2022年湖南省益阳市陶澍实验高级中学高三数学理模拟试题含解析

2022年湖南省益阳市陶澍实验高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，已知平面平面，、是平面与平面的交线上的两个定点，，且，，，，，在平面上有一个动点，使得，则的面积的最大值是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：C2.如图所示，f（x）是定义在区间[﹣c，c]（c＞0）上的奇函数，令g（x）=af（x）+b，并有关于函数g（x）的四个论断：①对于[﹣c，c]内的任意实数m，n（m＜n），恒成立；②若b=0，则函数g（x）是奇函数；③若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根；④若a＞0，则g（x）与f（x）有相同的单调性．其中正确的是（）A．②③B．①④C．①③D．②④参考答案：D略3.给出如下四个命题：

①若“且”为假命题，则、均为假命题；

②若等差数列的前n项和为则三点共线;

③“?x∈R，x2＋1≥1”的否定是“x∈R，x2＋1≤1”;

④在中，“”是“”的充要条件．

其中正确的命题的个数是

（

）

A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：C因为命题1中，且命题为假，则一假即假，因此错误，命题2中，因为是等差数列，因此成立。命题3，否定应该是存在x,使得x2＋1<1”，命题4中，应该是充要条件，故正确的命题是4个。选C4.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，－b），若，则双曲线的离心率值为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：由得，又，，则，，所以有，即，从而解得，又，所以，故选.5.设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A．α＞β B．α＜β C．α+β＞0 D．α2＞β2参考答案：D考点： 正弦函数的单调性．

专题： 综合题．分析： 构造函数f（x）=xsinx，x∈，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x∈[0，]与x∈[﹣，0]上的单调性，从而可选出正确答案．解答： 解：令f（x）=xsinx，x∈，∵f（﹣x）=﹣x?sin（﹣x）=x?sinx=f（x），∴f（x）=xsinx，x∈为偶函数．又f′（x）=sinx+xcosx，∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[﹣，0]单调递减；∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立；故选D．点评： 本题考查正弦函数的单调性，难点在于构造函数f（x）=xsinx，x∈，通过研究函数f（x）=xsinx，的奇偶性与单调性解决问题，属于难题．6.设a，b均为不等于1的正实数，则“”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】首先通过对数运算可判断出时，，得到充分条件成立；当时，可根据对数运算求出或或，得到必要条件不成立，从而可得结果.【详解】由，可得：，则，即可知“”是“”的充分条件由可知，则或或或可知“”是“”的不必要条件综上所述：“”是“”的充分不必要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，关键是能够通过对数运算来进行判断.7.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，，，，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（

）． A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②参考答案：D在坐标中，标出已知点，可知选择④和②，∴选择．8.已知条件P：|x|>1，条件q:x<-2，则是的(A)充分而不必要条件

（B)必要而不充分条件(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：A9.若在区间(-∞，1]上递减，则a的取植范围为A、[1，2)

B、[1,2]

C、[1,+∞)

D、[2，+∞)参考答案：A函数的对称轴为，要使函数在(-∞，1]上递减，则有，即，解得，即，选A.10.设函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为（

）A. B.C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

(2012·佛山模拟)非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的________条件．参考答案：充分不必要12.设函数则

．参考答案：答案：解析：。13.已知是偶函数，且

.参考答案：3略14.抛物线的焦点为F,其准线与双曲线相交于两点,若为等边三角形,则_____________参考答案：615.二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于

.参考答案：本题主要考查二项式定理.由题意可得2n=4096,则n=12.则通项,令得r=3，所以常数项为16.已知函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在区间上有零点，则ab的最大值是．参考答案：【考点】3W：二次函数的性质．【分析】对判别式△和在区间上的零点个数进行讨论得出ab的最值．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在区间上有零点，∴△=a2﹣4b≥0，（1）若△=0，即b=时，f（x）的零点为x=﹣，∴0≤﹣≤1，即﹣2≤a≤0，∴ab=，∴当a=0时，ab取得最大值0；（2）若△＞0，即b＜，①若函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在区间上有一个零点，则f（0）?f（1）≤0，∴b（1+a+b）≤0，即b+b2+ab≤0，∴ab≤﹣b2﹣b=﹣（b+）2+，∴ab的最大值是；②若函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在区间上有两个零点，∴，即显然ab≤0，综上，ab的最大值为．17.已知线段PQ两端点的坐标分别为P（﹣1，1）和Q（2，2），若直线l：mx+y﹣m=0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是．参考答案：m≤﹣2或m≥【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题；数形结合；综合法；直线与圆．【分析】利用直线l：x+my+m=0经过定点，A（0，﹣1），求得直线AQ的斜率kAQ，直线AP的斜率kAP即可得答案．【解答】解：直线mx+y﹣m=0等价为y=﹣m（x﹣1）则直线过定点A（1，0），作出对应的图象如图：则由图象可知直线的斜率k=﹣m，满足k≥kAQ或k≤kAP，即﹣m≥=2或﹣m≤=﹣，则m≤﹣2或m≥，故答案为：m≤﹣2或m≥．【点评】本题考查：两条直线的交点坐标，考查恒过定点的直线，考查直线的斜率的应用，考查作图与识图能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量，，设函数，.（1）求的最小正周期与最大值；（2）在中，分别是角的对边，若的面积为，求的值.参考答案：略19.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，底面是等腰梯形，且，，，，为的中点，为的中点，且．求证：平面平面；求证：平面；求四棱锥的体积．参考答案：证明：是等边三角形，是的中点，……1分在中，，，……2分在中，……3分……4分，平面，平面平面……5分平面平面平面……6分20.如图，已知椭圆的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2.（1）求圆C2的标准方程；（2）已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线交椭圆C1于P，M两点.（i）求证：；（ii）试探究是否为定值.参考答案：（1）；（2）（i）详见解析；（ii）是定值.【分析】（1）由已知可得：直线的方程为：，利用四边形的内切圆为可求得内切圆的半径，问题得解。（2）（i）设切线，联立直线方程与椭圆方程可得：，即可求得，所以，问题得证。（ii）①当直线的斜率不存在时，，②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立直线方程与椭圆方程可得：，即可求得：，同理可得：，问题得解。【详解】（1）因为，分别为椭圆的右顶点和上顶点，则，坐标分别为，可得直线的方程为：则原点O到直线的距离为，则圆的半径，故圆的标准方程为.（2）（i）可设切线，将直线的方程代入椭圆可得，由韦达定理得：则，又与圆相切，可知原点O到的距离，整理得，则，所以，故.（ii）由知，①当直线的斜率不存在时，显然，此时；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：代入椭圆方程可得，则，故，同理，则.综上可知：为定值.【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的几何关系，还考查了点到直线距离公式，考查了韦达定理及向量垂直的数量积关系，考查分类思想及计算能力，属于难题。

21.（本题满分12分）为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选。假定某基地有4名武警战士（分别记为、、、）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为.这三项测试能否通过相互之间没有影响.（Ⅰ）求能够入选的概率； （II）规定：按入选人数得训练经费（每入选1人，则相应的训练基地得到3000元的训练经费），求该基地得到训练经费的分布列与数学期望.参考答案：（I）设通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P则能够入选包含以下几个互斥事件：

（4分）（Ⅱ）记表示该训练基地得到的训练经费,则的