教程资料：72-期权价值评估课件

四、期权估值原理1.复制原理复制原理的基本思想是：构造一个股票和借款的适当组合，使得无论股价如何变动，投资组合的损益都与期权相同，那么，创建该投资组合的成本就是期权的价值。HxSu-Cu=HxSd-CdH=(Cu-Cd)+(Su-Sd)Cd

=HxSd–B(1+r)=0

B=

HSd/(1+r)例10假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者下降25%，无风险利率为每年4%。拟建立一个投资组合，包括购进适量的股票以及借入必要的款项，使得该组合6个月后的价值与购进该看涨期权相等。我们可以通过下列过程来确定该投资组合：(1)确定6个月后可能的股票价格。假设股票当前价格为S0，未来变化有两种可能：上升后股价Su和下降后股价Sd。为便于用当前价格表示未来价格，设：Su=uxS0。U称为股价上行乘数；Sd=dxS0，d为股价下行乘数。将［例10］的数据带入的结果。其中,S0=50元，u=1.3333，d=0.75。（2）确定看涨期权的到期日价值。由于执行价格X=52.08元，到期日看涨期权的价值：（3）建立对冲组合。上面我扪已经知道了期权的到期日价值有两种可能：股价上行时为14.58元，股价下行时为0元。已知借款的利率为2%(半年)。我们要复制一个股票与借款的投资组合，使之到期日的价值与看涨期权相同。H=14.58/(66.66-37.50)=0.50B=HSd/(1+r)=0.5*37.50/(1+2%)=18.38该投资组合为：购买0.5股的股票，同时，以2%的利息借入18.38元。组合投资成本=购买股票支出-借款=50x0.5-18.38=6.62(元)

投资组合的收入

单位：元股票到期日价格66.6637.5组合中股票到期日收人66.66x0.5=33.3337.5x0.5=18.75组合中借款本利和偿还18.38x1.02=18.7518.75到期日收入合计14.580该组合的到期日净收入分布与购入看涨期权一样。因此，看涨期权的价值应当与建立投资组合的成本一样。期权定价以套利理论为基础。故而也称为套期保值原理如果期权的价格高于6.62元，就会有人购入0.5股股票&借入18.38元，同时卖出1股看涨期权，肯定可以盈利。如果期权价格低于6.62元，就会有人卖空0.5股股票&借出18.38元，同时买入1股看涨期权，他也肯定可以盈利。因此，只要期权定价不是6.62元，市场上就会出现一台“造钱机器”。套利活动会促使期权只能定价为6.62元。计算题假设甲公司的股票现在的市价为60元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为62元，到期时间是6个月。6个月后以后股价有两种可能：上升40%，或者下降30%。无风险报酬率为每年4%。拟利用复制原理，建立一个投资组合，包括购进适量的股票以及借入必要的款项，使得该组合1年后的价值与购进该看涨期权相等。要求：（1）计算利用复制原理所见组合中股票的数量为多少？（2）计算利用复制原理所见组合中借款的数量为多少？（3）期权的价值为多少（4）若期权价值为10，建立一个套利组合（5）若期权价值为9.5，建立一个套利组合【答案】上行股价=60×（1+40%）=84（元）下行股价=60×（1-30%）=42（元）股价上行时期权到期价值=84-62=22（元）股价下行时期权到期价值=0组合中股票的数量（套期保值率）=期权价值变化/股价变化=（22-0）/（84-42）=0.5238（股）借款数额=（到期日下行股价X套期保值率）/（1+持有期无风险报酬率）=（42x0.5238）/(1+2%)=21.57（元）期权价值=投资组合成本=购买股票支出-借款=0.5238×60-21.57=9.86（元）由于目前看涨期权价格为10元高于9.86元，所以存在套利空间。套利组合应为：出售1份看涨期权，借入21.57元，买入0.5238股股票，可套利0.14元。（5）由于目前看涨期权售价为9.5元低于9.86元，所以存在套利空间。套利组合应为：卖空0.5238股股票，买入无风险债券（借出）21.57元，买入1股看涨期权进行套利，可套利0.36元。2.风险中性原理所谓风险中性原理，是指假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期报酬率都应当是无风险利率。风险中性的投资者不需要额外的收益补偿其承担的风险。在风险中性的世界里，将期望值用无风险利率折现，可以获得现金流量的现值。到期日价值的期望值=上行概率×Cu+下行概率×Cd期权价值=到期日价值的期望值÷（1+持有期无风险利率）风险中性假设下，期望报酬率应符合下列公式：期望报酬率=上行概率x上行时报酬率+下行概率x下行时报酬率假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的报酬率，因此：期望=上行概率x股价上升百分比+下行概率x股价下降百分比续［例10］中的数据：期望报酬率=2%=上行概率x33.33%+下行概率x(-25%)2%=上行概率X33.33%+(1-上行概率)x(-25%)上行概率=0.4629下行概率=1-0.4629=0.5371期权6个月后的期望价值=0.4629x14.58+0.5371x0=6.75(元)期权的现值=6.75÷1.02=6.62(元)期望报酬率=上行概率x股价上升百分比+下行概率x股价下降百分比R=p*(u-1)+(1-p)*(d-1)p=[(1+r)–d)]/(u–d)1-p=[u-(1+r)]/(u-d)【MJ：u*d=1，1.3333*0.75=1】【记忆小窍门：(u–d)/(u–d)】计算题假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。1年以后股价有两种可能：上升40%，或者下降30%。无风险利率为每年4%。要求：利用风险中性原理确定期权的价值。【答案】期望报酬率=4%=上行概率×40%+（1-上行概率）×（-30%）上行概率=0.4857下行概率=1-0.4857=0.5143股价上行时期权到期日价值Cu=20×（1+40%）-21=7（元）股价下行时期权到期日价值Cd=0期权现值=（上行概率×股价上行时期权到期日价值+下行概率×股价下行时期权到期日价值）÷（1+持有期无风险利率）=（7×0.4857+0×0.5143）÷（1+4%）=3.3999/1.04=3.27（元）五、二叉树期权定价模型1.单期二叉树定价模型（1）二叉树模型的假设与任何估值模型一样，都需要假设。二叉树期权定价模型建立在以下假设基础之上：①市场投资没有交易成本；②投资者都是价格的接受者；③允许完全使用卖空所得款项；④允许以无风险利率借入或贷出款项；⑤未来股票的价格将是两种可能值中的一个。（2）单期二叉树公式的推导。二叉树模型的推导始于建立一个投资组合：①一定数量的股票多头头寸；②该股票的看涨期权的空头头寸。股票的数量要使头寸足以抵御资产价格在到期日的波动风险，即该组合能实现完全套期保值，产生无风险利率。S0=股票现行价格；u=股价上行乘数；d=股价下行乘数；r=无风险利率；C0=看涨期权现行价格；Cu=股价上行时期权的到期日价值；Cd=股价下行时期权的到期日价值；X=看涨期权执行价格；H=套期保值比率推导过程如下：初始投资=股票投资-期权收入=HS0-C0投资到期日终值=(HS0-C0)x(1+r)由于无论价格上升还是下降，该投资组合的收入(价值)都一样，我们采用价格上升后的收入，即股票出售收人减去期权买方执行期权的支出：在股票不派发红利的情况下，投资组合到期日价值=uHS0-Cu令到期日投资终值等于投资组合到期日价值：(1+r)(HS0-C0)=uHS0-Cu化简：

由于套期保值比率H为:将其代入上述化筒后的等式，并再次化简得:如果根据公式直接计算【例10】的期权价格:我们利用【例10】的数据回顾一下公式的推导思路：最初，投资于0.5股股票，需要投资25元；收取6.62元的期权价格，尚需借入18.38元资金。半年后如果股价涨到66.66元，投资人0.5股股票收入33.33元；借款本息为18.75(18.38x1.02)元，看涨期权持有人会执行期权，期权出售人补足价差14.58(66.66-52.08)元，投资人的净损益为零。半年后如果股份跌到37.50元，投资人0.5股股票收入18.75元；支付借款本息18.75元，看涨期权持有人不会执行期权，期权出售人没有损失，投资人的净损益为零。因此，该看涨期权的公平价值就是6.62元。2.两期二叉树模型单期的定价模型假设本来股价只有两个可能，对于时间很短的期权来说是可以接受的。若到期时间很长，如【例10】的半年时间，就与事实相去甚远。改善的办法是把到期时间分割成两部分，每期3个月，这样就可以增加股价的选择。还可以进一步分割，如果每天为一期，情况就好多了。如果每个期间无限小，股价就成了连续分布，布莱克一斯科尔斯模型就诞生了。简单地说，由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。例11继续采用【例10】中的数据，把6个月的时间分为两期，每期3个月。变动以后的数据如下：ABC公司的股票现在的市价为50元，看涨期权的执行价格为52.08元，每期股价有两种可能：上升22.56%或下降18.4%；无风险利率为每3个月1%。为了直观地显示有关数量的关系，仍然使用二叉树图示。我们解决问题的办法是：先利用单期定价模型，根据Cuu和Cud计算节点Cu的价值，利用CUd和Cdd计算Cd的价值；然后，再次利用单期定价模型，根据CU和Cd计算C0的份值。从后向前推进。【MJ：欧式期权】

3.多期二叉树模型【例12-改】沿用【例10】中的数据，将半年的时间分为6期，即每月1期。已知：股票价格S0=50元，执行价格为52.08元，年无风险利率为4%，到期时间为6个月，划分期数为6期（即每期1个月）。每期股价有两种可能：上升12.46%或下降11.08%；

股票期权的6期二叉树

单位：元序号0123456时间(年)00.0830.1670.2500.3330.4170.500上行乘数1.1246

下行乘数0.8892

股票价格5056.2363.2471.1279.9889.94101.15

44.4650.0056.2363.2471.1279.98

39.5344.4650.0056.2363.24

35.1539.5344.4650.00

31.2635.1539.53

27.8031.26

24.72执行价格

52.08填表规律：横向*u，斜边*d上行概率

0.4848下行概率

0.5152买入期权价格5.308.5213.2619.8428.2438.0449.07

2.304.117.1612.0519.2127.9

0.611.262.615.3911.16

0000

000

00

0二叉树方法是一种近似的方法。不同的期数划分，可以得到不同的近似值。期数越①构建顺序为由后向前，逐级推进。确定第6期的各种价格下的期权价值：Cu6=Su6-X=101.15-52.08=49.07（元）Cdu5=Sdu5-X=79.98-52.08=27.90（元）Cd2u4=Sd2u4-X=63.24-52.08=11.16（元）以下4项的股票价格均低于或等于执行价格，所以期权价值为零。②确定第5期的期权价值：上行百分比=12.46%下行百分比=-11.08%4%÷12=上行概率x12.46%+(1-上行概率)x(-11.08%)上行概率=0.4848；下行概率=1-0.4848=0.5152Cu5=(上行期权价值x上行概率+下行期权价值x下行概率)÷(1+r)=(49.07x0.4848+27.90x0.5152)/(1+4%÷12)=38.04(元)。Cu4d=(27.90x0.4848+11.16x0.5152)/(1+4%÷12)=19.21(元)Cu3d2=(11.16x0.4848+0x0.5152)/(1+4%÷12)=3.39(元)以下各项，因为第6期上行和下行的期权|值均为零，第5期价值也为零。第4期、第3期、第2期和第1期的期权价值以此类推③确定期权的現值：期权现值=(8.52x0.4848+2.30x0.5152)÷(1+4%÷12)=5.30(元)根据【例10】的资料，采用单期二叉树模型计算的期权价值是6.62元，采用两期二叉树模型计算的期权价值是5.06，采用6期二叉树模型计算的期权价值是5.30元，采用BS模型计算的期权价值是5.26元。随着二叉树模型设置期数的增加，其计算结果不断逼近BS模型。六、BS模型1.布莱克一斯科尔斯模型的假设（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；（2）股票或期权的买卖没有交易成本；（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；（4）任何证券购买者都能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；（5）允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金；（6）看涨期权只能在到期日执行；（7）所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。2.布莱克一斯科尔斯模型布莱克一斯科尔斯模型的公式如下：C0=S0[N(d1)]–Xe-rt[N(d2)]或S0[N(d1)]-PV(X)[N(d2)]其中：式中：C0——看涨期权的当前价值；1、S0——标的股票的当前价格；N(d)——标准正态分布中离差小于d的概率；2、X——期权的执行价格；e——自然对数的底数，约等于2.7183;3、rc——连续复利的年度的无风险利率；4、t——期权到期日前的时间(年)；In(S0÷X)——S0÷X的自然对数；5、σ2连续复利的以年计的股票回报率的方差。例13沿用【例10】的数据，某股票当前价格为50元，执行价格为52.08元，期权到期日前的时间为0.5年。每年复利一次的无风险利率为4%，相当连续复利的无风险利率rc=In(1.04)=3.9221%，连续复利的标准差σ=0.4068，即方差σ2=0.1655根据以上资料计算期权价格如下：3.模型参数的估计(1)无风险利率的估计无风险利率应当用无违约风险的固定证券收益来估计，例如政府债券的利率。政府债券的到期时间不等，其利率也不同。应选择与期权到期日相同的政府债券利率，例如期权还有3个月到期，就应选择3个月到期的政府债券利率。如果没有相同时间的，应选择时间最接近的政府债券利率。这里所说的政府债券利率是指其市场利率，而不是票面利率。政府债券的市场利率是根据市场价格计算的到期报酬率。模型中的无风险利率是指按连续复利计算的利率，而不是常见的年复利。连续复利假定利息是连续支付的，利息支付的频率比每秒1次还要频繁。如果用F表示终值，P表示现值，rc表示连续复利率，t表示时间(年)，则：【例14】假设t=1年，F=104元，P=100元，则：rc=In(104÷100)÷1=ln(1.04)÷1=3.9221%严格说来，期权估值中使用的利率都应当是连续复利，包括二叉树模型和BS模型。即使在资本预算中，使用的折现率也应当是连续复利率，因为全年收入和支出总是陆续发生的，只有连续复利率才能准确完成终值和现值的折算。在使用计算机运算时，采用连续复利通常没有什么困难，但是手工计算则比较麻烦。为了简便，手工计算时往往使用分期复利作为连续复利的近似替代。由于期权价值对于利率的变化并不敏感，因此这种筒化通常是可以接受的。使用分期复利时也有两种选择：①按有效年利率折算。例如，年复利率为4%，则等价的半年复利率应当是

。②按报价利率折算。例如，报价年利率为4%,则半年期有效复利率为4%÷2=2%。(2)报酬率标准差的估计股票报酬率的标准差可以使用历史报酬率来估计。计算连续复利标准差的公式与年复利相同：其中：Rt指报酬率的连续复利值。连续复利的报酬率公式与率不同:连续复利的股票报酬率:分期复利报酬式中：Rt——股票在t时期的报酬率;Pt——t期的价袼；Pt-1——t-1期的价格；Dt——t期的股利。分期复利的股票报酬率：例15ABC公司过去11年的股价如左表第2列所示，假设各年均没有发放股利，据此计算的连续复利报酬率和年复利报酬率如第3列和第4列所示。在期权估值中，严格说来应当使用连续复利报酬率的标准差。有时为了简化，也可以使用分期复利报酬率的标准差作为替代。连续复利与年复利的标淮差

年份股价(元)连续复利报酬率(％)年复利报酬率(%)110

213.4429.5734.40321.3346.1958.71443.6771.65104.74533.32-27.05-23.7632.01-4.01-3.93727.45-15.37-14.25835.1624.7528.09932.14-8.98-8.591054.0351.9468.111144.11-20.29-18.36平均值31.5114.8422.52标准差

34.5243.65股价上升与下降的百分比如何确定？如果继续增加分割的期数，就可以使期权价值更接近实际。从原理上看，与两期模型一样，从后向前逐级推进，只不过多了一个层次。期数增加以后带来的主要问题是股价上升与下降的百分比如何确定问题。期数增加以后，要调整价格变化的升降幅度，以保证年报酬率的标准差不变。把年报酬率标准差和升降百分比联系起来的公式是：式中：e——自然常数σ——标的资产连续复利报酬率的标准差t——以年表示的时段长度根据【例13】数据该股票连续复利的标准差σ=0.4068那么【例10】中半年为一期：d=1÷1.3333=0.75【例11】中三个月为一期，间隔期为1/4年：u=1.2256即上升22.56%，d=0.816即下降18.4%【例12】中将半年的时间分为6期，即每月1期。d=1/1.1246=0.8892七、

期权平价定理看跌期权估值在套利驱动的均衡状态下，看涨期权价格、看跌期权价格和股票价格之间存在一定的依存关系。对于欧式期权，假定看涨期权和看跌期权有相同的执行价格和到期日，则下述等式成立：看涨期权价格C-看跌期权价格P=

标的资产价格S-执行价格现值PV(X)这种关系被称为看涨期权-看跌期权平价定理(关系)。利用该定理，已知等式中的4个数据中的3个，就可以求出另外1个。P=-S+C+PV(X)Ex两种期权的执行价格均为30元，6个月到期，6个月的无风险利率为4%，股票的现行价格为35元，看涨期权的价格为9.20元，则看跌期权的价格为：P=-S+C+PV(X)=-35+9.20+30÷(1+4%)=-35+9.20+28.8=3(元)2013单选题某股票的现行价格为20元，以该股票为标的资产的欧式看涨期权和欧式看跌期权的执行价格均为24.96。都在6个月后到期。年无风险利率为8%，如果看涨期权的价格为10元，看跌期权的价格为（）元。A.6.89B.13.11C.14D.6【解析】20+看跌期权价格=10+24.96/（1+4%），所以看跌期权价格=14元。看涨和看跌期权的平价关系交易策略现金流量

购买曰到期日

St>=XSt<X购入1股看涨期权-C0St-X0卖空1股股票+S0-St-St借岀X/(1+r)t-X/(1+r)tXX抛出1股看跌期权+P00-(X-St)净现金流量合计-C0+S0-X/(1+r)t+P000看涨期权价格C-看跌期权价格P=

标的资产价格S-执行价格现值PV(X)-C+P+S-PV(X)=0看涨期权价格C-看跌期权价格P=

标的资产价格S-执行价格现值PV(X)S+P=C+PV(X)派发股利的期权定价布莱克一斯科尔斯期权定价模型假设在期权寿命期内买方期权标的股票不发放股利，在标的股票派发股利的情况下应如何对期权估值呢？股利的现值是股票价值的一部分，但是只有股东可以享有该收益，期权持有人不能享有。因此，在期权估值时要从股价中扣除期权到期日前所派发的全部股利的现值。也就是说，把所有到期日前预期发放的未来股利视同已经发放，将这些股利的现值从现行股票价格中扣除。此时，模型建立在调整后的股票价格而不是实际价格基础上。美式期权估值布莱克一斯科尔斯期权定价模型假设看涨期权只能在到期日执行，即模型仅适用于欧式期权，那么，美式期权如何估值呢？美式期权在到期前的任意时间都可以执行，除享有欧式期权的全部权利之外，还有提前执行的优势。因此，美式期权的价值应当至少等于相应欧式期权的价值，在某种情况下比欧式期权的价值更大。

2015年计算题

卷I甲公司股票当前每股市价50元，6个月以后，股价有两种可能：上升20%下降17%。市场上有两种以该股票为标的资产的期权：看涨期权和看跌期权。每份看涨股权可买1股股票，每份看跌期权可卖出1股股票，两种期权执行价格为55元，到期时间均为6个月，期权到期前，甲公司不派发现拿股利，半年无风险报酬率为2.5%。要求:(1)利用套期保值原理，计算看涨期权的股价上行时到期日价值，套期保值比率及期权价值，利用看涨期权-看跌期权平价定理，计算看跌期权的期权价值。(2)假设目前市场上每份看涨期权价格2.5元，每份看跌期权价格6.5元，投资者同时买入1份看涨期权和1份看跌期权，计算确保该组合不亏损的股票价格区间，如果6个月后，标的股票价格实际下降10%，计算该组合的净损益。(注，计算股票价格区间和组合净损益时，均不考虑期权价格的货币时间价值。)【答案】(1)上行股价SU=50x(1+20%)=60(元)股票上行时的到期日价值CU=SU–X=60-55=5(元)下行时的股价Sd=50×(1-17%)=41.5(元)股票下行时的到期日价值Cd=0套期保值比率H=（Cu-Cd）/(SU-Sd）=(5-0)/(60-41.5)=0.27借款=(HxSd–Cd

）/（1+r）=(41.5×0.27-0)/(1+2.5%)=10.93(元)期权价值=HxS0-借款支出=0.27x50-10.93=2.57(元)根据看涨期权-看跌期权的平价定理可知，2.