)求平面线性剪切流的应力状态.解:附加法向应力法向应力:切向应力:18ppt课件【第8讲】B3.3微分形式的动量方程B3.4纳维-斯托克斯方程B3.5边界条件和初始条件19ppt课件B3.3微分形式的动量方程MzyxO取质量为δm长方形控制体,在外力δF作用下在速度场V中运动,运动方程为外力包括体积力和表面力:在直角坐标系体积力分量:沿x方向的表面力合力:20ppt课件流体运动一般微分方程MzyxO直角坐标系中流体动量方程的微分形式(流体运动一般微分方程)适用于任何流体:21ppt课件理想流体的微分方程理想流体忽略粘性，应力状态为各向同性：

Tij=－pδij微元控制体单位体积流体上的局部动量增长率与通过微元控制体的单位体积流体的动量输出量之和等于微元控制体单位体积流体的质量力与表面力之和。流体微团加速度=微团上单位质量的质量力+表面力22ppt课件B3.4纳维-斯托克斯(N-S)方程均质不可压牛顿流体,粘性流体运动微分方程：质量×加速度(惯性力)=体积力+压差力+粘性力矢量式:23ppt课件葛罗米柯方程纳维-斯托克斯(N-S)方程：粘性流体运动微分方程可写成葛罗米柯方程：

∂u/∂t+∂(V2/2)/∂x+2(ωyw-ωzv)=X-（1/ρ)∂p/∂x∂v/∂t+∂(V2/2)/∂y+2(ωzu-ωxw)=Y-（1/ρ)∂p/∂y∂w/∂t+∂(V2/2)/∂z+2(ωxv-ωyu)=Z-（1/ρ)∂p/∂z〖讨论〗①欧拉和葛罗米柯方程都只适用于理想流体(忽略粘性)②它们即适用于可压流(高速气体),也适用于不可压流;③对于气体,方程中X,Y,Z与惯性力和压力相比很小,可略去,对液体不能略;④对无旋运动,用葛罗米柯方程较方便,旋转速度项消失,方程简化。24ppt课件B3.5边界条件与初始条件1.边界条件流体边界包括固体壁面﹑出入口截面﹑无穷远处﹑两种流体的截面.(1)固体壁面:对不可压流动,粘性流体必须满足固壁不滑移条件当固壁静止时,固壁上的流体的速度也静止,v=0无粘性流体:流体法向速度与固壁法向速度连续.25ppt课件(2)特殊的流体边界对内流流场,给出出入口截面的速度和压强对外流流场,必须给出无穷远处的速度和压强26ppt课件(3)两种流体的界面流体的交界面:气液界面﹑不相溶的液液面界面两侧的粘性流体在界面上的速度﹑压强和切应力应连续.气液界面:自由液面上的压强为常值,液面上的切应力为0.V1V2p2p1μ2μ127ppt课件2.初始条件当流场为非定常时,给出某初始时刻t=t0的相关流动参数的分布值.给出的初始条件是流体从静止开始的值,其速度和压强等值均为常数.当流场为定常时,无需初始条件.28ppt课件例B3.6沿斜坡的定常流:N-S方程与边界条件牛顿粘性流体(ν=μ/ρ)在重力下沿倾角θ的斜坡做定常层流流动大气压为pa=0,流层深度为h,速度﹑体积力和压强分别为验证是否满足N-S方程与边界条件.解:由平面流动N-S方程满足N-S方程.满足边界条件:在斜坡上满足不滑移条件:在液面上切应力为0:压强为大气压强:29ppt课件【第9讲】B3.6压强场30ppt课件B3.6压强场压强:力/长度2，符号为p,单位:(帕-Pa)kg/m.s2性质:无粘流体内部一点的压强,其值与压力方向无关.①固体重量引起的压强只沿重力方向传递。②流体平衡时压强可等值地向各个方向传递。31ppt课件B3.6.1静止重力流体中的压强分布1.均质流体压强一般表达式静止流体中影响压强分布的力只有体积力.在重力场,均质流体处静止状态:由N-S方程得:〖表明〗压强p与x,y无关.故:〖表明〗静止流体中z方向的压强梯度是由单位体积流体的重力决定的,负号表示随z的增加压强逐渐减小.积分得:(C为积分常数,由边界条件定)在均质静止流体中,压强在垂直方向为线性分布.32ppt课件2.均质液体压强公式自由液面上的坐标为z0,压强为p0:确定积分常数得:淹深:用自由液面下的深度h=(z0-z)表示一点的垂直位置.均质静止液体压强公式:均质静止液体压强分布的特征:(1)在垂直方向,压强与淹深成线性关系.(2)水平面是等压强面(等压面).等压面非等压面非等压面p0z0zzhxyp33ppt课件等压面〖定义〗:流体中压强相等各点组成的平面或曲面。在静止流体中,静压强相等的各点所组成的面。等压面上：p=C，或dp=0等压面微分方程：Xdx+Ydy+Zdz=0等压面特性：①第一特性：在平衡的流体中，通过每一点的等压面必与该点流体所受的质量力相垂直。②第二特性：等压面就是等势面。在重力场，z=C表示为水平面族。③第三特性：两种密度不同而又在不相混的流体处于平衡时，它们的分界面必为等压面。在重力场，两种液体的分界面不但是等压面，而且是水平面。34ppt课件静止流场的主要性质①有势力场作用下静止流场中等压面、等密面和等势面三者重合。②两种互不掺混的均质流体的静止交界面是等势面。35ppt课件图算法1.压强分布图

受压面一侧,一定比例尺的矢量线段,表示压强的大小和方向.h2h2h1ρghhh1hρghρghρg(h1-h2)ρgh1ρgh2ρgh1ρgh2hh2hh136ppt课件

图算法图算法的步骤:先绘出压强分布图,总压力的大小等于压强分布图的面积,乘以受压面的宽度:P=bS总压力的作用线通过压强分布图的形心,作用线与受压面的交点为总压力的作用点.αh2yDPSCBAαh1bD37ppt课件例B3.7静压强分布图38ppt课件p0zyHohzρgHp0重力场中静止流体的压强分布重力场中的欧拉平衡方程为：

dp=-ρdU=-ρgdz（1）不可压均质流在重力场中静平衡方程静压强基本公式：p+ρgz=C

或p/ρg+z=C①静压强公式物理意义

z代表单位重力流体的位置势能，称为位置水头；

p/ρg代表单位重力流体的压力势能，称为压强水头。39ppt课件p0zyHohzρgHp0静压强分布规律设z=z0为大气与液体的交界面，该处压强为大气压pa，则const=pa+ρgz0，即压强分布为：

p=pa+ρg（z0

–z）

重力作用下单位质量流体所受质量力的三分量为：X=0，Y=0，Z=-g则dp=-ρgdz积分得：p=-ρgz+C

（积分常数C由边界条件确定）在自由液面z=H处，设压强为p0得C=p0+ρgH，则静止液体内部的压力分布规律为：

p=p0+ρg(H–z)=p0+ρgh40ppt课件静压强分布规律〖说明〗1）在重力下液体内部压强随深度按线性规律变化。2）在重力作用下,静止液体中深度相同的各点上静压强相同，故等压面是水平面。3）在重力作用下静止液体中任一点的绝对压强p由自由液面上液体静压强p0

和剩余压强ρgh组成。4）静止液体中任一点的压力能p/ρg和位能z之和为常数,即压力能和位能可相互转换,但总能量不变。

p/ρg+z=C5）液体内部任一点的压强都包含了液面压强p0,即液面压强可等值地在液体内部传递,而且能放大或缩小力,也能改变力的方向。41ppt课件B3.6.2压强计示方式与单位1.压强计示方式两种计示流体静压强的基准方式:完全真空,大气压强完全真空(绝对零压强):理想中的无任何物质存在的空间的压强.绝对压强[pab或p(ab)]:以完全真空为基准的压强(只有正值).表压强(相对压强)[pg或p(g)]:以当地大气压(pa)为基准的压强.当表压强为负值时,即绝对压强低于大气绝对压强时,为流体处于真空状态(或负压状态);真空压强[pv或p(v)]:低于大气压强部分的绝对值(只有正值).真空度(%):用百分比表示真空的程度.压强之间相互关系:流体静压强均用表压强.p=pgpp1绝对压绝对压表压真空度表压(-)p2o绝对压强42ppt课件2.压强单位①帕:国际单位制(SI)为帕(帕斯卡)Pa:1Pa=1N/m2=1kg/m.s21千帕:1kPa=103N/m2,1兆帕:1MPa=106N/m2,②毫米汞柱:(单管测压计)用液柱高度计量压强的单位:米柱(mH2O)和毫米汞柱(mmHg)h=pA/ρg(h为A点的测压管高度)③大气压:用海平面上平均大气压为标准大气压单位(atm):1atm=1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O43ppt课件p

αpal

Δz

倾斜式微压计的压强测量公式压强分布为：p=pa+ρg（z0

–z）

（z=lsinα，l－斜管液面升高的长度）p=pa

–ρglsinα（α－斜管与水平面交角）修正：p=pa–ξρglsinα（ξ－修正系数）44ppt课件例B3.8单管和U形管测压计封闭容器中液体密度ρ,用单管和U形管测压计测量容器壁内A点的压强,推导pA与测压管液面高度关系.解:(1)若pA>0,接单管测压计

pA=pa+ρgh(绝)=ρgh(表)>0(A点压强高于大气压强)(2)若pA<0,接U形管测压计由等压面1-1平衡方程:pA+ρgh1+ρmgΔh=0pA=-ρgh1-ρmgΔh<0(A点压强低于大气压强)hAρρΔhAh1ρm单管测压计U管测压计1145ppt课件例B3.9U形管差压计两封闭容器A,B分别充满密度为ρ流体,用U形管测量A,B两点的压差Δp,推导Δp与测压管液位差Δh的关系.解:取0-0