2021湖南长沙长郡中学高三数学高考模拟卷含答案解析

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2021湖南长沙长郡中学高三数学高考模拟卷含答案解析

U•关彳士黑考长郡中学2021届模拟试卷（一）

数学

注意事项：

】.本状卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选界题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准

少考证号填写在答题KE。

W2.回答第I卷时•选出每小即答案后•用铅笔把答即/上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.

支用橡皮擦卜净后•冉选涂JC他答案标号.写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时•将答案写在答题k上•笃在本试卷上无效.

4.号试结束后•将本试卷和答即卡-并交回「

第1卷

一、单项选择题:本大题共8小题，卷小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.若登数w满足2z+-3-2i.其中i为虚数单位,则”

A.l-2iKl-2iD.-l-2i

2.已知集合P=<i|15上一640},Q-PQQ=

A.《1|TWzaO}li{.r\}C.{x|04>rM6}D.(z|-6Wx^0)

3.圆M+1/2”一83+13-0的胸心到I’［线《r+y—1=。的距离为1•则"

C.乃

4.设45始实数•则'〉〃”是产的

A.充分而不必要:条件R必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电

植问坳.要测址顶部的面积.将图书馆行成是一个长方体与一个等

底的正W棱锥组合而成.经测埼长方体的底而正方形的边长为26//j_

米.高为9米,当小四棱惟的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底£二:二二:：十

代面正方形的对角线的延K线匕时.测的光线。底面夹角为30°.E四极锥顶点的影子到长方体F底

而最近顶点的距离为II.8米.则图书帽顶部的面积大约为（）平方米（注,鱼=1.4,百-1.7.

v^33««15.2）

A.990C.79OD.690

6.已知非空集合A.B满足以下两个条件：（1）,4113={1.2,3".5）小口13=0,（2）人的元索个数不

是A中的元素，8的元素个数不是B中的元素.则杓序集合对（人,朋的个数为

数学试题（K郡版）第1页（共4页）

7.已知实数a»,cSR满足｝=§=一^,尻>1,则的大小关系为

A.a>tt>cB.a>c>hC.b>c>aD.lt>a>c

8.已知AABC中,AB=2BC=4.AC=26•点M在线段AC上除A.C的位置运动•现沿BM进行翻

折,使得线段AB上存在一点7•满足CVL平面ABM；若NB〉入恒成立•则实数A的最大值为

A.1a73C.2D.g

二、多项选择题：本建共4小题，每小题5分，共20分.在每小地给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，有选错的得。分,部分选对的得2分.

9•为广广解市民对各种垃圾进行分类的情况•加强垃圾分类亢传的针对性,指导市民尽快掌握垃圾

分类的方法.某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错i吴分类情况进行「调查.经整理绘制r如图

所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图•阳中横轴表示时间（单位:周）,纵轴&示有害垃圾错误

分类的累积事量（柒位:吨）.根据统计图分析•下列结论正确的是

A.当/£[0,2）时有害垃圾错误分类的重最加速增长

R当才£12,4）时有害垃圾错误分类的正景匀速增长

C.当xG[4,6）时有害垃圾错误分类的重收相对于当X612.4）时增长r30%

D.当xE[6,81时有■害垃圾错误分类的重量相对于当.r610,2》时减少了0.6吨

10.如果平面向量a=（2.43b=（-6,12），那么下列结论中正确的是

A.MI=3|Q|Ra//b

C.。与6的夹角为30*D.a在b方向上的投影为2西

11.如图•某校测绘兴趣小组为测量河对岸荏塔AB（A为塔顶・8为塔底）的高度.1

选取与B在同一水平面内的两点C与D（&C,D不在同•直线上）•测得CD/

=s.测绘兴趣小组利用泅角仪可测得的角有：NACB・ZACD,ZBCD.//

NADB・NADC，NWX、•则根据下列各组中的测情数据可计算出塔的高//

度的是/：卜落

A.s./ACB.NBCD，NBDC

Rs./ACB，NBCD,/ACQD

C.s.NAC8，NACD・NADC

D.s,/ACB,/BCD,/ADC

12.数学中的很多符号具有简洁、对称的美感,是形成一些常见的漂亮图案的基石•也是许多艺术家

设计作品的主要几何元素.如我们期悉的g符号.我们把形状类似8的曲线称为“5曲线二在平

面宜角坐标系My中,把到定点F.C-a,OJ.F：Q.0）距离之积等于aYa>0）的点的轨迹称为

“8曲线”C巳知点P《“，・》）是“。曲线”「上一点•下列说法中正确的有

A.“8曲线”C关于原点（）中心对称；

R一胃484号।

C.“8曲线"C上满足|PFJ=|PFJ的点P有两个;

D.|P（）\的限大值为

数学试题（长郡版）第2页（共4页）

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13〜21题为必考通，每个试题考生都必须作答.第22、23

题为选考题，考生根据要求作答.

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分•共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横饯上)

13.在(26+方)’的展开式中•常数项等于.

14.已知工二彳■是函数/(.r)=asini+6cos上(。＞0)的对称轴.则/(”)的对称中心为.

15.定义函数八力=0[＞力其中[1]表示不超过I的最大整数,例如：口.3口=1,[-1.5：]=-2.

[2]=2.当]€[0,")(”£N・＞时./(1)的值域为A..记集合A.中元素的个数为心,则曾』

的值为.

16.若关于工的方程券+工一出(》)-2-0(心＞0)有解,则正数。的取值范曲是.

四、解答题(共7。分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步廊)

17.(105＞＞AABC的内角人・B,C的对边分别为八已知向从m=(c-a,sinB).n

＜6—a.sinA4-sinC)•满足nt//n.

(l)^Ci

(2)若再。+36=3。,求sinA.

18.(12分)已知等龙数列｛4｝的前”项和为场,且满足小一8.，=2勾.

(1)求数列｛a.)的通项公式i

(2)若数列(“＞满足6=&cosw+2"*'.求数列《仇＞的前2”项和T*

19.《12分)如图1・在等边△人左中，点Q、E分别为边AB、AC上的动点且满足DE〃BC・记器F.

将CADE沿QE翻折到的位置并使得平面MDE_L平面QEC3,连接M8.MC得到图2.

点N为MC的中点.

迎44I»T，LZ，卬3、Me

（2）M探究:随杼久值的变化.二面角B—MDE的大小是否改变？如果是•请说明理由；如果不

是•请求出二面角B-MD-E的正弦值大小.

20.（12分）已知函数/（j）-lnxa（!-y）+l（a6R）.

（1）讨论函数/（.r）的单调性；

（2）若/（l）＞0在（1.十8）上恒成立,求整数”的最大值.

21.（12分）已知椭囤（'：，+£=1＜。＞&＞0）的上顶点到右顶点的距离为。・离心率为｝•过椭圆（,

的左焦点E作不与/轴值合的直线MN与桶圈C相交于M.N两点•过点M作宜线二

一勿的垂线ME,E为垂足.

（1）求椭圆「的标准方程；

（2）①已知仃线EN过定点。•求定点P的坐标;②点O为坐标原点•求△（»：可面积的最大值.

22.（12分）某电子公司新开发•电/产品,该电子产品的•个系统G有2〃一1个电子元件组成,各

个电子元件能正常「作的概率均为外口每个电子元件能否正常1.作相互独立.若系统中有超过

一半的电子元件正常工作,则系统，可以正常I：作，否则就需维修.

⑴当”=2沙土时.若该电子产品由3个系统G组成.每个系统的维修所需费用为500元，设§

为该电十产乩需要维修的系统所需的总费用•求W的分布列与数学期望；

（2）为提高系统（；正常「.作的概率,在系统内增加两个功能完全•样的电子元件•新个新元件正

常工作的概率均为。.11新增元件后行.超过•华的电不元件正常T作•则系统G可以正常I

作•问。满足什么条件时•可以提高整个系统G的正常［作概率？

»nx；zLZnvticzxHtn、

H•关才■解考长郡中学2021届模拟试卷（一）

数学参考答案

一、二、选择题

题号123456789101112

答案BCADcCDAABABACDABD

5.C【解析】如图1.根据题意得：NPSO=30".CG=9,SG=U.8.AB

=26,

所以GO=13&、18.2.故SO=SG+G()=11.8+18.2=30.

故在R3SO中.设P()=J•.则PS=2/.SO=30.

所以|SO|2+1OP'2=1SP|二

即：900+J=4F.解得,r=107317.

在正四棱锥P-ABCD中.P(J=17—9=8.AB=26.

取BC中点E.连接EP.EC'.所以E(X=13.

由正四棱锥的性质得△?E(y为直角三角形.

故PE!2=P(/|2+|C/E|2=13z+82=233,

所以PE\=7233^15.2,

所以正四枝维P-ABCD的侧面积为S=4XS..PW-=4X-1X15.2X26=790.4«=79O.

故选C.

6.C【解析】N=（1+3）X2=8,故选C.

7.D【解析】首先，＜。,4＞1皿＞1,

,•,含」詈＜亭又尸方在（八+8）单成.

故故选D.

8.A【解析】易知要满足CNJ_平面ABM有两个极限状态，第一是BM为/ABC的角平分线时,此时NB-2,

第二是点M与点八重合时,此时NB=1；故NB6

则实数人的最大值为1,

故选A.

9.AB【解析】本题考查统计图的应用.由统计图可知，第2周增长数量比第1周增长数量明显要多，所以是加

速增长.所以选项A正确：

当了6匚2,4）时图象是线段,所以是匀速增长,所以选项B正确；

当了€匚4.6＞时增长教量比当了€［2.4）时增长数量要少.所以是咸少.所以选项（,错误；

当丁€「0.2）时共增长2.4吨,当工6匚6.8：］时共增长0.6吨.所以减少了1.8吨.所以选项D错误.

故选AB.

10.AB【解析】因为。=（2,-4）.卜=（一6.12）,所以/）一一3。.

在A中，由b=-3a.可得|”=31al.故A正确；

在R中.由b=-3a.可得a//故B正确；

在C中.由8=—3。,可得。与b的夹角为180°.故C错误；

在D中.a在匕方向上的投影为。「丁'52.-!）»（-1J2）——28.故［）错误.

区7（-6）2+122

故选AB,

数学试题参考答案（长郡版）-1

11.ACD【解析】解一个三角形.需要知道三个条件,且至少一个为边长.A.在△CBD

中.已知s,NBCD.NBDC.可以解这个三角形得到BC,再利用NACB、BC解直角

△AB（'得到AB的值；B.在△CBD中.已知s,/BC'D.无法解出此三角形.在

中.已知s.NACD.无法解出此三角形.也无法通过其它三角形求出它的其它几何元

素.所以它不能计算出塔AB的高度;C.在△ACD中.已知s.NACD，NADC.可以

解△ACD得到AC.再利用NACB、AC解直角△ABC得到AB的值；D.如图.过点B

作BE_LCD,连接AE.由于cos/ACB=鞋，cos/BCD=於，cosNACE=噂.所以

cos/ACE=cos/ACB•cos/BCD.所以可以求出/ACD的大小,在△ACD中.已知/ACD./ADC.s可

以求出AC.再利用/ACB、AC解直角△ABC得到AB的值.故选ACD.

12.ABD【解析】对A,设动点.由题意可得C的轨迹方程为/<1一&」+；/，<l+0户+，="；’.把

（3”）关于原点对称的点（片..y）代入轨迹方程.显然成立；

对B,因为P5.W）.故叫了产1PF,|•iPF.I•sinNF"F2=]|KB•|>|.

又PF,|•,PF?|=『，所以/sin/FiPF?=2a•|汕

即1yoi二号'sinNBPFz〈年，故一*■.故B正确;

对C.若|PF,|=|PF,|.则尸<H°.y,>在6R的中垂线即v轴上.

故此时.r.=0,代入v'(.r—a叶+，,<.r+a>>+y?=<?.

可得y=0.即P(0,0).仅有一个.故C错误；

对D.因为NPCFi+ZPOF2=n.

故cos,/P()Ft+cos/PQF?=0.

|OP|[+|OF，r-|PB|2ICPI'+IQF?J—Pfd2=ft

2ICPI•IPBI2IOPI•|OFzI-,

因为IOBI=IOF,I=a,IPF,I•IPF,I=a2.

故210Pl?+加2=[PFJ2+IPF/，

2z

Hp2|OPr-+2a=<1PF,I-1PF2I)+2|PF,•|PF?\,

所以2IOP12=(IPRI-IPF,I>2.

又|-|PF.KIF,F=2a,当且仅当P.居.B共线时取等号.

42

故210Plz=<PF,I-|PF2I)«20).

P|>IOP解得|CP|&&a.故D正确.

故选ABD.

三、填空题

13.160

14.(iK-f.o)aex)

15.徽【解析r.•匚工1表示不超过，的最大整数.

0..r€[0,1>0,x€C0,l)

hx€Cb2)j».rG[1・2)

，当j-eLo.nX/zeN,)时.[工]=«，二工[工J=«

n—1•.!*£[〃-1,〃）<n-1>.r,.rC["-1,">

・•・J•!>：□在各区间内的元素个数为1,1,2,3,・・・5一1,

,1,10101I,八.,(1+〃一1)(〃-1)-1)

]+]+2+3H----F(〃-1)=H-------------g--------------1H-----«-

2

〃(〃—1)

数学试题参考答案（长郡版）一2

16.[1,+8）【解析】因为〉•一口水心）一/+1]—1=0,即J1ne"口=[ln（a.T）—.r+l]+l有解.

由e'Nr十1,当且仅当x=0时,可知・仙（心）一大+1=0在区间（0・+>，）内有解,

所以a/=e，।在区间（0,+8）内有解.即a='一在区间（0,4-oo）内有解.所以“21.

四、解答题

17.【解析】（I）因为zn〃/1,所以（c—a）（sinA+sinC）=（/ru）sinB.由正弦定理得（（-a）（a,c）=（4—以）〃，所

以/+〃一/=〃〃，

/+/一/=也=工

所以cosC=

lab~2ah~2'

因为C€（0,ir）.itC=青.........................................................................5分

（2）由（D知8=学一人.由题设及正弦定理得V^sinC+3sin（苧-A）=3sinA.

即'g+fcosAH,sinA=sinA,可用sin（A-:）=沫.

由于0VA<警,一"5-<A—■^■〈谭".所以cos（A—£）=§,

O0O«5J'4

故sin.八sin（.4—^+卷）=sin（A—）cos：-cos（八一9）sin寺=§.…

«joo0乙乙乙乙

10分

18.【解析】（1）设2”｝公差为/依题意得

J5cziX02*^d—2（a\十64）

LI4-2</=8

解得匕二2

\4=3

所以=ai+（〃-l）d=2+3（〃-1）=3〃-1..........................................................................................6分

（2）bn=ancos，也+2”7=（—1）”“+2-।,

=（«2—<1\）+（々1—%）+…+（仇一。21）+（2?+2。+…+22E）

=3X）+2"、-广）=3〃+22"+2—4..........................................................................................................12分

1~2

19.【解析】（D证明：取MB的中点为P.连接DP.PN.因为MN=CN・MP=BP.所以NP〃BC,

又DE//BC.所以NP〃DE.即N,E.D.P四点共面.又EN//面HMD.ENU面

NEDP.

平面NEDPC平面MBD=DP.所以EN//PD.V?NEDP为平行四边形.

所以NP〃DE.且NP=DE.即DE=^BC,即A=y.......................................6分

（2）取DE的中点。，由平面MDE1平面DECB,且MOJ_DE.所以MO1平面

DECB,

如图建立空间宽角坐标系，不妨设BC=2,则M（O.O,73A）^<A,O,O）.

B（L《I-I）.O）,所以砒=G,o,一同）温=（1一].伍《1—

IMI）•m=\jL一/&=0

设平面BMD的法向量为m=（jr,y,z）.则<.

IDB•m=（l-AU-|-y3（1-A>j=0

数学试题参考答案（长郡版）一3

[Z%

即<,令/=悟，即〃i=(73,—1,1)•又平面EMD的法向量〃

lx=—^3y

=(0,1.0),

cu.,in•n一冷.即随着义值的变化.二面角B—MD—E

所以COS<IW,/1〉=[〃/〃=

的大小不变........................................................11分

____________2氐

且sin<m./j>=\/\—cos2(m.w>=—r1-,

所以二面角B—MD—E的正弦值为挛......................................................12分

0

20.【解析】函数/Q)的定义域为(0,+8).

(1)因为f(jr)—Ini—a(1—)+1♦所以/"(1)=]—

当a40时对iW(0,+8)恒成立；

当a>0时.由/(J)>0得j>a,/(^)<0得OVzVa.

综上•当a<0时・/(才)在(0.+8)上单调递增；

当a>0时,/Q)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增；..................................5分

(2)由/(外>0得In^一〃(1一])+1>0.所以处舌/〈仙i+l・

即a〈”『对二W(l,+oo)恒成立.

"n•T-1r

人,、winE+Z,，/、(hiJ-|-2)(J—1)(.rln)J'-In.i2

令g(j)=-----7—,则Ag(J)=----------------:------r—----------------=-------r-7-，

J-—1(J—1)-(j—1)~

令/i(a)=x—Inr—2•则/Z(J)=1="L因为.r>l,所以

J:x

所以从才)在(1,+8)上单调递增.

因为/?(3)=l-ln3VoM《4》=2—In4>0,

所以存在Z)G(3・4)满足zo-InNo-2=0...................................................................................................8分

当ICzVx时J(N)V0,/Q)V0；当工>的时/(工)>0,/Q)>0,

所以gQ)在(l»Xo)上单调递减•在(才,+u。)上单调递增.

所以g(/)mn=g(*,)=""通=Jo.所以“V，>，

因为3O0<4,aeZ,所以“的最大值为3...................................................................................................12分

[>/^+^=>/7

21.【解析】(1)由题意得:<«='=',解得:a=2">=6\c=l.

a2

12=廿十产

故椭圆的标准方程为《+¥=1・..................................................................................................................4分

46

(2)①由(1)知：居(一1.0).

设直线MN方程：.r="?y-1.iVfC.rj・M)，.)，E(一4,»》,

(£=my-1

联立方程<x1y~_得：(3">+4>y2—6"?》一9=0・

1T+T=1

6/〃—Q

：•»+北=病』•》”=3〃厂工彳'工一2，〃为M=3(y+义)・

又八=1£瑞'*,•直线EN方程为“V=自0+4>.

4》1《八+4》.〃0?2+33|.2M3_5

令y=0.则X——4————4-1--zf

vVyz~y\北一凹22

数学试题参考答案(长郡版)-4

直线EN过定点P（一■I'.o）.........................................................

8分

②由①中△=144（，，>+1>>0知：，，WR.

qI/I—ZL—72—~i--------12O+1

又-y?1+於〉4yly2=—庐4广，

.a1ICDIII512/苏+115J+1

…、心=彳|（见*1[―北1=彳・3川+4-=3m阡r

令t=/评+1心1,则s△心-^-Y

令=-1\R心]).

3叶

1q

•・•/⑺在[i,+oo)单调递减・・••当z=i时・/a)gx=/(i)=],

16

即△OEN面积的最大值为..............................................................12分

22.【解析】⑴当"=2