广东省阳江市阳春第五高级中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

广东省阳江市阳春第五高级中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则参考答案：A略2.已知R是实数集，A. B. C. D.参考答案：C3.集合P={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，Q={﹣1，0，1，2，3}，则P∩Q=（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即P=（﹣1，3），∵Q={﹣1，0，1，2，3}，∴P∩Q={0，1，2}，故选：A．4.若是纯虚数，则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略5.已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.定义在R上的函数满足，当时，，则（）

A．B．

C．D．参考答案：D由题意可知，函数的图象关于y轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：∵且,而函数在是减函数，∴，选D.

7.已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是(

)A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，1）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】化函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点为函数f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象有两个不同的交点，从而解得．【解答】解：∵f（x）﹣（ax2﹣x+1）=0，∴f（x）+x﹣1=ax2，而f（x）+x﹣1=，作函数y=f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象如下，，结合选项可知，实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：D．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用．8.函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略9.已知向量与不共线，且，若，则向量与的夹角为A． B．C． D．0参考答案：A10.（5分）已知x，y满足（x﹣1）2+y2=16，则x2+y2的最小值为（）A．3B．5C．9D．25参考答案：C考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由圆的方程可得其参数方程，从而可表示x2+y2，即可求得最小值．解答：解：∵（x﹣1）2+y2=16，∴可令x=1+4cosα，y=4sinα，∴x2+y2=（1+4cosα）2+（4sinα）2=17+8cosα，∴cosα=﹣1时，x2+y2的最小值为9．故选C．点评：本题考查圆的方程，考查圆的参数方程，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集是___________参考答案：12.设a=0.32，b=20.3，c=log25，d=log20.3，则a，b，c，d的大小关系是（从小到大排列）参考答案：d＜a＜b＜c考点： 对数值大小的比较；指数函数的单调性与特殊点．专题： 计算题．分析： 由0＜a=0.32＜0.30=1，20=1＜b=20.3＜2，c=log25＞log24=2，d=log20.3＜log21=0，能比较a，b，c，d的大小关系．解答： 解：∵0＜a=0.32＜0.30=1，20=1＜b=20.3＜2，c=log25＞log24=2，d=log20.3＜log21=0，∴d＜a＜b＜c．故答案为：d＜a＜b＜c．点评： 本题考查对数值大小关系的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数和指数函数性质的灵活运用．13.=．参考答案：3【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】借助指数函数的运算法则，先把原式等价转化为，由此能够得到它的极限值．【解答】解：==3．故答案为：3．【点评】本题考查极限的性质和运算，解题时要注意指数运算法则的合理运用．14.已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则f（2017）+f（2018）=．参考答案：﹣1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质进行转化求出函数的周期，进行转化求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（1+x）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），则f（x+2）=﹣f（x），即f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，且f（0）=0，则f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1，f（2018）=f（4×504+2）=f（2）=﹣f（0）=0，则f（2017）+f（2018）=﹣1+0=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系推出函数的周期性是解决本题的关键．15.已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为

．参考答案：16.设a为常数，函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x+a）在[0，+∞）上是增函数，则a的取值范围是[2，+∞）．参考答案：考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：写出f（x+a）的表达式，根据二次函数图象可得其增区间，由题意知[0，+∞）为f（x+a）的增区间的子集，由此得不等式，解出即可．解答：解：因为f（x）=x2﹣4x+3，所以f（x+a）=（x+a）2﹣4（x+a）+3=x2+（2a﹣4）x+a2﹣4a+3，则f（x+a）的增区间为[2﹣a，+∞），又f（x+a）在[0，+∞）上是增函数，所以2﹣a≤0，解得a≥2，故答案为：[2，+∞）．点评：本题考查二次函数的单调性，属中档题，若函数f（x）在区间（a，b）上单调，则（a，b）为f（x）单调区间的子集．17.函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，则＋的最小值为________．参考答案：4函数y＝a1－x的图像过点(1,1)，故m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，故＋的最小值是4.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)设函数.（I）求函数的最小值；（Ⅱ）若，且，求证：；（Ⅲ）若，且，求证：.参考答案：解：（I），令，得，所以在递减，在递增.所以.（Ⅱ）由（I）知当时，，又，，∴∴.（Ⅲ）用数学归纳法证明如下：1°当时，由（Ⅱ）可知，不等式成立；2°假设()时不等式成立，即若，且时，不等式成立现需证当()时不等式也成立，即证：若，且时，不等式成立.证明如下：设，则......①同理

.....②由①+②得：又由（Ⅱ）令，则，其中，则有∴∴

∴当时，原不等式也成立.综上，由1°和2°可知，对任意的原不等式均成立.19.如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F为线段DE上的动点．（Ⅰ）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）若二面角E﹣BC﹣F与二面角F﹣BC﹣D的大小相等，求DF长．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；向量语言表述线面的垂直、平行关系；二面角的平面角及求法．【分析】（I）连接AC，BD交于O，连OF，利用三角形的中位线平行于底边得到OF∥BE，利用直线与平面平行的判定定理得证．（II）法一：利用二面角的平面角的定义，通过作辅助线，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质找出二面角E﹣BC﹣D的平面角与二面角F﹣BC﹣D的平面角，利用已知条件得到线段的长度关系．法二：通过建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，利用向量的数量积公式求出二面角E﹣BC﹣F的余弦值，同理求出二面角D﹣BC﹣F的余弦值，根据已知它们的绝对值相等，列出方程求出DF的长度．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，BD交于O，连OF，如图1∵F为DE中点，O为BD中点，∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，∴BE∥平面ACF．…（Ⅱ）如图2，过E作EH⊥AD于H，过H作MH⊥BC于M，连接ME，同理过F作FG⊥AD于G，过G作NG⊥BC于N，连接NF，∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，∴CD⊥平面DAE，EH?平面DAE，∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，AD?平面ABCD，EH⊥平面ABCD，∴HE⊥BC，∴BC⊥平面MHE，∴∠HME为二面角E﹣BC﹣D的平面角，同理，∠GNF为二面角F﹣BC﹣D的平面角，∵MH∥AB，∴，又，∴，而∠HME=2∠GNF，∴，∴，，又GF∥HE，∴，∴．…解法二：（Ⅱ）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，∴CD⊥平面DAE，如图建立坐标系，则E（3，0，0），F（a，0，0），，A（3，0，3），D（0，0，0）由得，设平面ABCD，且，由设平面BCF，且，由设平面BCE，且，由设二面角E﹣BC﹣F的大小为α，二面角D﹣BC﹣F的大小为β，α=β，，∴，∵0＜a＜3，∴．…20.已知函数(1)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；(2)证明：。参考答案：

21.“莫以宜春远，江山多胜游”，近年来，宜春市旅游事业蓬勃发展，某单位为研究本市旅游现状，以便对未来旅游发展作出新的规划，决定对全市A，B，C，D四个景区进行问卷调查活动，然后按分层抽样的方式从所有参加问卷调查的人抽取10名“幸运之星”，若已知C景区选取出“幸运之星”的人数为3人．景区ABCD问卷人数X604515（1）求X的值；（2）已知B景区幸运之星中男女人数一样多，C景区幸运之星中男性是女性的2倍，现从B、C景区的幸运之星中随机选出两人接受电视台采访，求选出的两人来自不同景区且性别不同的概率．参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）先求出抽样比，从而得到B景区需选取4人，D景区需选取1人，需要从A景区选取2人，列出方程能求出X．（2）已知B景区幸运之星有4人，2男2女，可记两男为A，B；两女为a，b．C景区幸运之星有3人，2男1女，可记两男为1，2；两女为③，利用列举法能求出两人来自不同景区且性别不同的概率．【解答】解：（1）抽样比为，可知B景区需选取4人，D景区需选取1人，故需要从A景区选取2人，得到，解得X=30．…（6分）（2）已知B景区幸运之星有4人，2男2女，可记两男为A，B；两女为a，b．C景区幸运之星有3人，2男1女，可记两男为1，2；两女为③总的选法有：AB，Aa，Ab，A1，A2，A③Ba，Bb，B1，B2，B③ab，a1，a2，a③b1，b2，b③12，1③2③共计21种选法，符合题意的选法有A③，B③，a1，a2，b1，b2，共6种，且等