辽宁省锦州市第二十三中学高三数学理模拟试卷含解析

辽宁省锦州市第二十三中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等于（） A．±1 B． ﹣3或1 C． ±3 D． ﹣1或3参考答案：考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 计算题．分析： 通过f（t+）=f（﹣t），判断函数的对称轴，就是函数取得最值的x值，结合f（）=﹣1，即可求出m的值．解答： 解：因为f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），所以函数的对称轴是x=，就是函数取得最值，又f（）=﹣1，所以﹣1=±2+m，所以m=1或﹣3．故选B．点评： 本题是基础题，考查三角函数的对称轴的应用，不求解析式，直接判断字母的值的方法，考查学生灵活解答问题的能力．2.一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短路程是A.

B.

C.4

D.5参考答案：【知识点】圆的方程和性质

H3【答案解析】C

解析：作出如下示意图：圆是圆关于轴对称的圆，则圆的圆心为：，半径为1，则最短的距离为故选：C【思路点拨】先作出圆C关于x轴的对称的圆C′，问题转化为求点A到圆C′上的点的最短路径，方法是连接AC′与圆交于B点，则AB为最短的路线，利用两点间的距离公式求出AC′，然后减去半径即可求出．3.若复数，则A.

1

B.

0

C.

D.

参考答案：A.故选A.4.已知函数，点在函数的图像上过点的切线分别为，与的交点的横坐标为。设，则（

）

（A）

（B）1

（C）

（D）参考答案：A略5.（多选题）已知函数，，则（

）A. B.f(x)在区间上只有1个零点C.f(x)的最小正周期为π D.为f(x)图象的一条对称轴参考答案：ACD【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可．【详解】解：已知函数，，则、正确，、当，，即，，在区间上只有2个零点，则在区间上只有1个零点错误，、的最小正周期为，正确、当时，函数，，所以为图象的一条对称轴，正确．故选：ACD．【点睛】本题考查二倍角公式和三角函数的性质，属于中档题．6.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（

） A．若

B．若 C．若

D．若则参考答案：D略7.已知不等式的解集，则函数单调递增区间为A.(- B.(-1,3)

C.(-3,1)

D.(参考答案：C略8.已知函数，设，若，则的取值范围是

.参考答案：当时，。当时，由得。所以。而，所以，即，所以的取值范围是。9.如果函数是奇函数，则函数的值域是(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略10.已知函数，其中，记函数满足条件为事件A，则P（A）等于

（

） A．

B．

C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线在点（0,1）处的切线方程为

参考答案：y=3x+1略12.已知函数，若在区间上的最大值、最小值分别为，则=

．参考答案：4略13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________参考答案：

14.若函数在其定义域上的最小值为0，则a2b的最小值为

参考答案：15.已知函数的定义域为，部分对应值如右图：的导函数的图象如图所示，下列关于的命题：①函数是周期函数；②函数在［0，2］是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么t的最小值为0；④函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是___________．参考答案：②③④略16.执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是()A．8

B．5C．3

D．2参考答案：C17.已知两个单位向量，的夹角为30°，，.若，则正实数=____________参考答案：t=1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立.（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：.

参考答案：（Ⅰ）解：由已知得：.

由为偶函数，得为偶函数，

显然有.

又，所以，即.

又因为对一切实数恒成立，即对一切实数，不等式恒成立.

显然，当时，不符合题意.

当时，应满足

注意到

，解得.

所以.

（Ⅱ）证明：因为，所以.要证不等式成立,即证.

因为,

所以

.所以成立.

19.（本小题满分14分）已知函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）求的单调区间．

参考答案：（Ⅰ）由得………2分

令，则

当时，在上单调递增．…………4分

的取值范围是．…………6分（Ⅱ）则…………8分①当时，是减函数．时，是增函数．…………11分②当时，是增函数．综上；当时，增区间为，，减区间为；当时，增区间为．…………14分20.已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：)．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．参考答案： 解：（Ⅰ）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1，，即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），得⊙C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（Ⅱ）圆心C到直线l的距离，所以直线l和⊙C相交．考点： 简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程．分析： （Ⅰ）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；（Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．解答： 解：（Ⅰ）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1，，即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），得⊙C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（Ⅱ）圆心C到直线l的距离，所以直线l和⊙C相交．点评： 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及直线的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题21.（12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？参考答案：【考点】：函数模型的选择与应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴=．综合①②可得，．（2）由（1）可知，，①当0＜x＜80时，=，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，=1200﹣200=1000，当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．【点评】：本小题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题建立的数学模型为分段函数，对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．属于中档题．22.某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2011级的年龄在18～19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名，测量他们的身高，数据如下（单位：cm）：南方：158,170,166,169,180,175,171,176,162,163；北方：183,173,169,163,179,171,157,175,178,166.(Ⅰ)根据抽测结果，画出茎叶图，并根据你画的茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出两个统计结论；(Ⅱ)若将样本频率视为总体的概率，现从来自南方的身高不低于170的大学生中随机抽取3名同学，求其中恰有两名同学的身高低于175的概率.参考答案：(1)茎叶图如右：

统计结论：（给出下列四个供参考，考生只要答对其中两个即给满分，给