山西省吕梁市祥诞中学高三数学理期末试题含解析

山西省吕梁市祥诞中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的侧视图为 (

)

参考答案：B略2.已知抛物线的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若，则（

）A.30° B.45° C.60° D.75°参考答案：C【分析】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.【详解】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，在中，，故，即.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.3.(2015·湖北教学合作联考)已知由不等式组确定的平面区域Ω的面积为7，定点M的坐标为(1，－2)，若N∈Ω，O为坐标原点，则的最小值是()A．－8 B.－7C．－6 D.－4参考答案：B依题意，画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)可知其围成的区域是等腰直角三角形，面积为8，由直线y＝kx＋2恒过点B(0,2)，且原点的坐标恒满足y－kx≤2，当k＝0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6<7，由此可得k<0.即z取得最小值－7，故选B.4.已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝x，x∈A}，则A∩B＝()A．{1,2,3,4}

B．{1,2}C．{1,3}

D．{2,4}参考答案：B5.若双曲线实轴的顶点到它的渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由点到直线的距离公式求得的值，再由离心率公式求得离心率.【详解】双曲线的一个顶点为，一条渐近线为，点到直线的距离为，所以，所以双曲线的方程为，则，故其离心率为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的标准方程、渐近线方程、离心率计算，考查方程思想的应用，求解时注意不能把的值弄错.6.若圆与曲线的没有公共点，则半径的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：C只需求圆心（0，1）到曲线上的点的最短距离，取曲线上的点，，距离所以，若圆与曲线无公共点，则0＜r＜．7.函数与函数的图像关于直线对称，则函数与二次函数在同一坐标系内的图像可能是（

）A

B

C

D参考答案：A8.若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=(

) A．15 B．﹣l5 C．±l5 D．10参考答案：A考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列与等比数列的性质可求得a=﹣5，b=﹣3，从而可得答案．解答： 解：∵﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，∴2a=﹣1﹣9=﹣10，b2=9，∴a=﹣5，b=﹣3（b为第三项，b＜0），∴ab=15．故选：A．点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，b=﹣3的确定是易错点，属于中档题．9.

已知方程|x－2n|=k(n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是(

)

(A)k>0

(B)0<k≤

(C)<k≤

(D)以上都不是

参考答案：B解：由|x－2n|≥0，故k≥0，若k=0，可知在所给区间上只有1解．故k>0．

由图象可得，x=2n+1时，k≤1．即k≤．故选B．

又解：y=(x－2n)2与线段y=k2x(2n－1<x≤2n+1)有两个公共点．x2－(4n+k2)x+4n2=0有(2n－1，2n+1]上有两个根．故△=(4n+k2)2－16n2>0．且(2n－1)2－(4n+k2)(2n－1)+4n2>0，(2n+1)2－(4n+k2)(2n+1)+4n2≥0，2n－1<2n+k2<2n+1．Tk≤．10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.2

B.1

C.

D.参考答案：D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则____;参考答案：2略12.已知函数,若，则实数的取值范围是__________________参考答案：13.不等式的解集为

.

参考答案：14.已知，，则=___________________.参考答案：-7略15.如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶C为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，点测得，已知山高m，则山高_______m.参考答案：.

考点：正余弦定理解三角形.【名师点睛】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．16.从抛物线的准线上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为,则P点的横坐标为

_.参考答案：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，-1），则,又

，∴,∴由，得，∴∴切线PA的方程为y﹣y1=（x﹣x1），切线PB的方程为y﹣y2=（x﹣x2），即切线PA的方程为y﹣=（x﹣x1），即切线PB的方程为y﹣=（x﹣x2），即

，，，.17.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程

．参考答案：或三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若f（x）=x﹣1﹣alnx（a∈R），g（x）=（1）当a=时，求函数f（x）的最值；（2）当a＜0时，且对任意的x1，x2∈[4，5]（x1≠x2），|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求出单调区间，可得极小值且为最小值，无最大值；（2）当a＜0时，f′（x）=1﹣＞0在x∈[4，5]上恒成立，可得函数f（x）在x∈[4，5]上单调递增．利用g′（x）＞0在x∈[4，5]上恒成立，可得g（x）在x∈[4，5]上为增函数．不妨设x2＞x1，则|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立|恒成立?f（x2）﹣f（x1）＜g（x2）﹣g（x1）恒成立，即f（x2）﹣g（x2）＜f（x1）﹣g（x1）在x∈[4，5]上恒成立．设F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx﹣1﹣．则F（x）在x∈[4，5]上为减函数．分离参数利用导数进一步研究即可得出．【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=x﹣1﹣lnx（x＞0），导数为f′（x）=1﹣=，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得f（x）在x=处f（x）取得极小值，且为最小值﹣1+1=，无最大值；（2）当a＜0时，f′（x）=1﹣＞0在x∈[4，5]上恒成立，∴函数f（x）在x∈[4，5]上单调递增，g（x）=，∵g′（x）=＞0在x∈[4，5]上恒成立，∴g（x）在[4，5]上为增函数．当a＜0时，且对任意的x1，x2∈[4，5]（x1≠x2），|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，即f（x2）﹣g（x2）＜f（x1）﹣g（x1）在x∈[4，5]上恒成立．设F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx﹣1﹣．则F（x）在x∈[4，5]上为减函数．F′（x）=1﹣﹣≤0在x∈[4，5]上恒成立，化为a≥x﹣ex+恒成立．设H（x）=x﹣ex+，∵H′（x）=1﹣ex+=1﹣ex（1﹣+）=1﹣ex[（﹣）2+]，x∈[4，5]．∴ex[（﹣）2+]＞e3＞1，x∈[4，5]．∴H′（x）＜0在x∈[4，5]上恒成立，即H（x）为减函数．∴H（x）在x∈[4，5]上的最大值为H（4）=4﹣e4+e4=4﹣e4．∴4﹣e4≤a＜0．19.某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N（80，σ2）（满分为100分），已知P（X＜75）=0.3，P（X≥95）=0.1，现从该市高三学生随机抽取三位同学．（1）求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85），[85，95），[95，100]各有一位同学的概率；（2）记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（1）由已知得P（80≤X＜85）=1﹣P（X≤75）=0.2，P（85≤x＜95）=0.3﹣0.1=0.2，由此能求出抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85），[85，95），[95，100]各有一位同学的概率．（2）P（75≤X≤85）=1﹣2P（X＜75）=0.4，从而ξ服从二项分布B（3，0.4），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．【解答】解：（1）P（80≤X＜85）=1﹣P（X≤75）=0.2，P（85≤x＜95）=0.3﹣0.1=0.2，所以所求概率P==0.024．（2）P（75≤X≤85）=1﹣2P（X＜75）=0.4，所以ξ服从二项分布B（3，0.4），P（ξ=0）=0.63=0.216，P（ξ=1）=3×0.4×0.62=0.432，P（ξ=2）=3×0.42×0.6=0.288，P（ξ=3）=0.43=0.064，所以随机变量ξ的分布列是ξ0123P0.2160.4320.2880.064Eξ=3×0.4=1.2．（人）．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机就是的分布列和数学期望的合理运用，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．20.随着节能减排意识深入人心以及共享单车在饶城的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车．为了研究广大市民在共享单车上的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：每周使用次数1次2次3次4次5次6次及以上男4337830女6544620合计1087111450

（1）如果认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑行共享单车”，请完成2×2列表（见答题卡），并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关？（2）每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户．①求抽取的4名用户中，既有男生“骑行达人”又有女“骑行达人”的概率；②为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X，求X的分布列及数学期望．附表及公式：

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案：（1）见解析；（2）见解析.试题分析：（1）第（1）问，先求观测值公式中的基本量，再代入公式即可.(2)第（2）问第1小问，直接利用对立事件的概率公式解答，第（2）小问，根据二项分布，写出分布列求出期望.试题解析：（1）由图中表格可得列联表如下：

不喜欢骑行共享单车喜欢骑行共享单车合计男104555女153045合计2575100

将列联表中的数据代入公式计算得，所以在犯错误概率不超过的前提下，不能认为是否“喜欢骑行共享单车”与性别有关．

（2）视频率为概率，在我市“骑行达人”中，随机抽取名用户，该用户为男“骑行达人”的概率为，女“骑行达人”的概率为．①抽取的名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率为；②记抽出的女“骑行达人”人数为，则．由题意得，（），的分布列为

01234

的分布列为0500100015002000

所以，所以的数学期望元．21.（本题满分12分）本题有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

已知关于t的方程一个根为

（1）求方程的另一个根及实数a的值；