2022年浙江省杭州市安吉中学高三数学理测试题含解析

2022年浙江省杭州市安吉中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f(x)=logax（a＞0且a≠1）的定义域为（，+∞），则在整个定义域上，f(x)＜2恒成立的充要条件充是（

）A．0＜a＜

B．0＜a≤

C．a＞且a≠1

D．a≥且a≠1参考答案：B当a>1时,当x→+∞时,f(x)→+∞,则f(x)<2不成立;当0<a<1时,函数f(x)=logax在(,+∞)上是减函数,由f()≤2,可得0＜a≤

2.已知双曲线过点，过左焦点的直线与双曲线的左支交于两点，右焦点为，若，且，则的面积为（

）A．16

B．

C.

D．参考答案：A3.如果y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①

函数y=f（x）在区间内单调递增；②

函数y=f（x）在区间内单调递减；③

函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；④

当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤

当x=时，函数y=f（x）有极大值.则上述判断中正确的个数为A.1个

B.2个

C.3个

D.5参考答案：A4.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（

）A．7

B．9

C.10

D．11参考答案：B5.定义域为R的函数满足，当[0，2)时，若时，恒成立，则实数t的取值范围是(

)A．[-2，0)(0，l) B．[-2，0)[l，+∞)C．[-2，l] D．(，-2](0，l]参考答案：D略6.已知集合，集合，则集合A.

B.

C.

D.参考答案：D7.已知，(0，π)，则=(A)1

(B)

(C)

(D)1参考答案：A故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。

8.将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（）A．f（x）=﹣sin2x B．f（x）的图象关于x=﹣对称C．f（）= D．f（x）的图象关于（1，0）对称参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式，再利用正弦函数、余弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）=cos[2（x+）+]=cos（2x+）=﹣sin（2x+）的图象，故排除A；当x=﹣时，f（x）=1，为函数的最大值，故f（x）的图象关于x=﹣对称，故B正确；由于f（）=﹣2sin=﹣2sin=﹣1，故排除C；当x=1时，f（x）=﹣sin（2+）≠0，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于基础题．9.已知在R上是奇函数，且

(

)

A.

B.2

C.

D.98参考答案：A10.已知圆被圆C截得的弦长为等于

（

）

A．

B． C．

D．参考答案：答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知2﹣=（﹣1，），=（1，）且，||=4，则与的夹角为

．参考答案：60°【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模；平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】利用向量的数量积的坐标形式的公式求出，利用向量数量积的运算律展开，将已知代入求出，再利用向量的数量积公式求出两向量夹角的余弦，求出夹角．【解答】解：设的夹角为θ∵∴即∵∴∴∴θ=60°故答案为60°【点评】本题考查向量数量积的坐标公式、向量数量积的运算律、利用向量的数量积求向量的夹角．12.直线的倾斜角为，则的值是___________参考答案：3略13.已知函数若成立，则___________。参考答案：或略14.在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有

.参考答案：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值略15.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则实数的取值范围为 参考答案：

16.设n=dx，则二项式展开式中常数项为________．参考答案：60n=dx故得到n=6,=常数项k=2，代入得到60.故答案为：60.点睛：这个题目考查的是二项式定理的应用，和积分的应用。一般二项式的小题，考查的有求某些项的和，求某一项的系数，或者求某一项。要分清楚二项式系数和，和系数和。求和时注意赋值法的应用。17.以下四个命题中，正确命题个数

（1）命题“若f(x)是周期函数，则f(x)是三角函数”的否命题是“若f(x)是周期函数，则f(x)不是三角函数”；（2）命题“存在”的否定是“对于任意”；（3）在△ABC中，“”是“”成立的充要条件；（4）若函数f(x)在(2015,2017)上有零点，则一定有；（5）函数y＝lnx的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直.参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=1，S5=15，数列{bn}的前n项和Tn满足Tn=（n+5）an（1）求an（2）求数列{}的前n项和．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）运用数列的递推式：当n=1时，b1=T1；n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1．可得bn=2n+4，则==（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，a2=1，S5=15，即为a1+d=2，5a1+×5×4d=15，解得a1=d=1，则an=a1+（n﹣1）d=n，n∈N*；（2）Tn=（n+5）an=n（n+5），当n=1时，b1=T1=6；n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1=n（n+5）﹣（n﹣1）（n+4）=2n+4，上式对n=1也成立．则==（﹣），即有数列{}的前n项和为（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（1﹣﹣﹣）=﹣﹣．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列递推式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.(本小题满分l0分)

在ABC中，角A、B、C的对边长分别是a、b、c，若(I)求内角B的大小；

(Ⅱ)若b=2，求ABC面积的最大值．参考答案：（本小题满分10分）解：（I）解法一：∵，由正弦定理得：，即.………………2分在中，，∴，………………3分∴，∴.………………5分解法二：因为，由余弦定理，化简得，……………2分又余弦定理,……………3分所以,又,有.……………5分（II）解法一：∵，∴，……………6分.∴，………………8分∴．………………9分当且仅当时取得等号．……10分解法二：由正弦定理知：，.………………6分∴,，………………8分∵，∴，∴，………………9分∴，即的面积的最大值是.………………10分略20.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（θ为参数，0＜r＜4），曲线C2：（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线C1交于N点，与曲线C2交于O，P两点，且|PN|最大值为2．（1）将曲线C1与曲线C2化成极坐标方程，并求r的值；（2）射线θ=α+与曲线C1交于Q点，与曲线C2交于O，M两点，求四边形MPNQ面积的最大值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C1：（θ为参数，0＜r＜4），利用平方关系可得：普通方程为，利用互化公式可得极坐标方程，曲线C2：（θ为参数），利用平方关系可得普通方程，利用互化公式可得极坐标方程．射线与曲线C1交于N点，与曲线C2交于O，P两点，且|PN|最大值为2，可得r=2．（2）由题意可得：N（r，α），Q，P，M．S四边形MPNQ=S△OPM﹣S△ONQ，利用三角函数的单调性值域即可得出．【解答】解：（1）曲线C1：（θ为参数，0＜r＜4），普通方程为x2+y2=r2（0＜r＜4），极坐标方程为C1：ρ=r（0＜r＜4），曲线C2：（θ为参数），普通方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，极坐标方程为C2：ρ=4sin（θ+），射线与曲线C1交于N点，与曲线C2交于O，P两点，且|PN|最大值为2，r=2．（2）由题意可得：N（r，α），Q，P，M．∴S四边形MPNQ=S△OPM﹣S△ONQ=××sin﹣=cosα﹣2=+4﹣2≤4+2．当=1时取等号，∴四边形MPNQ面积的最大值是4+2．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知椭圆的焦距与短轴长相等，且点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P为椭圆C上异于左、右顶点A、B的任意一点，过原点O作直线PA的垂线交直线PB于点M，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为.①求证：与之积为常数；②求点M的轨迹方程.参考答案：（1）（2）①证明见解析，②【分析】（1）由已知条件求得椭圆的,可得出其标准方程;（2）①设，直线PA的方程为：，直线PB的方程为：，可得出的值，可得证；②设直线OM的方程为：，联立，再由①的结论代入可得轨迹方程.【详解】（1）椭圆C的焦距与短轴长相等，，，点在椭圆C上，，又，，，椭圆C的标准方程为.（2）①证明：由（1）知，，，设，直线PA的方程为：，直线PB的方程为：，则，为常数；②由题意知，直线OM的方程为：，由，得，，，点M的轨迹方程为.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中的定值问题,以及求动点的轨迹方程,解决的关键在于设点,设直线的方程,联立得交点的坐标的关系,属于常考题,难度题.22.已